1、第四讲 控制方程离散方法简介,屠基元 教授清华大学墨尔本皇家理工大学,三个关键环节,建立恰当的数学模型Proper Mathematical Modelling对求解区域进行离散化处理Discretization of Computational Domain对数学模型进行离散化处理Discretization of Mathematical Model,控制方程的离散方法,1、有限差分法(Finite difference method，FDM) 偏微分方程差分，最古老、最普遍的方法； 十分简便而有效，很容易引入对流项的高阶格式 离散方程的守恒特性难以保证，不规则区域的适应性差,2、有限容积
2、法(Finite volume method，FVM) 积分守恒型控制方程的离散，是目前应用最普遍的方法； 具有守恒性，对区域形状的适应性较好，,3、有限元法(Finite element method，FEM) 对积分控制方程离散，流体计算不如有限容积法发展成熟 不规则几何区域的适应性好，,4、有限分析法(Finite element method, FEM) 80年代初发展起来的一种数值方法，可克服高Reynolds 数下数值解容易发散或振荡的缺点， 计算工作量较大，对计算区域几何形状的适应性也较差,5、边界元法(Boundary element method,BEM) 求解问题的空间维数
3、降低一阶，从而使计算的工作量及所需计算机容量大大减小。 边界元法最大限制是：需要已知所求解偏微分方程的格林函数基本解。,6、谱分析方法 被求解的函数用有限项的级数表示，目前用得不普遍 优点是可以获得高精度的解，但不宜编制通用程序,控制方程的离散方法,7、数值积分变换法(Integral transformation method，ITM) 对不具备分析解的非线性偏微分方程，把它的解表示成一个特征值问题的解及一个降维的定解问题解的组合 优点是计算时精度可以较高，但不容易形成通用程序，特征值问题的选取有任意性，对强非线性问题，计算量较大。,8、格子Boltzmann方法(latticeBoltzm
4、an method，LBM) 基于分子运动论的一种模拟流体流动的数值方法，不再基于连续介质的假设，而是把流体看成是许多只有质量没有体积的微粒所组成，这些微粒可以向空间若干个方向任意运动。通过其质量、动量守恒的原理，建立起表征质点在给定的时刻位于空间某一个位置附近的概率密度函数。再通过统计的方法来获得质点微粒的概率密度分布函数与宏观运动参数间的关系,控制方程的离散方法,6,计算求解的整体步骤,7,正交网格中的网格节点,有限差分中等距一维及二维正交网格描述,Taylor级数展开法,控制方程离散化的方法：Taylor级数法多项式拟合法控制容积法。Taylor级数法和控制容积法最为重要Taylor级数
5、法的基本思路借助Taylor级数展开给出各阶导数的差商表达式将方程中的各阶导数用相应的差商表达式代替整理化简,Taylor级数展开法等步长,参照前图1，等步长时，x (x)w (x)e 各阶导数的表达式向后差分：用于时间偏导数和对流项的处理,向前差分：,Taylor级数展开法等步长,三点中心差分格式：主要用于扩散项的处理,11,一阶导数 /x,有限差分的图像表示,12,有限体积法I,非结构化网格,结构化网格,13,有限体积法II,对控制体积分应用高斯散度定理，对于二维问题，的一阶导数可以近似为：,在 x 方向,在 y 方向,14,离散化例子I,在结构化均匀网格中，利用有限体积法对二维连续性方程离散化。,连续性方程,15,离散化例子II,在x方向,在y方向,16,离散化例子III,从控制体质心速度得到表面速度：,连续方程的最终离散形式：,式中,17,控制方程向代数方程的转化I,均匀发热无限大平板的稳定导热问题,x,y,z,A,B,TA=100 oC,TB=400 oC,L,q =500 W/m3,大平板区域的有限体积离散,18,控制方程向代数方程的转化II,对于恒定的传热系数和热流量，方程变为：,引入线性近似梯度：,将上述方程进行重新整理，得到代数方程：,19,控制方程向代数方程的转化III,控制体每一节点的系数值,20,控制方程向代数方程的转化IV,代数方程组的矩阵形式：,
