1、2.2 排 列,为定义行列式的准备,一、排列,定义1 由1,2,n组成的一个有序数组称为一个n级排列,n级排列的总数是,n！,n级排列必须是不重复的全排列,此处n级排列与中学教材中的排列是否是同一个概念？,例1,2431是一个四级排列, 45213是一个五级排列.,例2,写出所有的3级排列,解：123,132,213,231,312,321共6个=3！,定义2,称123n为一个n级自然顺序排列。,注,自然顺序排列的排序按小到大递增排列，而其它排列都或多或少破坏了这种自然顺序。,二、逆序、逆序数,1)在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，则称这对数为一个逆序；
2、,定义2,在1,2,n的一个排列j1 j2 jn中,如果有一个大数排在小数之前，则称这两个数之间构成一个逆序,等价表述,2) 一个排列j1 j2 jn中逆序的总数称为这个排列的逆序数,记为(j1 j2 jn).,例3 (31542)=5,逆序有：31,32,54,52,42(53412)=8,逆序有：53,54,51,52,31,32,41,42,注,(j1 j2 jn) = j1后面比j1小的数的个数+ j2后面比j2小的数的个数+jn1后面比 jn1小的数的个数,或 = jn前面比jn大的数的个数+ jn1前面比jn1大的数的个数+ j2前面比j2大的数的个数,例4,求排列n(n1)21及
3、12 n的逆序数.,解,练习,求下列排列的逆序数135(2n-1)(2n)(2n-2)2(2n)1(2n-1)2(2n-2)3(n+1)n,Key: n(n-1), n2,三、奇排列、偶排列,定义 逆序数为奇数的排列称为奇排列， 逆序数为偶数的排列称为偶排列,如：31542为奇排列，12345为偶排列,四、对换,把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数保持不动，得到另一个排列，这一变换称为一个对换,在排列中，如果是i, j ,则记为(i, j),重要结论,定理1,对任意一个排列，连续施行两次相同的对换，则排列仍是原排列。,性质1,对换改变排列的奇偶性,理解定理的证明思路 ，培养抽象思维能力,自然排列12n都可经过一系列对换变成任意一个n级排列i1i2in.,定理2,任意一个n级排列i1i2in都可经过一系列对换变成自然排列12n.,推论1,若i1i2in, j1 j2 jn是任意两个n级排列，则可经过一系列对换使i1i2in变成j1 j2 jn.,推论2,定理3,在所有的n(n2)级排列中,奇偶排列各占一半。,
