1、最佳基金使用方案摘 要本文研究的是某学校基金如何优化使用奖励优秀师生的问题，通过对题目中三个问题的细致分析，分别建立了较为合理的数学模型。在第一问中，基金的最佳使用方式就是要使所发放给优秀师生的奖金额尽可能的大，而所发放的奖金额都来自于基金存于银行所得的利润，因此，第一问可理解为如何合理安排基金的存款方式，以获得最大利润，即第一问是一个基金优化使用的线性规划模型。通过对模型的分析，采用了逆向思维的方式，考虑第 N 年利润的来源方式，运用 C+中的穷举算法和递归调用作为模型算法，求得当 =10 时的最大奖金平均额为：109.81 万元。在第二问中，由于国库券的不定时发行，发行次数的也不确定，所以
2、无法求出固定的年均利率。不过由于国库券每年至少发行一次，所以，只要将国库券的购买与半年期存储方式及活期存储方式相结合，就可以保证在一年内必然买到国库券。从而可以得出购买国库券后的每一年的混合利率，并且配合第一问中的逆推思想和算法，求的 =10 时的最大奖金平均额为：127.798 万元。N对于第三问，由于其主要要求第三年的奖金额要比其他年多 20%，故在基于第一问和第二问的前提下，改变了奖金的分配方式，把原有的奖金份额多分配出 20%，这样得到的第三年奖金额分别为 129.18 万元和 150.117 万元。其他年份的奖金额分别为 107.65 万元和 125.098 万元。本文还对每一个问题
3、结果进行了细致分析，对每一个问题所做的模型进行了客观评价，并提出了一种便于投资的基金使用方案。1一、问题重述学校基金会有一笔数额为 元的基金，准备在 年内通过存入银行和购买HN国库券的方式来进行投资获益。同时，每年将取出部分的本息来奖励优秀师生，要求每年奖金额大致相同，且在 年末仍保留原基金数额。已知当前银行存款N及各期国库券的利率，假设国库券每年至少发行一次，发行时间不定。校基金会将在如下情况下使用基金：1、存款，不购买国库券；2、可存款，也可购买国库券；3、学校在基金到位后的第三年要举行百年校庆，基金会要求这一年的奖金比其他年多 20%。校基金会需找出最佳的基金使用计划，来使每年的奖金额尽
4、量的高。通过建模，当 =5000 万元， =10 年时分别计算出上述条件下的具体结果。HN二、问题分析在第一问中，银行给出了六种存款方式的利率。如何合理的使用基金，其关键在于如何对这六种存款方式进行合理分配。由于学校在 年后仍保留原定N基金数额，也就是说所有存款所得的利润都将用于奖金的发放。从而，要使奖励优秀师生的金额越大就必须选择利润最大的存款方式。通过对这六种存款方式利率的观察，了解到定期存款利率高于活期存款利率，定期存款年限越长，利率越大。所以从利润最大的情况下考虑，应尽可能的选择年限大的定期存款方式。由于每年都要发放奖金，且每年的奖金发放的额度基本不变，因此我们假定每年发放的奖金额为
5、万元。通过对第 年的奖金来源的分析，可以确定mN来自于第 年以前的投资。从而通过这种反向推导的过程 ,以 年奖金之和最mN N大为目标，以 年前的投资所获得的预期收益为约束条件，建立了一个线性规划模型 1。在第二问中，国库券的发行时间是不定的，发行次数亦是不定的，但每年至少发行一次。为了要买到国库券，我们将国库券的购买与半年定期与半年活期存款相结合起来，产生了一个混合利率以用来计算购买国库券利率。同时通过对国库券的利率和银行存款的利率的比较，发现购买国库券的利润要高于银行存款的利润。为了要使奖金的总额最大，因此要尽可能的购买国库券，当然，对于国库券的购买应与半年定期和活期存款相结合。对于第三问
6、，由于第三问仅仅是在基于第一问与第二问的基础上，将第三年的奖金发放额度增大 20%，另外其他年度的奖金也要基本相同，所以第三问的求解只需在第一问与第二问的基础上稍作修改即可。三、模型假设1、银行存款和各期国库券的利率不变；2、每年存钱的时间是年初，每年的奖金发放在年末进行；3、每年发放的奖金额基本相同，在 年末仍保留原有基金数额。对于第N三问，除了第三年的奖金外，其他年的奖金额也基本相同；24、银行存款和国库券的购买不存在任何风险，即存款或国库券到期后本金及利息可以顺利取出；5、无论是活期还是定期存款，均以单利的方式计算其利润。国库券的利润计算方式也采用单利的计算方式。四、符号说明十年内所得的
7、总利息；w第 年所得的利息；ii第 年对第 种投资的使用基金额 ；ijaj (1,20;1,234)ij每年发放的奖金额。m五、模型建立与求解模型一（一）模型准备和建立由问题中给出的银行存款利率做出了的 6 种混合利率，从中选出最优的组合，同时对各种组合方式进行了分析，其分析结果如下表：表 1 各种存款组合方案存款策略 银行税后年均 利率（%） 最佳存款策略 银行税后最佳年 均利率（%）一年期 (1) 1.8 (1) 1.8(1,1) 1.8二年期 (2) 1.944 (2) 1.944(1,1,1) 1.8(2,1) 1.919三年期(3) 2.16(3) 2.16(1,1,1,1) 1.8
8、(2,2) 1.944四年期(1,3) 2.09916(1,3) 2.09916(1,1,1,1,1) 1.8(2,3) 2.12340(2,2,1) 1.97397(3,1,1) 2.06956(5) 2.30400五年期(1,1,1,2) 1.91990(5) 2.30400(3,3) 2.22998六年期(5,1) 2.25456 (5,1) 2.254563(2,2,2) 2.160001、目标：要使基金最佳使用，即所获得的利息最多，这样每一年的奖金也越多，我们的目标函数是：10iMaxw2、经查证中国农业银行的的现行取款政策，单利的计算方法为： =利 息 本 金 利 率 年 限 10
9、101023411.8.9.6.305ii ii iwaa3、第一年用于投资的钱不超过本金，为了最大限度的获得最高利息，我们将全部的钱用于投资： 4150ja04iji4、将每年的本息取出用于当年的奖金发放有 0,5234.169.08321.4. 5435211832512ijamwaama（二）模型求解算法思想：Step 1：首先定义一个二维数组 ，其中 （ =1,2,3,4）分别对应所选择ijai的存款方式， （ =1,2,3,4,5,6,7,8,9,10）表示每一年用于存款的金额，在j对于给定的 年的条件下，第 年所获得的利润的计算方式如下：通过循环算NN法对二维数组的每一项进行遍历，
10、从中选出所以存款方式的可能。并将所有的可能保存在数组当中。Step 2：将第一步中求出的结果进行递归调用，具体方式是，先从数组中取出一组数据，通过递归调用，求解出第 年末所获得的利润，减去第 年1N4所投入的本金以后，将结果保存在中间变量当中，再取出第二组数据，以同样的方式计算，若其结果比上一个结果大，则将其保存在中间变量当中，否则弃置。这样再通过循环算法遍历所有的可能性，最后输出中间变量即为所求结果。当 =10 年后的奖金总额为：1146.32 万元，其具体的使用计划如下表所N示：表 2 问题一最佳基金使用方案年数 本金（万元） 使用方式1 107.88 一年定期2 105.71 两年定期3
11、 103.13 三年定期4 101.31 三年定期、一年定期5 98.47 五年定期6 96.73 五年定期、一年定期7 94.79 五年定期、两年定期8 92.48 五年定期、三年定期9 90.85 五年定期、三年定期、一年定期10 4108.66 两个五年定期模型二（一）模型准备为寻找出购买国库券的最优组合，我们将购买国库券与直接存款于银行进行了比较，其比较结果如下表：表 3 国库券与存款利率对比 （单位%）一年期 二年期 三年期 四年期 五年期 六年期存款 1.8000 1.9440 2.1600 2.0992 2.3040 2.2546国库券 2.1313 2.5020 3.1400
12、2.8541最优利率 1.8000 1.9440 2.1600 2.5020 3.1400 2.85415由 ，有=利 息 本 金 利 率 年 限101010234110056.8.9. .52.4.28ii ii ii iwaaaa第一年用于投资的钱不超过本金， 4150j04ijia将每年的利息取出用于当年的奖金发放有 12134156612634162364(10.8)9.()10.8 (.)910.(5),ijmaamaawm（二）模型求解：算法思想：Step 1：此算法在第一问的算法思想上，增加了 2 个数组长度，即 的取值i为 1,2,3,4,5,6。由于在购买国库券时，购买两年国
13、库券和半年活期+半年定期优于直接存储一年期存款+两年期存款。故可将第一问中的两年期存款用两年期国库券替换，同理可证，三年期存款可用三年期国库券替换，五年期存款可用五年期国库券替换。最后依然通过循环调用对数组所有值就行遍历，求出所有结果。6Step 2：对于循环出来的结果进行二次循环，将所求的结果保存到中间数组当中，再遍历中间数组，求出最大值即可得到答案。答案为 127.745 万元。模型三在基于第一问的情况下，只存银行，运用同样的算法，得到结果为：其他每年奖金的额度= ，第三年的奖金为 134.82 万元。具体的14.60.2=1.35存款方式如下： 表 4 基于问题一基金投资方案年数 本金（
14、万元） 使用方式1 122.42 一年定期2 120.18 两年定期3 142.21 三年定期4 110.12 三年定期、一年定期5 113.25 五年定期6 107.33 五年定期、一年定期7 105.16 五年定期、两年定期8 102.11 五年定期、三年定期9 102.23 五年定期、三年定期、一年定期10 100.35 两个五年定期在基于第二问的情况下，既可存银行又可买国库券，其他每年奖金的额度=，第三年的奖金为 150.117 万元。具体方案如下：127.650.215.98表 5 基于问题二的基金投资方案年数 本金（万元） 使用方式1 122.42 一年定期2 120.18 两年定
15、期3 142.21 三年定期4 110.12 半年定期、半年活期、三年国库券5 113.25 半年定期、半年活期、三年国库券、一年定期6 107.33 半年定期、半年活期、五年国库券7 105.16 半年定期、半年活期、五年国库券、一年定期78 102.11 半年定期、半年活期、五年国库券、两年定期9 102.23 半年定期、半年活期、五年国库券、三年定期10 100.35 两个半年定期、两个半年活期、五年国库券、三年国库券六、结果分析在极端前提下，问题一存款所得利息最小为存十年活期，最大利息应为存两个五年所得，即所发放奖金的总金额应位于 1000 万元到 1218.3 万元之间。而问题一中所
16、发放奖金总金额的求解结果为 1146 万元。结果在奖金范围内，故正确。同时，我们通过对问题一投资方式的分析，可以使所发放的奖金基本不变。在极端前提下，问题二中存款所得利息最小为存十年活期，最大利息应为购买两个五年国库券所得，即所发放奖金的总金额应位于 1000 万元到1692.245 万元之间，而问题二中所发放奖金总金额的求解结果为 1277.45 万元。结果在奖金范围内，故正确。通过对方案的观察，可以发现购买国库券所获得利润一般高于直接用于存款所获得的利润，这是符合实际情况的。问题三是基于问题二与问题一的，运用的算法一致，得到了正确的结果。七、模型的推广和应用基于这是一个现实问题，为了使学校
17、的投资方式简便且奖金额也相对较高，我们设想把所有的钱投入银行的储存中，且十年中不从中取出本息，学校每年进行贷款发奖金。所以，整个方案就是，把 5000 万全部存入 5 年的定期中，五年年后还这五年内的贷款及利息。后五年采用相同的方式来进行还款。贷 款 人 依 据 各 国 相 关 法 规 所 公 布 的 基 准 利 率 、 利 率 浮 动 空 间 ， 而 与 该贷 款 银 行 确 定 贷 款 利 率 。 所 以 在 此 ， 以 中 国 银 行 公 布 的 基 准 利 率 作 为 贷 款 利率 。表 6 2011 年 最 新 基 准 利 率 ：项 目 年 利 率一 、 短 期 贷 款六 个 月 以
18、 内 （ 含 六 个 月 ） 5.85六 个 月 至 一 年 （ 含 一 年 ） 6.31二 、 中 长 期 贷 款一 至 三 年 （ 含 三 年 ） 6.40三 至 五 年 （ 含 五 年 ） 6.65五 年 以 上 6.80因为本文假定的是年末发奖金，所以贷款也是在年末。根据基准利率表所得，在十年内，需贷两个三年至五年的中长期贷款、四个一年至三年的中长期贷款、两个六个月至一年的短期贷款。810.64210.6310.6435Dmmm5.3.245DD解得的答案为 108.9 万元。八、模型评价对于模型一，最大的优点是用了逆向思维来推导出奖金。我们首先根据第10 年所发放的奖金的来源，来逆向
19、推出前面的奖金存储情况，并在 C+中进行递归调用求出中间值，再采用算法来进行了穷举求解。对于模型二，用混合概率来处理了购买国库券的情况，即把国库券的购买与半年定期存款和半年活期存款相结合起来所得的平均利率，并与不购买国库券时的利率进行了对比，从而体现了在不同的时间段内购买国库券的优劣情况。但是这个方案存在一个极端情况，即为国库券在六月底与七月初发行，这样，在此种情况下国库券的购买要与两个半年定期存款相结合，并且所求的的答案更大。同时，由于国库券发行的时间不定，可能在上半年，也可能在下半年，我们加入了半年期和活期，用于买国库券。方法，贷款。得到的最大的奖金额与前面模型一、二进行比较，相差不大，此方案的优点在于储存方式简单，便于操作。九、参考文献1姜启源,谢金星 .数学建模（第三版）M.高等教育出版社.2003.82陈汝栋,于延荣 .数学模型与数学建模M.国防工业出版社.2009.5
