1、数学建模作业一、教材 76 页第 1 章习题 1 第 7 题（来自高中数学课本的数学探究问题，满分 10 分）表 1.17 是某地一年中 10 天的白昼时间（单位：小时） ，请选择合适的函数模型，并进行数据拟合.表 1.17 某地一年中 10 天的白昼时间日期 1 月 1 日 2 月 28 日 3 月 21 日 4 月 27 日 5 月 6 日白昼时间 5.59 10.23 12.38 16.39 17.26日期 6 月 21 日 8 月 14 日 9 月 23 日 10 月 25 日 11 月 21 日白昼时间 19.40 16.34 12.01 8.48 6.13解：根据地理常识，某地的白
2、昼时间是以一年为周期而变化的，以日期在一年中序号为自变量 x，以白昼时间为因变量 y，则根据表 1.17 的数据可知在一年（一个周期）内，随着x 的增加，y 大约在 6 月 21 日（夏至）达到最大值，在 12 月 21 日（冬至）达到最小值，在 3 月 21 日（春分）或 9 月 21 日（秋分）达到中间值。选择函数作为函数值。根据表 1.17 的数据，推测 A,b 和 的值，作2sin()5Ab非线性拟合得 ，预测该地 12 月 21 日的.0si()12.3853x白昼时间为 5.49 小时。二、教材 100 页第 2 章习题 2 第 1 题（满分 10 分）继续考虑第 2.2 节“汽车
3、刹车距离”案例，请问“两秒准则”和“一车长度准则”一样吗？“两秒准则”是否足够安全？对于安全车距，你有没有更好的建议？解(1)按照 2.2 节中的“汽车刹车距离”案例， “两秒准则 ”和“一车长度准则”在模型分析与模型建立差不多相同，只是 K1 的取值不同。 D 前后车距（m）； v 车速（ m/s）； K1 按照“两秒准则 ”， D与v之间的比例系数（s） .于是“两秒准则 ”的数学模型为：D= K1* v ；(K1=2.0) ;(1.0)已经知道，刹车距离的数学模型为d= v+ ; ;(1.1)k12比较（1.0）与（1.1）式得d-D=（ + v- ）v;121所以当 + v- 0时，即
4、前后车距大于刹车距离的理论值，可以为是足够安全； + v- 0结合可得 S（t,c）= = = 2crp(0)-g (0)-c 3.212-0.0890 3.2这个结果表示的意思是如果农场每天投入的资金 c 增加 1%，出售时间就应该提前 2% 。（2）同理（1）总收益 Q 对每天投入资金 c 的灵敏度为S（Q,c）= dQdc cQQmax= rp(0) g (0) c4gr结合得Qmax= = =4 这结果表示的2crp(0) g (0) c 23.212 0.0890 3.2意思是如果每天投入的资金 c 增加 1%，那么最大利润就会减少 4%四、教材 143 页第 3 章习题 3 第 2
5、 题（满分 10 分）某种山猫在较好、中等及较差的自然环境下，年平均增长率分别为 1.68%、0.55%和-4.5%. 假设开始时有 100 只山猫，按以下情况分别讨论山猫数量逐年变化的过程及趋势：(1) 三种自然环境下 25 年的变化过程，结果要列表并图示；(2) 如果每年捕获 3 只，山猫数量将如何变化？会灭绝吗？如果每年只捕获 1 只呢？(3) 在较差的自然环境下，如果要使山猫数量稳定在 60 只左右，每年要人工繁殖多少只？解：解记第 k 年山猫 xk,设自然坏境下的年平均增长率为 r，则列式得xk+1=(1+r)xk, k=0,1,2其解为等比数列xk=x0(1+r)k, k=0,1,
6、2当分别取 r=0.0168 , 0.0055 和-0.0450 时，山猫的数量在 25年内不同的环境下的数量演变为年 较好 中等 较差0 100 100 1001 102 101 962 103 101 913 105 102 874 107 102 835 109 103 796 111 103 767 112 104 728 114 104 699 116 105 6610 118 106 6311 120 106 6012 122 107 5813 124 107 5514 126 108 5215 128 109 5016 131 109 4817 133 110 4618 135
7、110 4419 137 111 4220 140 112 4021 142 112 3822 144 113 3623 147 113 3524 149 114 3325 152 115 32（1） 在较好的自然环境下即 r=0.0168 时，x k 单调增趋于无穷大，山猫的数量将无限增长；（2） 在中等的自然环境下即 r=0.0055 时，x k 单调增并且趋于稳定值；（3） 在较差的环境中即 r=-0.0450 时，x k 单调衰减趋于 0，山猫将濒临灭绝。若每年捕获 3 只,b= 从上可以得出结论：3，则列式为Xk+1=(1+r)xkb则山猫在 25 年内的演变为年 较好 中等 较差0
8、 100 100 1001 99 98 932 97 95 853 96 93 784 95 90 725 93 88 666 92 85 607 90 83 548 89 80 499 87 77 4310 86 75 3911 84 72 3412 83 70 2913 81 67 2514 79 64 2115 78 62 1716 76 59 1317 74 56 1018 73 54 619 71 51 320 69 48 021 67 46 -322 65 43 -623 63 40 -924 61 37 -1125 59 35 -14由图上可知，无论在什么环境下，如果每年捕获山猫
9、 3 只，单调减趋于 0，那么最终山猫的数量都会灭绝，在较差的环境中第 20 年就会灭绝。同理，如果每年人工捕获山猫 1 只，那么山猫在不同环境中的演变为年 较好 中等 较差0 100 100 1001 101 100 952 101 99 893 102 99 844 103 98 795 104 98 756 104 97 707 105 97 668 106 96 629 107 96 5910 107 95 5511 108 95 5112 109 94 4813 110 94 4514 111 93 4215 111 93 3916 112 92 3617 113 92 3418 1
10、14 92 3119 115 91 2920 116 91 2621 117 90 2422 118 90 2223 119 89 2024 120 88 1825 121 88 16如果每年人工捕获山猫一只，在较好的环境下山猫的数量仍然会一直增加，在中等的环境下，山猫的数量趋于稳定，但会慢慢减少，在较差的环境下，山猫的数量一直在减少，很快就会灭绝。若要使山猫的数量稳定在 60 只左右，设每年需要人工繁殖 b 只，到第 k 年山猫的数量为 xk=(1+r)xk-1+b, k=0,1,2 这时 xk= xk-1 =60，r=-4.5%，代入上式得 b3 五、教材 143 页第 3 章习题 3 第
11、 4 题（满分 10 分）某成功人士向学院捐献 20 万元设立优秀本科生奖学金，学院领导打算将这笔捐款以整存整取一年定期的形式存入银行，第二年一到期就支取，取出一部分作为当年的奖学金，剩下的继续以整存整取一年定期的形式存入银行请你研究这个问题，并向学院领导写一份报告. 报告：摘要：本文主要研究的是基金的最佳使用方案，通过最佳的基金使用计划来提高每年发给学生的奖金。首先，计算在只有银行存款的条件下，按照收益最大化原则，把基金存入银行使每年发放的奖金数目尽可能多，由于银行存款的期限最长为五年，所以把奖金发放制定成为期五年的发放计划，第六年即可划入下一个五年周期的奖金发放计划中。在满足基金使用要求的
12、情况下，每年存入银行的各种存款的数目可以根据约束条件计算，然后分析银行存款和投资并存情况下各种资金的分配情况。存款与投资同时存在的情况。在不考虑风险的情况下，将投资看作是特殊的存款，其利率用平均收益率近似代替，按照第一步的方法计算此时奖学金发放所产生的资金分配，通过灵敏度分析得出：奖学金发放对投资的灵敏度较高。根据投资越分散风险越低，可知应将基金分散用于投资和存款，不应将基金大量用投资。在考虑风险的情况下，应保证基金收益能够满足奖学金的发放要求，期末基金余额应大体与基金初始金额相等。鉴于学校奖学金基金承担风险能力小，应采取谨慎的投资态度，因此应将学校奖学基金分为两部分：一部分用于保证奖学金的发
13、放；一部分用于投资。20 万可分为两部分，分别作为存款和投资资本。一方面银行存款以 20 万递减的趋势进行分析得出存款奖学金发放曲线，另一方面投资 0 万元开始以递增趋势进行分析得出投资奖学金发放曲线，两者的步长值相等且均为0.1 万元，然后将存款奖学金曲线和投资奖学金曲线在同一图中合并为一条曲线，即得出总的奖学金发放曲线，存款奖学金曲线和投资奖学金曲线的交点即为奖学金均衡点，此时，存款与投资的比例较为合适，接着分析投资风险，通过分析得出奖学金发放最优的基金使用方式。关键词：动态优化 资金合理分配 投资收益率一、问题分析在只有存款的条件下，可利用迭代法进行计算，用上一年到期存款发放奖学金，发放
14、奖学金后的余额作为剩余资金重新进行下期存款，得出每年应发放的奖学金最大数目及存入下期存款的种类。对于存款与投资同时存在的情况下，由于投资有收益率为负的情况，次种投资可看作为不存在的投资期限作简化处理，应为投资收益率为动态数据，因此无法进行精确计算，只能进行近似计算，在这种情况下将投资的平均收益率作为投资收益，这样不仅可以降低风险系数，简化计算。经过以上简化，在银行存款和投资并存的情况下，可以将投资看作是特殊的存款，这样可以利用与第一种情况相同的方法进行计算，这样计算出的基金使用方式比较合理，风险比较低，可以保证奖学金的发放。基于以上的条件将银行存款和投资并存的情况更详细的分析，把基金分为两部分
15、，一部分用于投资，一部分用于存款，观察存款变化时，奖学金变化的情况。以次得到更稳健的资金利用方法。二、模型建立为了尽可能的资金被充分利用，模型中总是把扣除奖学金后所余的现有资金全部用来存款或投资。由于银行存款和投资最大期限不大于五年，而本问题面对的是一个六年的基金投资计划，所以针对目标情况，做五年期的投资存款计划，模型中对相应的参数做了相应的处理。第一种情况下只有银行存款，可以简单的将各种条件转化为约束条件，求出最优解，并将最优解作为只有存款条件下基金使用方案，在此把它看作是模型一。在二种情况下，投资作为一种选择出现使问题复杂化，问题显得非常复杂，因此将问题简化显得非常有必要，把平均投资收益率
16、看作投资的收益率不失为一种很好的方法，这样不仅可以简化模型的复杂性，还可以较好的反映问题的实质。在这种情况下可以求出最优的基金使用模型。三、符号说明：计划中第 n 年投资于存款存期为 j 年的资金 j=1,2,3,5(,)njm：计划中第 n 年投资于投资 1 周期为 t1 的资金 t1=1,3,5.(,1)ntg：计划中第 n 年投资于投资 2 周期为 t2 的资金 t2=2，52：存款中存储周期为 j 年的实际收益率。jrN:奖学金发放数目。M：初始时某大学所获基金的总额。：投资周期为 t1 的收益率。1tS：投资周期为 t2 的收益率。2四、模型求解第一种情况：只有银行存款的条件下，银行
17、存款的存入方式及存入年限。银行税后年利率如下表存期 1 年 2 年 3 年 5 年税后年利率 2.4% 3% 3.6% 4.1%终期银行利率如下表存款种类 一年 两年 三年 五年终期收益率 1.024 1.06 1.108 1.205在只存款不投资的情况下，根据我们的模型设计和符号约定，最佳的基金使用计划应该满足以下方程组：5(1,),4()jjmM则在只有存款的情况下，第二年存入银行的钱数为： 5(2,)(1,)1,4()jj rN第二种情况：在可存款也可投资的情况下，首先根据假设和最大收益的原则，资金在这种情况下是不允许闲置的，即在同一时间内要么存入银行要么投资。其次。因为投资是有风险的，
18、投资收益率为正态分布函数，因此，投资收益率用平均投资收益率。据此，可以得到彝族方程来刻画这种情况下的最佳基金使用计划。 555(2,)(2,1)(2,)1,41, ,3()j t tj t tmggM（为了充分利用基金，基金将被充分的用于存款和投资，因为只有这样才能使利润最大化。 ）(2)+=(,j)(,t)(,t)j=,t=,t5551rg1jsg(1+js)-N,t2,4,t2,t3（第二年可用于投资与存款的基金和，与模型一相同，应发奖学金遵循奖学金数目的既定关系。 ）332(,)(,1)(,)11,25 5(2,) (2,1)1,41,5(2,)22,3()j t tj t tjj tt
19、ij ttttmgrjSgjSN（第三年初可用于投资和存款的基金和） 32(4,)(4,1)(4,)11,23 3(,) (,1)12(3,)2()j t tj t tjj ttij ttttmggrjSgjSN （第四年关于投资与存款的基金和） 2 2(5,)(5,1)(5,)11,23 3(4,) (4,1)11, 1,22(4,2),3()j t tj t tjj ttjj tttttmggr jSgjSN（第五年可用于投资和存款的基金和） 11(2,)(5,1)2 2(5,) (5,1)11 1,2(5,2)(6) )3j tj tj j ttj ttttmgr jSNg 五、运算数据
20、模型的数据运算主要采用 matlab 软件进行求解。现在不再求解。六、建议对上述两个模型的分析可知，只对捐款进行定期的整存整取风险最低，但奖学金发放的年限也是最少的。对于第二种情况对捐款进行划分，一部分用来投资，一部分用来存储，具有一定的风险，但收益较为可观。对于风险敏感的投资者，存款是最稳健的模型；对于风险爱好者，将资金全部用于投资，模型二为首选。我认为院领导在不考虑风险的情况下，将投资看作是特殊的存款，其利率用平均收益率近似代替，按照第一步的方法计算此时奖学金发放所产生的资金分配。通过灵敏度分析得出：奖学金发放对投资的灵敏度较高。根据投资越分散风险越低，可知应将基金分散用于投资和存款，不应
21、将基金大量用于投资。在考虑风险的情况下，应保证基金收益能够满足奖学金的发放要求，期末基金余额应大体与基金初始金额相等。鉴于学校奖学基金承担风险能力小，应采取谨慎的投资态度，因此应将学校奖学金分为两部分：一部分用于奖学金的发放；一部分用于投资。20 万元可分为两部分，分别作为存款和投资资本。一方面银行存款以 20 万递减的趋势进行分析得出存款奖学金发放曲线，另一方面投资 0 万元开始以递增趋势进行分析得出投资奖学金发放曲线，两者的步长值相等且均为 0.1 万元，然后将存款奖学金曲线和投资奖学金曲线在同一图中合并为一条曲线，即得出总的奖学金发放曲线，存款奖学金曲线和投资奖学金曲线的交点即为奖学金均
22、衡点，此时，存款与投资的比例较为合适。解：记养老金第 k 月末银行帐户余额为 元，kX则列式得： (1)(0,12.)xrxb因为 r0，所以 0(),kkbrr由于月利率为.y=0.3%，月支取 b=1000 元和本金总额 =100000 元，必然满足0x。所以 单调衰减，而且衰减的越来越快，直到 =0 为止。0xr且kXkX=0 即kX0 0()(1)lnl()11ll0.3%.3n02kbbrrrxr且,k=若养老金用到 80 岁，则由 得0()(10kbbxr240 01.3%1.798kbrx所以，如果在 60 岁存入 100000 元，每月支取 1000 元，到 120 月即 70
23、 岁恰好用完。如果每月支取 1000 元，用到 80 岁，则在 60 岁时存入 170908 元。七、教材 302 页第 7 章习题 7 第 1 题（满分 10 分）对于不允许缺货的确定性静态库存模型，做灵敏度分析，讨论参数 、 和 r 的微小1p2变化对最优订货策略的影响.解（1）考虑每次订货的固定费用 p1 发生的相对为p 1/ p1,则最优订货周期T*发生的相对变化 T*/T*是p 1/ p1 的多少倍，即定义 p1 对 T*的灵敏度为因为p 10，所以重新定义 p1 对 T*的灵敏度*11,TS为*11,dTp由课本上可知 0.5*12r*QT中对 p1 求导式和式代入得S（T* ，p
24、 1）=0.5同理得S（Q*，p 1）=0.5S（T* ，p 2）= 0.5S（Q*，p 2）= 0.5S（T* ，r）=0.5S（Q*，r）=0.5八、教材 302 页第 7 章习题 7 第 2 题（满分 10 分）习题 7 第 2 题. 某配件厂为装配线生产若干种部件. 每次轮换生产不同的部件时，因更换设备要付生产准备费（与生产数量无关）. 同一部件的产量大于需求时，因积压资金、占用仓库要付库存费. 今已知某一部件的日需求量 100 件，生产准备费 5000 元，库存费每日每件 1 元. 如果生产能力远大于需求，并且不允许出现缺货，请制定最优生产计划.解：由 EOQ 公式计算得：*1250
25、1pTr* 0Q所以，最优生产周期为 10 天，每次生产 1000 件。九、教材 303 页第 7 章习题 7 第 3 题（满分 10 分）某商场把销售所剩的空纸皮箱压缩并打成包准备回收，每天能产生 5 包，在商场后院存放的费用是每包每天 10 元. 另一家公司负责将这些纸包运送到回收站，要收取固定费用1000 元租装卸车，外加运输费每包 100 元. 请制定运送纸包到回收站的最优策略.解：设第 n 天送纸包到回收站。由公式计算得：*123*1312*13012*132()10(0)6.5()()560().3pTrprQrT所以，最优运货日期 为 6 天，运货量 为 30 包。*0Q十、教材
26、 303 页第 7 章习题 7 第 4 题（满分 10 分）某旅馆把毛巾送到外面的清洗店去洗. 旅馆每天有 600 条脏毛巾要洗，清洗店定期上门来收取这些脏毛巾，并换成洗好的干净毛巾. 清洗店清洗毛巾的标准收费每条 2 元，但是如果旅馆一次给清洗店至少 2500 条毛巾，清洗店清洗毛巾的收费为每条 1.9 元. 清洗店每一次取送服务都要收取上门费 250 元. 旅馆存放脏毛巾的费用是每天每条 0.1 元. 旅店应该如何使用的清洗店的取送服务呢？解：由题意得 很明显，这时属于不允许缺货的1250,6,0pr模型，所以每单位时间的总费用0TCr当且仅当 T=T*是 C 取得极值的必要条件C (T*)=( p 1/T*2)+(p2r/2)=0解得 T*= 2.8835 33即是 在（0 , 2.883）内单调递减，在（2.883 ，+）120rTr内递增，考虑到 T*=1,2,3,4又因为当最优订货量 Q*2500 时，p 0=2 , 当 Q*2500 时，p 0=1.9 ，我们把 p1=250 ，p 2=60 ，r=600 ，T*=2,3,4 ,5,6 代入式分别得T* (天) C（元）2 13853 1373.34 1402.55 13406 1361.6因为 C 值在（5 ，+ ）内是单调递增的，所以从上表可知当 T*=5 时，每天的平均费用为1340 元，达到最小值
