1、2010 年春季学期数学模型及数学软件试卷 A 卷一、 填空题（每空 2 分，满分 14 分）：1、虽然数学建模所面临的问题千差万别，使用的方法灵活多样，但建模的基本步骤还是有规律可循的。所谓数学建模的五步建模法是指下列五个基本步骤，按一般顺序可以写出为 、 、 、 。2、 在市场经济需求和供应关系中，设某地区某种商品第 期的市场需求量n、市场供给量 及价格 等之间满足 ，那么nxnynq 1210,36nxqyq该商品的均衡价格是 ，供求关系是否能稳定？ 二、简答题（每小题 2 分，满分 8 分）： 从下面一段不太明确的叙述中确定出要研究的问题，指出需要搜集哪些数据资料（至少列举 3 个）
2、，要做些什么建模的具体前期工作（至少列举 3 个） ，指出可以建立何种类型的数学模型：“一座高层办公楼有三部电梯，早晨上班时间非常拥挤，该如何解决” 。1、要研究的问题是 2、所需搜集资料为 3、要做的具体建模前期工作 4、可以建立 模型，亦可 模型 三、M 程序翻译 题（每小题 6 分，满分 12 分）： 将下列Matlab 程序翻译成为数学模型或数学问题.1、 f = 13 ,9, 10 ,11, 12,8;A = 0.4 ,1.1, 1 ,0,0, 0; 0, 0, 0, 0.5 ,1.2, 1.3;b = 800; 900;Aeq=1, 0 ,0 ,1, 0 ,0; 0 ,1, 0 ,
3、0, 1, 0; 0 ,0, 1,0 ,0 ,1;beq=400, 600, 500;vlb = zeros(6,1);vub=;x,fval = linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)2、x=linspace(0,2*pi,30);y=sin(x);z=cos(x);plot(x,y,r,x,z,go)gtext(sin(x);得分得分得分gtext(cos(x);四、刹车问题（12 分）：设汽车刹车后所走的距离（刹车距离）S 米，刹车时的速度 V 千米/小时，汽车的总重量 T（吨）三者满足关系 S=KV2T（K 为常数） ，现有一辆空车，它在 60 千米/ 小时的速度
4、下行驶的刹车距离为 10 米。又知一般司机从发现情况到刹车操作之间有0.6 秒的时间反应，当这辆车载有等于自重的货物行驶时，要求司机从发现情况到停车的距离不大于 10 米，求此时安全行驶的速度。五、席位分配问题（12 分）：某学校共 1000 名学生，235人住在 A 楼，333 人住在 B 楼，432 人住在 C 楼。学生们要组织一个 10 人的自律部，试用两种不同的科学公平的席位分配模型确定各宿舍楼在自律部的席位。若自律部从 10 人增至 15 人，请再次确定新的席位分配名额。六、消费选择问题（12 分）： 设二种商品的价格分别为 4 元、2 元，某消费者共用 60 元购买其数量分别为 时
5、，效用函12,x数为 .试求出消费者最佳的购买数量 .（要求建112124(,)Uxx 12,立此问题数学模型，并求解）七、最速下降问题（12 分）：用最速下降方法（梯度法）求解下列具体问题，并写出详细的求解过程：. 初值选用（2，2） ，迭代两次。21min()5fxx八、优化问题（12 分）：一个日用电负荷不能超过 690 度、日生产能力为 120 工时的制造厂生产甲、乙两种产品，每吨甲、乙产品可获利分别为 25 元，30 元，但需要耗电分别为 20 度，30 度，耗工时分别为 5 工时，4 工时。另外甲产品每天最多只能生产 18 吨，而乙产品不少于 7 吨。如何安排生产，使利润最大。 （
6、要求：建立数学模型，并用图解法求出解，再编写求解此问题的 Matlab 程序）九、最优定价问题（6 分）：在商品销售过程中需要确定某种意义下的最优销售价格。设某商品的销售周期为 ，在此期T间由于损耗，每一单位的商品之成本 随滞留时间 增长，满足 (其qt0qt中 为一个销售周期内的初始成本， 为成本增长率), 而单位时间内0p0得分得分得分得分得分得分的商品销售量为 (其中 为商品销售价格， 为常数)。已知xabp0,0ab商品销售期分为 和 两段，两段的商品销售价格依次为常02tTtT数值 .（其中给定参数为12,p）0 0,1,8qabQ1、求 的值，使该商品在一个销售周期 内的总利润最大
7、，并确定相应12 T的销售总量；2、若要求销售期 内的总售量为 ，再求 的最优值。T012,p2010 年春季学期数学模型及数学软件试卷 A 卷解答一、 填空题（每空 2 分，满分 14 分）：1 （10 分）虽然数学建模所面临的问题千差万别，使用的方法灵活多样，但建模的基本步骤还是有规律可循的。所谓数学建模的五步建模法是指下列五个基本步骤，按一般顺序可以写出为 、 、 、 。问题分析，模型假设，模型建立，模型求解，模型分析；2 （6 分）在市场经济需求和供应关系中，设某地区某种商品第 期的市场需求量 、nnx市场供给量 及价格 等之间满足 ，那么该商品的nynq1210,36nnxqyq均衡
8、价格是 52 ，供求关系是否能稳定？ 能稳定 1124,6,5nnnnx二、简答题（每小题 2 分，满分 8 分）： 从下面一段不太明确的叙述中确定出要研究的问题，指出需要搜集哪些数据资料（至少列举 3 个） ，要做些什么建模的具体前期工作（至少列举 3 个） ，指出可以建立何种类型的数学模型：“一座高层办公楼有三部电梯，早晨上班时间非常拥挤，该如何解决” 。1 要研究的问题：如何设置三部电梯的停靠方式，使之发挥最大效益 得分2 所需搜集资料为：每天早晨乘电梯的总人数、各层上、下电梯的人数、电梯的速度、楼层的高度、层数等 3 要做的具体建模前期工作：观察和统计所需资料，一般讲，需要统计一周内每
9、天的相关资料 4 可以 建立概率统计 模型，亦可 在适当的假设下建立确定性 模型 三、M 程序翻译 题（每小题 6 分，满分 12 分）： 将下列Matlab 程序翻译成为数学模型或数学问题1 f = 13 ,9, 10 ,11, 12,8;A = 0.4 ,1.1, 1 ,0,0, 0; 0, 0, 0, 0.5 ,1.2, 1.3;b = 800; 900;Aeq=1, 0 ,0 ,1, 0 ,0; 0 ,1, 0 ,0, 1, 0; 0 ,0, 1,0 ,0 ,1;beq=400, 600, 500;vlb = zeros(6,1);vub=;x,fval = linprog(f,A,b
10、,Aeq,beq,vlb,vub)译：设决策列变量为 123456(,)Txx(3 分)56()90128Minwfcx(3 分)12345623614560.8,0xxstxx2 x=linspace(0,2*pi,30);y=sin(x);z=cos(x);plot(x,y,r,x,z,go)gtext(sin(x);gtext(cos(x);译：x 为闭区间 的 30 等分点的数组；y 及 z 分别为对应的正弦、余弦值数组；在0,2同一坐标架下分别用红、绿色画出这两曲线，并在曲线上标注名称。四、刹车问题（12 分）：设汽车刹车后所走的距离（刹车距离）S 米，刹车时的速度 V 千米/小时，
11、汽车的总重量T（吨）三者满足关系 S=KV2T（K 为常数） ，现有一辆空车，它在 60 千米/小时的速度下行驶的刹车距离为 10 米。又知一般司机从发现情况到刹车操作得分得分之间有 0.6 秒的时间反应，当这辆车载有等于自重的货物行驶时，要求司机从发现情况到停车的距离不大于 10 米，求此时安全行驶的速度。解：依题意，空车时 3 22 0002 26*15013, 6.7/50()SSKVTKTV米 秒 ，重车时 (6 分)220,SVT2220maxmax0ax0maxaxmaxax330.655SVVTV令 ，解方程得2axaxax315(6 分)222 3max332240()4556
12、(9) 8.bcV结论：重车时安全速度应控制在 米/秒=30 千米/小时以内max.3V五、席位分配问题（12 分）：某学校共 1000 名学生，235人住在 A 楼，333 人住在 B 楼，432 人住在 C 楼。学生们要组织一个 10 人的自律部，试用两种不同的科学公平的席位分配模型确定各宿舍楼在自律部的席位。若自律部从 10 人增至 15 人，请再次确定新的席位分配名额。解：比例加惯例分配法：(6 分)10 个席位 15 个席位宿舍楼学生人占总数比例 比例分配席位 比例惯例分配结果 比例分配席位 比例惯例分配结果A 235 0.235 2.35 3 3.525 4B 333 0.333
13、3.33 3 4.995 5C 432 0.432 4.32 4 6.48 6合计 1000 1 10 10 15 15比例加 Q 值比较分配法：Q=P(i)* P(i)/(N(i)*(N(i)+1) (3 分)得分10 个席位宿舍楼 学生人 占总数比例比例席位 初次分配 Q 值 Q 值法分配结果A 235 0.235 2.35 2 9204 2B 333 0.333 3.33 3 9241 3C 432 0.432 4.32 4 9331 5合计 1000 1 10 9 10(3 分)15 个席位比例分配席位 初次分配 初次 Q 值 初次 Q 值法分配结果 再次 Q 值 再次 Q 值法分配结
14、果3.525 3 4602 3 4602 44.995 4 5544 5 3696 56.48 6 4443 6 4443 615 13 14 15六、消费选择问题（12 分）： 设二种商品的价格分别为 4 元、2 元，某消费者共用 60 元购买其数量分别为 时，效用函12,x数为 .试求出消费者最佳的购买数量 .（要求建112124(,)Uxx 12,立此问题数学模型，并求解）解答: (6 分)1212ma,.460stxx1123 1212x(,)()L, , (6 分)0(,)0i24x127.5,x七、最速下降问题（12 分）：用最速下降方法（梯度法）求解下列具体问题，并写出详细的求解
15、过程：. 初值选用（2，2） ，迭代两次。21min()5fxx解： ，T1， T1()0)fx，迭代格式： ，() ()()()()112250,kkkkkkTfxx12(50,Txx得分得分(1)()()2()()2150kkkkkkMinfxxx(6 分)22()() 21 150,44kk； ； (6 分)T(0)(0),.x， T()(1)0,.9,0.5xT(2),0x八、优化问题（12 分）一个日用电负荷不能超过 690 度、日生产能力为 120 工时的制造厂生产甲、乙两种产品，每吨甲、乙产品可获利分别为 25 元，30 元，但需要耗电分别为 20 度，30 度，耗工时分别为 5
16、 工时，4 工时。另外甲产品每天最多只能生产 18 吨，而乙产品不少于 7 吨。如何安排生产，使利润最大。（要求：建立数学模型，并用图解法求出解，再编写求解此问题的 Matlab 程序）解：生产甲、乙两种产品数量(非负)各 吨，则,xy(4 分)max25306941.87Lysty图解得 .(4 分)12,5,70xL程序 c=-25,-30;A=20,30;5,4;1,0;0,-1;b=690;120;18;-7;Aeq=;beq=;vlb=0,0;vub=; x,fval=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub) (4 分)九、最优定价问题（6 分）：在商品销售过程中
17、需要确定某种意义下的最优销售价格。设某商品的销售周期为 ，在此期T间由于损耗，每一单位的商品之成本 随滞留时间 增长，满足 qt0qt(其中 为一个销售周期内的初始成本， 为成本增长率 ), 而单位0p0时间内的商品销售量为 (其中 为商品销售价格， 为xabp,ab得分得分常数)。已知商品销售期分为 和 两段，两段的商品销02tTtT售价格依次为常数值 。12,p、求 的值，使该商品在一个销售周期 内的总利润最大，并确定相12,p应的销售总量；、若要求销售期 内的总售量为 ，再求 的最优值。T0Q12,p（此题目中给定数据为 ）0 01, ,8qTabQ解答分析:在期间 ,销售单位商品利润=
18、售价-成本= ,销售数,td()ptq量为 . 总利润为()xtd/2 21101020 /,()()()()T TUppqtabpdttabdt由 解得12,02013,44Tqq相应的销售总量 / 2 012120/ 2()()()()TTbTbaQabpdtabpdtp具体数据为 . (3 分)23.5,7若要求 ，则类似可得/ 201212/()()TTtta此约束下 的最大值点为 。U002,88QQTppbb具体数据为 (3 分)010208,7.5,3.Q2010 年春季学期数学模型及数学软件试卷 B 卷采用 2009 年秋季学期数学模型与数学软件试卷 B 卷一、梯子长度问题（1
19、0 分）：一楼房的后面是一个很大的花园. 在花园中紧靠着楼房有一个温室,温室伸入花园 2m,高 3m,温室正上方是楼得分房的窗台。 清洁工打扫窗台周围,他得用梯子越过温室,一头放在花园中,一头靠在楼房的墙上. 因为温室是不能承受梯子压力的,所以梯子太短是不行的.现清洁工只有一架 7m 长的梯子,你认为它能达到要求吗? 能满足要求的梯子的最小长度为多少?二、最佳射门位置问题（10 分）：假定足球门宽度为 4 米，在距离右门柱 6 米处一球员沿垂直于底线的方向带球前进，求他在离底线几米的地方射门将获得最大的射门张角.4 6x三、刹车问题（16 分）：设汽车刹车后所走的距离（刹车距离）S 米，刹车时
20、的速度 V 千米/小时，汽车的总重量T（吨）三者满足关系 S=KV2T（K 为常数） 。现有一辆空车，它在 60 千米/小时的速度下行驶的刹车距离为 10 米。又知一般司机从发现情况到刹车操作之间有 0.6 秒的时间反应。当这辆车载有等于自重的货物行驶时，要求司机从发现情况到停车的距离不大于 10 米，求此时安全行驶的速度。四、就餐的规律问题（16 分）： 学校餐厅每天供应1000 名学生用餐，每星期一有两样菜：A，B 可供选择。调查资料表明，凡是在星期一选 A 菜的，下星期一会有 20%改选 B 菜；而选B 菜的，下星期一则有 30%改选 A，设 表示在第 n 个星期一选 A，BBn,的人数
21、。（1）试用 表示 ； （2）试用 表示 ；An,n1n1n（3）求出 （即通项公式） ，并指出一年后就餐规律。()f五、最佳出售时机问题（16 分）：饲养场每天投入 4 元资金，用于饲料、人力、设备，估计可使 80 千克重的生猪体重增加 2 公斤。饲养场每天投入 4 元资金，用于饲料、人力、设备，估计可使 80 千克重的生猪体重增加 2 公斤。市场价格目前为每千克 8 元，但是预测每天会降低 0.1 元。问生猪应何时出售为好？如果市场预测有误差，试再分析对结果有何影响。六、存储问题（16 分）：某创业者长期采用的是自产自销经营模式，其营销的商品生产工艺复杂，每次开工都需工艺得分得分得分得分得
22、分整定费 ，只有调试完毕方才能连续生产，且生产速率 k 大于销售速率 r。0c显然由于商品积压导致了间歇性生产和存储费用问题产生。试以综合费用最小为目标确定最优间歇周期 T 及最佳的最大库存量 Q ；给出这样的决策及示意图；并分别讨论 和 时的情况。kr七、生产计划问题（16 分）： 某厂生产甲乙两种口味的饮料,每百箱甲饮料需用原料 6 千克,工人 10 名,可获利 10 万元;每百箱乙饮料需用原料 5 千克,工人 20 名,可获利 9 万元.今工厂共有原料 60千克,工人 150 名,又由于其他条件所限甲饮料产量不超过 8 百箱.问如何安排生产计划,即两种饮料各生产多少使获利最大？2009
23、年秋季学期数学模型与数学软件试卷 B 卷解答及评分参考（重视分析方法及解题过程）一、梯子长度问题（10 分）：一楼房的后面是一个很大的花园. 在花园中紧靠着楼房有一个温室,温室伸入花园 2m,高 3m,温室正上方是楼房的窗台。 清洁工打扫窗台周围,他得用梯子越过温室,一头放在花园中,一头靠在楼房的墙上. 因为温室是不能承受梯子压力的,所以梯子太短是不行的.现清洁工只有一架7m 长的梯子,你认为它能达到要求吗? 能满足要求的梯子的最小长度为多少?解：设梯子斜面与地面夹的角度为 x则 ， (5 分)()scesincobalxba02x令 ttd得 ，显然此时使用的梯子最短。33tan,abxrc
24、32,tn0.854.2b此时对应梯子长是： * *33*29()()sec()14.62*1597.0sincostanlx xx得分看来 7m 长的梯子是不够用的,至少是不安全的。(5 分)二、最佳射门位置问题（10 分）：假定足球门宽度为 4 米，在距离右门柱 6 米处一球员沿垂直于底线的方向带球前进，求他在离底线几米的地方射门将获得最大的射门张角.4 6x解:余弦定理 ,222216(3)(10)(36)cosxx,经分析研究 , 对应220cos()0main,令 (5 分)226min(3)x6(),(3)(tft, 31010(36)106(8)()()(36)tttt ttft
25、 t 米(判定过(),)(68)0,7.4ftttttx程省略)， (56015cos0.924(3)15coss0.96821.54arr分)注： 6minarctrtanx10610/4mintarctnart60/xxx*67.4x三、刹车问题（16 分）：设汽车刹车后所走的距离（刹车距离）S 米，刹车时的速度 V 千米/小时，汽车的总重量 T（吨）三者满足关系S=KV2T（K 为常数） 。现有一辆空车，它在 60 千米 /小时的速度下行驶的刹车距离为 10 米。又知一般司机从发现情况到刹车操作之间有 0.6 秒的时间反应。当这辆车载有等于自重的货物行驶时，要求司机从发现情况到停车的距离
26、不大于 10 米，求此时安全行驶的速度。解：依题意，空车时 3 22 0002 26*15013, 6.7/50()SSKVTKTV米 秒 ，重车时 (8 分)220,SVT2220maxmax0ax0maxaxmaxax330.655SVVTV令 ，解方程得2axaxax315(8 分)222 3max332240()4556(9) 8.bcV结论：重车时安全速度应控制在 米/秒=30 千米/小时以内max.3V四、就餐的规律问题（16 分）： 学校餐厅每天供应 1000 名学生用餐，每星期一有两样菜：A，B 可供选择。调查资料表明，凡是在星期一选 A 菜的，下星期一会有 20%改选 B 菜
27、；而选 B 菜的，下星期一则有 30%改选 A，设 表示在第 n 个星期一选 A，B 的人数。n,（1）试用 表示 ； （2）试用 表示 ；,1n1nA（3）求出 （即通项公式） ，并指出一年后就餐规律。()nBf解：设学生人数为 1000 人，每天都在该餐厅用餐。（1） =（ 1-20%） +0.3 =0.8 +0.3An1AnBnn（2）因 ，故0=0.8 +0.3 =0.8 +0.3 =0.5 +300(8分)n1nn)10(nAn（注：显然迭代序列 对任意初值，都收敛。 为什023,A 么？）(3) 若设 ，则首先可以用数学归纳法证明Aa1)1(60)(5.01 nnn因 aa2135
28、060.()若设 )2()(.aAnn则 =0.5 +300=0.5 +3001n1.)n= .0560.()(8 分)lim60,li4nnAB其实， ,1a1ln4020.5(60)4, 4.89lln2nn令 解 得 其实从第六周起，星期一就餐人数已经趋于稳定了：选 A、B 菜的人数为分别为 600 人，400 人五、最佳出售时机问题（16 分）：饲养场每天投入 4 元资金，用于饲料、人力、设备，估计可使 80 千克重的生猪体重增加 2 公斤。饲养场每天投入 4元资金，用于饲料、人力、设备，估计可使 80 千克重的生猪体重增加 2 公斤。市场价格目前为每千克 8 元，但是预测每天会降低
29、0.1 元，问生猪应何时出售为好。如果估计和预测有误差，对结果有何影响。解：投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大。估计 r=2，g=0.1，t 天出售生猪体重 w=80+rt， 销售收入 R=pw出售价格 p=8-gt， 资金投入 C=4t利润 Q=R-C=pw C(8 分)()8)(04Qttrt求 t 使 Q(t)最大，Q(10)= 660 640421rg10 天后出售，可多得利润 20 元(8 分)敏感性分析，研究 r, g 变化时对模型结果的影响 估计 r=2，g=0.1，设402rgtg=0.1 不变，r 在 2 附近变化， 。t 对 r
30、 的（相对）敏感406,1.5rt度 ， ，生猪每天体重增加量 r 增加 1%，/(,)tStrdtr(,)3406Str出售时间推迟 3%敏感性分析，估计 r=2，g=0.1 ，设 r=2 不变，g 在 0.1 附近变化， ， ，t 对 g 的（相对）敏感度 402rtg3,0.15t， 生猪价格每天的降低量 g 增/(,)tdtSt3(,)2Stg加 1%，出售时间提前 3%。 六、存储问题（16 分）：某创业者长期采用的是自产自销经营模式，其营销的商品生产工艺复杂，每次开工都需工艺整定费 ，只有调试完毕方才能连0c续生产，且生产速率 k 大于销售速率 r。显然由于商品积压导致了间歇性生产
31、和存储费用问题产生。试以综合费用最小为目标确定最优间歇周期 T 及最佳的最大库存量 Q ；给出这样的决策及示意图；并分别讨论 和kr时的情况。kr解：如图示，在一个生产周期内，共产生三种费用：1、生产装备费 w1= 1c2、存储费： 20202(*)()*wTTQc3、产品材料费： ，其中 为每件产品33rc3的耗材费将以上三种费用都用 T 来表示： 00*,rTkTrk0()*()rQkrk故在一个周期间隔 T 内，费用总和为：(8 分)1231020231 1()(*)()*wwcQcTQcrTcrcck由于生产是连续的，应追求长效经济规律，将模型建为： 123()min()(0,)crc
32、TwTk令 122()0,crcdwkT得到最优生产周期： ，*12()kcTr此时最佳最大库存量为： (8 分)* 12()krcTQ对应的 * 1()()minwk当 时， ，kr1122()kcTrr， （转化为速度、生产能力是无*1122Qkcc12wc限大的情形）当 时， ，此时不需要存储了。kr,0,()TT七、 生产计划问题（16 分）： 某厂生产甲乙两种口味的饮料,每百箱甲饮料需用原料 6 千克,工人 10 名,可获利 10 万元; 每百箱乙饮料需用原料 5千克,工人 20 名,可获利 9 万元.今工厂共有原料 60 千克,工人 150 名,又由于其他条件所限甲饮料产量不超过 8 百箱.问如何安排生产计划,即两种饮料各生产多少使获利最大？解：设安排生产甲乙两种口味的饮料百箱数各为 ,xy则模型为 (,)10Maxwfyx(8 分)65012.8,ystx为 非 负 整 数由此推得 。 解法：隐枚举法，分枝定界法，图像法等。略,7y另解：设安排生产甲乙两种产品数各为 千克,xy则模型为 (,)109Maxwf65012.8,ystx由此推得 ,7解法：图像法,单纯形法等。其可行性解域为凸集，最优解在顶点处取得。经做图分析，最优点由 产生，得 ，65012xy45/76.30xy最大获利 元(8 分)(4/7,3)48.712.wf
