1、1新授课:3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义教学目标重点:复数代数形式的加法、减法的运算法则难点:复数加法、减法的几何意义.知识点: .掌握复数代数形式的加、减运算法则;1.理解复数代数形式的加、减运算的几何意义.2能力点:培养学生渗透转化、数形结合的数学思想方法,提高学生分析问题、解决问题以及运算的能力教育点:通过探究学习,培养学生互助合作的学习习惯,培养学生对数学探索和渴求的思想. 在掌握知识的同时,形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神.自主探究点：如何运用复数加法、减法的几何意义来解决问题.考试点：会计算复数的和与差;能用复数加、减法的几何意义解决简单问题.易错易混点：复数
2、的加法与减法的综合应用.拓展点：复数与其他知识的综合.一、 引入新课复习引入.虚数单位 ：它的平方等于 ,即 ; 1i12i.对于复数 ：2i,zabR当且仅当 时, 是实数 ;0当 时, 为虚数;bz当 且 时, 为纯虚数;a当且仅当 时, 就是实数 .0z0.复数集与其它数集之间的关系： .3NZQRC.复数几何意义：4我们把实数系扩充到了复数系,那么复数之间是否存在运算呢?答案是肯定的,这节课我们就来研究复数的加减运算.【设计意图】通过复习回顾复数概念、几何意义等相关知识,使学生对这一知识结构有个清醒的初步认知,逐渐过渡到对复数代数形式的加减运算及其几何意义的学习情境,为探究本节课的新知
3、识作铺垫.二、探究新知探究一:复数的加法复数 复平面内的点i,zab,abZ一一对应一一对应复数 复平面内的向量i,zabR=,OZab2.复数的加法法则1我们规定,复数的加法法则如下:设 , 是任意两个复数,那么：1izab2i(,)zcdabR1i()icabd提出问题：( )两个复数的和是个什么数,它的值唯一确定吗?( )当 时,与实数加法法则一致吗?2=0,bd( )它的实质是什么?类似于实数的哪种运算方法?3学生明确:( )仍然是个复数,且是一个确定的复数;1( )一致;2( )实质是实部与实部相加,虚部与虚部相加,类似于实数运算中的合并同类项【设计意图】加深对复数加法法则的理解,且
4、与实数类比,了解规定的合理性:将实数的运算通性、通法扩充到复数,有利于培养学生的学习兴趣和创新精神 .复数加法的运算律实数的加法有交换律、结合律,复数的加法满足这些运算律吗?对任意的 ,有123,zC（交换律）,121zz（结合律） .323()()【设计意图】引导学生根据实数加法满足的运算律,大胆尝试推导复数加法的运算律,学生先独立思考,然后小组交流.提高学生的建构能力及主动发现问题,探究问题的能力.复数加法的几何意义3复数与复平面内的向量有一一对应关系,那么请同学们猜想一下,复数的加法也有这种对应关系吗?设 分别与复数 对应,则有 ,由平面向量的坐标运算有12OZiabcd12(,)()O
5、Zabcd.,这说明两个向量 的和就是与复数 对应的向量.因此,复数的加法可以按照向量加法12Z与 ()+ic的平行四边形法则来进行.这就是复数加法的几何意义.如图所示： 2(,)Zd1(,)Zab由图可以看出,以 、 为邻边画平行四边形 ,其对角线 所表示的向量 就是复数1OZ2 12OOZ对应的向量.()+iacbd【设计意图】通过向量的知识,让学生体会从数形结合的角度来认识复数的加减法法则,训练学生的形象思维能力,也培养了学生的数形结合思想 .另外,当两复数的对应向量共线时 ,可直接运算;当不共线时,可yx3类比向量加法的平行四边形,也培养了学生的类比思想.探究二:复数的减法类比复数的加
6、法法则,你能试着推导复数减法法则吗?.复数的减法法则1我们规定,复数的减法是加法的逆运算,即把满足 (i)iicdxyab的复数 叫做复数 减去 的差,记作 .根据复数相等的定义,有ixyiabi()cd,因此,xacybd所以,i()i即.(i)i()iabcdabd这就是复数的减法法则,所以两个复数的差是一个确定的复数.【设计意图】复数的减法运算法则是通过转化为加法运算而得到的,渗透了转化的数学思想方法,是学生体会数学思想的素材.让学生自己动手推导减法法则,有利于培养学生的创新能力和互助合作的学习习惯.考查学生的类比思想,提高学生主动发现问题,探究问题的能力.复数减法的几何意义2设 分别与
7、复数 对应,则这两个复数的差 与向量 （即 ）对应,12,OZiabcd12z12OZ1Z这就是复数减法的几何意义.如图所示.【设计意图】两个复数的差 （即 ）与连接两个终点 , ,且指向被减数的向量对应,这12z12OZ1Z2与平面向量的几何解释是一致的;它不仅又一次让我们看到了向量这一工具的功能,也使数和形得到了有机的结合注意：只有将差向量平移至以原点为起点时,其终点才能对应该复数.三、理解新知.复数的加减法法则:1设 , 是任意两个复数,规定：izab2i(,)zcdabRyx2Z1Z4;12()izacbd.复数加、减法的几何意义：2( )复数的加法按照向量加法的平行四边形法则;1(
8、)复数的减法按照向量减法的三角形法则.几点说明:3( )复数的加(减)法法则规定的合理性:它既与实数运算法则,运算律相同,又与向量完美地结合起来;( )复数的加(减)法实质是:复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减;2( )多个复数相加减:可将各个复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减( )复平面内的两点间距离公式: .412dz其中 是复平面内的两点 和 所对应的复数, 为点 和点 间的距离. 即两个复数差的模的几12,zZd1Z2何意义是:两个复数所对应的两个点之间的距离【设计意图】加深对复数加(减)法法则的理解,从不同的角度总结,既学到知识,又学到了数学方法,使知识更加系统化,学生的思维
9、将上升到一个更高的层面,为准确地运用新知,作必要的铺垫.培养学生的归纳概括能力,使学生对所学的知识有一个整体的认识,解决问题时可以信手拈来.四、运用新知例 .计算：1; ;()23i(5)(2)1i)(2i); ;45634解: ;(1)i()(3)i;212i20; (3)i(5)()i5i.46i34i3(614)i【设计意图】直接运用复数的加、减法运算法则进行,就是将它们的实部、虚部分别相加、减,实数范围的运算律在复数范围内仍然成立.变式训练:计算 .(12i)3i)(4i5)i(1920i)(201i)解：（解法一）原式 1263456021)i .0i（解法二） ;(i);345i1
10、i5Z2 Z1OyxZZ2Z1Oyx.(1920i)(201i)i将上列 个式子累加,得.(i)0i【设计意图】复数的加减法,相当于多项式加减中的合并同类项的过程;如果根据给出复数求和的特征从局部入手,抓住了式子中相邻两项之差是一个常量这一特点,适当地进行组合,从而可简化运算.进一步巩固复数加减运算,并带有一定的规律性.例 . 设 分别与复数 对应,计算 ,并在复平面内作出 ,2(1)2,OZ1253i,4iz12z12OZ设 分别与复数 对应,计算 ,并在复平面内作出 .1 +解：图 图1.（如图 所示）;(1)2=(5+3i)4i(5)34iz1.（如图 所示）. 212【设计意图】由复数
11、的几何意义知,复数 , 所对应的的点分别为 . 就是表示向量 ,而z212,Z12O21Z可利用平行四边形法则作出.12OZ变式训练:已知复数 , 分别对应向量 （ 为坐标原点）,若向213(5)iza221()i(zaaR12,Z量 对应的复数为纯虚数,求 的值.2Z答案： .例 .已知关于 的方程： 有实数根 .3x2(6i)9i0()xab求实数 的值;(1),ab若复数 满足 ,求 的最小值2zi2z解： 由题意,得 ,即 .()2(6)9i0ba2(69)()i0bab由复数相等的定义得 , 解得 .a36设 ,(2)i(,)zxyR由 ,得 ,20abz(3)i2xyz即 ,整理得
12、 ,2(3)()4)xy 2(1()8xy即复数 在复平面内所对应的点 的轨迹是以 为圆心,半径长为 的圆.zZyC2又 的几何意义是 与原点 的距离,(,)xyO(0)如图,由平面几何知识知, .min22zA【设计意图】在问题 中由复数相等的概念,列方程组求出两个参数值,把复数问题实数化,既复习了概(1)念,又锻炼了学生的计算能力和解决问题的能力; 在问题 中由 ,把 转化为(2)22(0)()zxyz复数 所对应的点与原点的距离,解决此类问题的关键是利用复数的几何意义画出图形,在图形中寻求答z案,把数转化成形,利用数形结合思想解决即可变式训练:复数 的模为 ,求 的最大值和最小值.z1i
13、z答案: .2+,【设计意图】通过变式训练,便于学生全面的认识利用复数差的模的几何意义解决问题,提高学生理解、运用知识的能力.五、课堂小结 (一)知识:.复数代数形式的加法、减法的运算法则;1.复数加法、减法的几何意义.2.几点说明:3( )复数的加(减)法法则规定的合理性:它既与实数运算法则,运算律相同,又与向量完美地结合起来;( )复数的加(减)法实质是:复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减;( )多个复数相加减:可将各个复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减( )复平面内的两点间距离公式: .412dz其中 是复平面内的两点 和 所对应的复数, 为点 和点 间的距离. 即两个复数差的模
14、的几12,zZd1Z2何意义是:两个复数所对应的两个点之间的距离7(二)思想方法:类比的思想、转化的思想、数形结合的思想【设计意图】通过课堂小结,增强学生对复数代数形式的加法、减法的运算法则及几何意义的理解,及时查缺补漏,从而更好地运用知识,解题要有目的性,加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用深化对知识的理解,完善认识结构,领悟思想方法,强化情感体验,提高认识能力.引导学生自我反馈、自我总结,并对所学知识进行提炼升华,使知识系统化.让学生学会学习,学会内化知识的方法与经验,促进学习目标的完成.六、布置作业 必做题：.计算： ; .1()24i(3i)(2)34i(2i)15i).复数 与
15、对应的向量分别是 与 ,其中 是原点,求向量 , 对应的复数,并指出6+5OABAB其对应的复数位于第几象限.复平面上三点 分别对应复数 ,则由 所构成的三角形 是 三角形.3,ABC1,2i5,CC.求复数 , 所对应的两点之间的距离42i3.已知复数 满足 ,求复数 .5z+8iz.已知平行四边形 的三个顶点 对应的复数分别为 ,试求:6O,A0,32i4表示的复数; 表示的复数; 点对应的复数.(1)A(2)C(3)B答案: . ; . 5i. ,位于第三象限; ,位于第一象限.29i9.直角三角形. . . . . 345158iz. ; ; 6(1)i(2)i(3)6选做题：.在复平
16、面内,求满足方程 的复数 所对应的点的轨迹z+i4z.复数 满足 , ,求 .212z,121212答案： .提示:方程可以变形为 |,表示到两个定点 和 距离之和等于 的点的z(i)i4(0,1)(,4轨迹,故满足方程的动点轨迹是椭圆.提示:法一:数形结合思想,构造边长为 的正方形,则其中一条对角线的长度为 ,则所求的另一条对212角线的长度也等于 .28法二:(向量法)设 所对应的向量分别是 , ,将 两边平方得 ,则 ,12z, ab12z+0abA21(z)所以 .12【设计意图】设计必做题是引导学生先复习,再作业,培养学生良好的学习习惯,是让学生会用复数代数形式的加法、减法的运算法则
17、进行计算;设计选做题意在培养学生深刻理解复数差的模的几何意义,增加问题的多样性、趣味性,训练学生思维的发散性、深刻性.让学生理解知识之间的联系,培养学生用整体的观点看问题,起到巩固旧知的作用 七、教后反思 .本教案的亮点是:1本节中由于复数的加法法则是规定的,从问题入手,引导学生思考,让学生理解这种规定的合理性在（ ）复数加法的运算律及几何意义的处理上,都是让学生自主探究,使学生在参与中学会学习,学会合作,突出体现以学生为主,教师为辅的新课程理念( )对于复数减法的处理,采用了类比的数学思想方法,让学生自主探究,自己总结,且法则可以用已学的2知识推导,使学生体会其中的思想方法,培养学生的创新能力和运用数学思想方法解决问题的能力( )例题和练习的设计遵循由浅入深,循序渐进的原则,低起点,多落点,高终点,尽可能地照顾到各个层次3的学生.本节课的弱项是:复数的几何意义的例题没能体现学生的动手能力.2八、板书设计复数代数形式的加减运算及其几何意义3.21一、复习引入 二、探究新知三、理解新知四、运用新知例 1变式训练例 2变式训练例 3变式训练五、课堂小结六、作业
