1、自动控制原理课程大作业班级：1302011成员：刘罡 13020110038潘仕林 13020110035赵奇 130201100622014 年自动控制技术课程大作业一、课程习题1带飞球式调节器的瓦特蒸汽机是近代工业革命兴起的标志，同样也是一个典 型 的 反 馈 控 制 系 统 ， 请 画 出 该 系 统 的 组 成 框 图 ， 并 注 明 下 列 器 件 的 位 置 ， 并 说 明 与每个信号相关的装置。受控过程 过程要求的输出信号 传感器执行机构 执行机构的输出信号 调节器调节器输出信号 参考信号 误差信号图 1.1 瓦特离心式调速器示意图解：受控过程 蒸汽机运行 过程要求的输出信号 转
2、速 传感器 履带执行机构 蒸汽阀 执行机构的输出信号 蒸汽推力调节器 调速器 调节器输出信号 调速器转速 参考信号 规定转速 误差信号 转速偏差传感器控制器 执行机构 对象R C2.倒 立 摆 控 制 系 统 是 一 个 典 型 的 非 线 性 、 强 耦 合 、 多 变 量 和 不 稳 定 系 统 。 倒 立 摆 的控 制 问 题 就 是 给 连 接 摆 杆 的 小 车 施 加 控 制 力 ， 使 摆 杆 尽 快 的 达 到 一 个 平 衡 位 置 ， 并且 保 证 不 出 现 过 大 的 振 荡 。 当 摆 杆 到 达 期 望 的 平 衡 位 置 后 ， 系 统 能 克 服 随 机 扰 动
3、保持在平衡点。如图 2 所示是一个简单的一阶倒立摆系统，这里忽略空气阻力和各种次要的摩 擦 力 ， 将 倒 立 摆 系 统 看 做 是 一 个 由 小 车 和 均 匀 刚 性 杆 组 成 的 系 统 。 假 设 系 统 初 始 状 态 时 ， 摆 杆 垂 直 于 小 车 处 于 平 衡 状 态 ， 此 时 摆 杆 受 到 冲 激 信 号 作 用 产 生 一 个 微 小的偏移。建立此时系统的控制系统数学模型。图 1.2 小车-单摆系统示意图解：1. 一阶倒立摆的微分方程模型对 一 阶 倒 立 摆 系 统 中 的 小 车 和 摆 杆 进 行 受 力 分 析 ， 其 中 ， N 和 P 为小车与摆
4、杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。图 1-2 小车及摆杆受力图分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：（1-1） 由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：（1-2）即：（1-3）把这个等式代入式(1-1)中，就得到系统的第一个运动方程：（1-4）为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析， 可以得到下面方程：（1-5）即：（1-6）力矩平衡方程如下：（1-7）由 于 所 以 等 式 前面有负号。合并这两个方程，约去 P 和 N，得到第二个运动方程：（1-8）设 ， （ 是摆杆与垂直向上方向之间的夹角） ， 假设 mx*Y(end); tr(i)=T(2)*(
5、post1(1);or(i)=(max(Y)-Y(end)/Y(end);if tr(i)1mid=ceil(length(k1)/2); subplot(2,2,1);pzmap(sys1(k1(mid); title(开环零极点分布图); subplot(2,2,2);rlocus(sys); title(根轨迹曲线)grid on; subplot(2,2,3);pzmap(sys2(k1(mid); title(闭环零极点分布图); subplot(2,2,4);step(sys2(k1(mid);title(阶跃响应delta=,num2str(100*or(k1(mid),% t_
6、r=,num2str(tr(k1(mid); else disp(不存在满足指标的 K 值);endK=2.6；4.我们希望设计一个汽车的速度自动控制系统,假定 (a)汽车的质量为1500kg;(b)加速度计提供控制信号 U,即当其角速度变化 1 度时, 便在汽车上施 加 10N 的力;(c)空气的摩擦阻力正比于速度,其比例系数为 10Ns/m。1） 试求出从输入 U 到汽车转速间的传递函数2） 假设转速的变化由下式给出：V(s) = 1 + 0.002 ( )+0.05 + 0.02 ( )其中 V 的 单 位 为 米 /秒 ， U 的 单 位 为 度 ， W 为 公 路 等 级 。 设 计
7、 一 个 比 例 控制器 U =-kpV，使转速误差小于 1m/s，此时路面的等级为常值的 2%。 3） 试讨论当对系统施加积分控制时，会带来什么好处。4） 若该系统在纯积分控制作用下， 适当选择反馈增益使系统处于临界阻尼状态。 解：（1）（2） 程序代码：clc; clear; close all; k=0.1:5; j=1;for i=1:length(k) b=0.05*0.02*1,0.002;V(s) = ( ) 573 + 10a=conv(1,k(i)+0.002,1,0.02);sys(i)=tf(b,a);y,t = impulse(sys); if max(y)0 impu
8、lse(sys(post(1);elsedisp(无满足要求的 K);end运行结果：K=0.3（3） 对系统施加积分控制会提升系统类型号减小稳态误差。（4）特征方程：573 2 + 10 + = 0临界阻尼方程有重根 = 0.04365.假设一种位置伺服控制系统中受控对象的传递函数为：10G(s) = (s + 1)(s + 10)在单位反馈结构中设计传递函数为 D(s)的串联补偿，使以下闭环性能指标 得到满足：参考阶跃输入响应的超调量不大于 16%； 参考阶跃输入响应的上升时间不超过 0.4 秒。单位斜坡输入的稳态误差小于 0.02 1）设计超前补偿环节使系统满足动态响应指标。2）如果 D
9、(s) 为比例控制器，其值为 kp，速度常数 Kv 为多少？3）设计一个滞后补偿，与已经设计的超前补偿串联使用，是系统满足稳态误差 指标。4）绘制最终设计结果的根轨迹图及单位阶跃参考输入下的响应曲线。解：（1） 采用根轨迹校正方法 程序代码：clc; clear; close all; b=10;a=conv(conv(1,1,1,10),1,0);sys=tf(b,a); d=0.2; tr=0.4;wd=(pi-acos(d)/tr;x=-wd/tan(acos(d); y=wd;s1=x+y*j; z=x;op=pi+angle(s1+z)-angle(s1)-angle(s1+1)-a
10、ngle(s1+10); p=x-y*tan(op);k=abs(prod(s1,s1+1,s1+10,s1-p)/abs(s1-z)/10; b1=k*1,-z;a1=1,-p;sys1=tf(b1,a1); den1=conv(b1,b); num1=conv(a1,a); sysg1=tf(den1,num1); sysf1=feedback(sysg1,1,-1); subplot(2,2,1); pzmap(sysf1); subplot(2,2,2); rlocus(sysg1); subplot(2,2,3);step(sysf1); subplot(2,2,4); bode(s
11、ysg1);运行结果：超前矫正装置：sys1 =83.43 s + 75.45-s + 18.59（2）（3） 采用根轨迹矫正 程序代码：clc; clear; close all; b=10;a=conv(conv(1,1,1,10),1,0);sys=tf(b,a); d=0.2; tr=0.4;wd=(pi-acos(d)/tr;x=-wd/tan(acos(d); y=wd;s1=x+y*j; z=x; = lim ( ) = 0op=pi+angle(s1+z)-angle(s1)-angle(s1+1)-angle(s1+10); p=x-y*tan(op);k=abs(prod(
12、s1,s1+1,s1+10,s1-p)/abs(s1-z)/10; b1=k*1,-z;a1=1,-p;sys1=tf(b1,a1); den1=conv(b1,b); num1=conv(a1,a); sysg1=tf(den1,num1); sysf1=feedback(sysg1,1,-1);%subplot(2,2,1);%pzmap(sysf1);%subplot(2,2,2);%rlocus(sysg);%subplot(2,1,2);%step(sysf1);%bode(sysg); wa=13.7; k2=60; k1=50;b2=1,wa/k2; a2=1,wa/k2/k1;
13、 sys2=tf(b2,a2); den2=conv(b2,den1); num2=conv(a2,num1); sysg2=tf(den2,num2); sysf2=feedback(sysg2,1,-1); subplot(2,2,1); pzmap(sysf2); subplot(2,2,2); rlocus(sysg2); subplot(2,2,3);step(sysf2); subplot(2,2,4); bode(sysg2);运行结果：滞后校正装置：sys2 =s + 0.2283-s + 0.004567开环增益：K= 202.9446斜坡输入稳态误差为 1/K= 0.004
14、9（4） 见（3）结果6.表 1.1 中给出的频率响应数据来自于一个直流电机，该电机用于一个位置控 制系统。假定该电机模型为线性的且为最小相位。 1）估计该系统的传递函数 G(s)。2）为该电机设计一个串联补偿器，使得该闭环系统满足以下性能指标： a）对单位斜坡输入的稳态误差小于 0.01。b）PM45。表 1.1 直流电机控制系统频率响应数据表解：（1）经 观 察 曲 线 拐 点 为 1 = 4 和 2 = 80 增益 K=100；100G(s) = ( + 1)( + 1) = ( + 1)( + 1)拟合曲线如下： 1 2 4 80（2） 采用滞后校正 程序代码：clc; clear;
15、close all; k=100; w1=4; w2=80;b=k; a=conv(conv(1/4,1,1/80,1),1,0);sys=tf(b,a);mag,phase,wout,sdmag,sdphase = bode(sys); magdb=20*log10(mag);pm=45; rpm=10;om=-180+pm+rpm; post=find(phase=om);wo=wout(post(1); k=mag(post(1); k1=50;wo1=wo/k1; T=1/sqrt(k)/wo1; b1=1/k*1,1/T; a1=1,1/k/T; sys1=tf(b1,a1); de
16、n=conv(b1,b); num=conv(a1,a); sysg=tf(den,num); bode(sysg);运行结果：矫正装置：sys1 =0.03663 s + 0.01128-s + 0.01128开环增益 K=100斜坡输入稳态误差为 1/K= 0.017.考虑图 1.4 所示的电路，输入电压源为 u(t)、输出电流为 y(t)。11）使用电容电压和电感电流作为状态变量，写出该系统的状态方程和输出方 程。2）使系统不可控，求出 R1、 R2 、C 和 L 应满足的条件。找出一组类似的条件 使系统不可观测。3）从系统时间常数的角度解释 2）中求出的条件。4）求出该系统的传递函数，
17、并证明 2）中的条件存在零极点抵消的现象。解：(1)1 = 11 1+ 12 2 = 2+ = 1 + + 1 2 1 1 0 1A = 10 2 B = 1 C = (2)1 10 D = 1 1可控性：1 1 = 1 ( 1 )2 1 2 2 rankB AB 211 2 = 1可观性： 11 1 1 = 1 22 rank 2 2 = 1 1(3)1RC 电路时常数 1 = 2RL 电路时常数 2 = 电路不可控与不可观条件为 1 = 2(4)H(s) = ( ) ( )1=1 + 1+ + 2经化简： 11 11 2 + ( 2 + ) + H(s) = 1当 1 = 2 = T 时
18、1 ( + 1)( + 2)1 ( + )( + 1 ) ( + 1 )H(s) = = 1 1传递函数出现零极点相消。( + )2 1 ( + )二、综合设计 热水开了没？恒温控制设计温度控制系统是以温度作为被控变量的反馈控制系统，广泛应用与工业生 产的各个领域。温度控制系统常用来保持温度恒定或者使温度按照某种规定的 程序变化。这里，我们研究的就是大家每天在教学楼里都可见到的热水器。如图 2 所示，假设水箱高水位容量为 50 升，水温 98以上为沸水。热水器 在加电启动后，控制电磁阀进行注水，同时接通加热管电源进行加热。基本的 调节规则包括： 1）水位检测与加热控制只要水位高于低水位，加热管
19、就通电加热；水位低于低 水位点则停止加热。 2）水位检测与电磁阀控制热水器工作时，实际水位只要低于高水位点则打开电 磁阀注水；实际水位高过高水位点后电磁阀关闭，停止注水；3）当温度传感器检测到水温达到预设温度值后，加热器停止加热。4）热水嘴由外部使用者控制，随时有可能打开出水。设计要求：图 2 热水器内部结构示意图1）根据实际情况估计或设计热水器各部件的物理参数，建立热水箱的系统数学 模型，并分析水箱从无水到加满水并烧开最少需要多长时间？ 2）假设热水嘴不放水，而水箱存在热耗散，为了达到满水温度保持的目标，考 虑合适的预期温度设定，设计数字控制器对热水器的温度进行恒温控制。 3）假设热水嘴每次
20、放水 500ml，如果每次放水后就打开电磁阀注水，那么需要 间隔多长时间才能喝到开水？如果课间休息 10 分钟，有 100 人排队接水， 热水器能够保证每个人都喝上开水吗？如果不能，如何调整控制策略来满足 要求？解：（ 1） 系统参数： 加热功率 P 高水位容量 低水位容量 进水流量 预定温度 1 初始水温 0水的比热容 C水密度 数学模型： 0 0 1( 0) 0 + 1 2T = 0 + ( 0) 1 2 (10) 1 2 3 其 中 1 = 2= +P 模型求解：P=3000W = 50 dm3 = 10 3 = 1 3/ 1 = 98 0 = 20 CC=4.2kJ/(kg*k) =
21、1 kg/3 3=92 (2)建立数学模型控 制 算 法 即 控 制 器 的 操 作 方 式 ， 是 控 制 器 对 过 程 变 量 的 实 测 值 与 设 定 值 之 间 的误差信号的响应。温度控制在工业领域应用非常广泛，由于其具有工况复杂、 参数多变、运行惯性大、控制滞后等特点,它对控制调节器要求较高。温度控制 不 好 就 可 能 引 起 生 产 安 全 ， 产 品 质 量 和 产 量 等 一 系 列 问 题 。 因 此 长 期 以 来 国 内 外 科 技 工 作 者 对 温 度 控 制 器 进 行 了 广 泛 深 入 的 研 究 ， 产 生 了 大 批 温 度 控 制 器 ， 如 性 能
22、成熟应用广泛的 PID 调 节 器 、 智 能 控 制 PID 调 节 器 、 自 适 应 控 制 等 。 此 处 主 要 对 一 些 控 制 器 特 性 进 行 分 析 以 便 选 择 适 合 的 控 制 方 法 应 用 于 改 造 。 再 加 上 PID 控 制 具 有 原 理 简 单 ， 易 于 实 现 ， 适 用 面 广 ， 控 制 参 数 相 互 独 立 ， 参 数 的 选 定 比 较 简 单 等 优 点 ； 而 且 在 理 论 上 可 以 证 明 ， 对 于 过 程 控 制 的 典 型 对 象 “一 阶 滞 后纯滞后”与“二阶滞后纯滞后”的控制对象，PID 控制器是一种最优控制。
23、其调节规律是连续系统动态品质校正的一种有效方法，它的参数整定方式简便， 结构改变灵活（ PI、PD、） 。它的控制框图如图 4.2 所示。图 4.1 PID 控制框图4.2.1 模拟控制系统的 PID 算法模拟控制系统的 PID 控制规律表达式为：u(t) k e(t) 1 t e(t)dt T de(t)c T 0（4.1）D dt式（4.1）中，u(t) 为控制器的输出； e(t)为偏差，设定值与反馈值之差；kc 为控制器的放大系数，即比例增益；T 为控制器的积分时间常数； TD 为控制器 的微分时间常数。对于 DDC 控制系统，它是对被控对象进行断续控制，因此要对上式进行离 散化。t令
24、： 0 e(kt) dti0de(t) dt e(k) e(k 1)（4.2）可得第 K 次计算机输出的位置型 PID 控制算式为 k Tu(k) kce(k) e(i) e(k) e(k 1)DT1 i0 k或 u(k) Kce(k) KI e( j) KD e(k) e(k 1)i0（4.3）式 （4.3） 表示的控制 算法提供了执行机构的位置 u(k)（如阀门开度 ） ， 所以 称为位置式 PID 控制算法。为程序设计方便，将式(4.11)作进一步的改进，设比例项输出：uc (k) Kce(k)（4.4）积分项输出：kuI (k) KI e( j)j 0（4.5）k 1 KI e(k)
25、KI e( j)j 0 KI e(k) uI (k 1)微分项输出：uD KD e(k) e(k 1)（4.6）所以， （4.3）可写为u(k) uP (k) uI (k) uD (k)（4.7）式(4.7)为离散化的位置型 PID 编程公式，若采用浮点运算，当 K P、K I、 KD 分别求出 （并转成三字节浮点数 ） ， 且存放在指定的内部 RAM 中， 则完成式（4.7）位置型浮点运算 15，位置型 PID 运算程序流程见图 4.2。4.2.2 增量式 PID 算法 当执行机构需要的不是控制量的绝对数值， 而是其增量（例如驱动步进电机）时，由式（4.1）可导出提供增量 PID 算法，这只
26、要将式Tui Kei Tiiei j 0(ei ei1 ) u0（4.8）及Tui1 Kei1 Tii1ei j 0(ei1 ei2 ) u0（4.9） 相减就可以得到下面的公式Tui ui ui1 Kei ei1 TiTdei T (ei 2ei1 ei2 )（4.10）式（4.10 ）称为增量式 PID 控制算法，也可以进一步改写为：ui d0ei d1ei1 d2ei2（4.11） 其中TdTTdT0d K (1 TTi Td )Td K (1 2Td )1 Td K Td2 T可见增量式算法只需要保持现时以前的 3 个时刻的偏差值即可。 由式（4.10）可知，增量型 PID 算式为：u
27、i T ui ui1 Kei ei1 TiTdei T (ei 2ei1 ei2 )设：uP (k) KP e(k) e(k 1)uI (k) KDe(k)（4.12）uD (k) KD e(k) 2e(k 1) e(k 2)所以u(k) uP (k) uI (k) uD (k)（4.13）式(4.13)为离散化的增量型 PID 编程表达式。当系数 K P、K I、K D 求出后， 分别存在指定的 RAM 单 元 中 。 在 初 始 化 程 序 中 ， 将 e(k-1)、 e(k-2)、 uP(k)单 元 清 零，而后编程同位置型 PID 程序编制出增量型浮点运算 PID 程序，增量型浮点 P
28、ID 运算程序流程见图 4.3。开输入 M(k)，R(k)计算 e(k)=r(k)-m(k)计算 uP(k)=KPe(k)计算 uI(k)=KIe(k)+uI(k-1)计算 uD(k)=KDe(k)+e(k-1)计算 u(k)=uP(k)+uI(k)+uD(k)将 u(k)转换成双字节整数放入内存单元中e(k-1)e(k)返 回开输入 M(k)，R(k)计算 e(k)=r(k)-m(k)计算 uP(k)=KPe(k)-e(k-1)计算 uI(k)=KIe(k)计算 uD(k)=KDe(k)-2e(k-1)+e(k+2)计算 u(k)=uP(k)+uI(k)+uD(k)返 回图 4.3 增量式
29、PID 运算程序流程图采用 PID 控制其优点是理论和技术都很成熟，在单片机上用软件较易实现， 可 以 达 到 较 小 的 静 态 误 差 ， 但 必 须 仔 细 调 整 控 制 参 数 ， 才 能 获 得 较 好 的 效 果 。 并 且 它 能 够 在 控 制 过 程 中 根 据 预 先 设 定 好 的 控 制 规 律 不 停 地 自 动 调 节 控 制 量 以 使 被 控 系 统 朝 者 设 定 的 平 衡 状 态 过 度 ， 最 后 达 到 控 制 范 围 精 度 内 的 稳 定 的 动 态 平 衡 状态。最 后 ， 我 们 通 过 比 较 位 置 式 和 增 量 式 的 PID 算法可
30、以得出增量式控制的优点： 误动作时影响小，手动/自动切换时冲击小，便于实现无扰动切换，此外，当计 算 机 发 生 故 障 时 ， 由 于 输 出 通 道 或 执 行 装 置 具 有 信 号 的 锁 存 作 用 ， 仍 然 能 保 持 原值 ； 算 式 中 不 需 要 累 加 ， 控 制 增 量 uc (k) 的 计 算 仅 与 最 近 三 次 的 采 样 值 有 关 ， 所 以较容易通过加权处理而获得比较好的控制效果。因 此 ， 基 于 增 量 式 数 字 PID 的 特 性 和 结 合 本 控 制 系 统 的 技 术 指 标 和 要 求 ， 我 们 采用增量式的数字 PID 进行调整运算控制 PWM 波 形 的 产 生 ， 达 到 控 制 继 电 器 的 通 断图 4.2 位置式 PID 运算程序流程图进行加热。 (3)放 水 流 量 0 放水后温度 1 加 热 时 间 t（ 0） 1 +00T = （ 1 T） 求解： 0 = 0.5 dm3策略： 连续多个人同时接水t =t = 1 min
