1、一、函数极值的定义,函数的极值及其求法,下页,上页,首页,定义,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,下页,上页,首页,定义,二、函数极值的求法,定理1(必要条件),定义,注意:,例如,下页,上页,首页,(第一充分条件),(是极值点情形),下页,上页,首页,第一充分条件,求极值的步骤:,(不是极值点情形),下页,上页,首页,求极值的步骤,例1,解,列表讨论,极大值,极小值,下页,上页,首页,例求f(x)=x3-3x2-9x+5的极值）,图形如下,下页,上页,首页,f(x)=x3-3x2-9x+5的图形,第二充分条件：,证,同理可证(2).,下页,上页,首页,第二充分条
2、件,例2,解,图形如下,下页,上页,首页,求f(x)=x3+3x2-24x-20的极值,注意:,下页,上页,首页,f(x)=x3+3x2-24x-20的图形,注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.,解:,x 0时, f (x) 0,故得 极小值f (0)=0,下页,上页,首页,例3,二、最值的求法,下页,上页,首页,步骤:,1.求驻点和不可导点;,2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;,注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值),下页,上页,首页,最值的求法步骤,求f(x)=2x3+3x2-12x+14的最
3、值,例4,解,计算,下页,上页,首页,比较得,下页,上页,首页,f(x)=2x3+3x2-12x+14的图形,例5. 求f (x)=x48x2+2在1, 3上的最大值和最小值.,解：f (x)=4x3 16x=4x(x2)(x+2),令 f (x)=0 得驻点 x1=0, x2=2, x3= 2(舍去),计算 f (0)=2, f (2)= 14,f (1)= 5, f (3)= 11,所以最小值f (2)= 14, 最大值f (3)= 11,下页,上页,首页,求f(x)=x4-8x2+2在-1，3上的最值,例6. 求 f (x)=x2ex的最大值和最小值.,解： f (x)在定义域(, )上
4、连续可导且 f (x) = x (2x)ex,令 f (x)=0得驻点 x=0, x=2,有 f (0)=0，f (2)=4e2,且,故 f (x)在定义域内有最小值 f (0)=0，无最大值 .,y=x2ex,0,2,下页,上页,首页,求f(x)=x2e-x的最值,例7,下页,上页,首页,例题7,解,如图,下页,上页,首页,解例题7,解得,下页,上页,首页,解例题7,实际问题求最值应注意:,(1)建立目标函数;,(2)求最值;,下页,上页,首页,实际问题求最值应注意,三、小结,极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.,驻点和不可导点统称为临界点.,函数的极值必在临界点取得.,判别法,第一充分条件;,第二充分条件;,(注意使用条件),下页,上页,首页,注意最值与极值的区别.,最值是整体概念而极值是局部概念.,实际问题求最值的步骤.,下页,上页,首页,注意最值与极值的区别,思考题,下命题正确吗？,下页,上页,首页,思考题,思考题解答,不正确,例,下页,上页,首页,思考题解答,在1和1之间振荡,故命题不成立,下页,上页,首页,思考题解答,练 习 题,下页,上页,首页,练 习 题,下页,上页,首页,练 习 题,练习题答案,下页,上页,首页,练习题答案,
