1、第十七章（19.1-19.3) 几何证明,上海市延安初级中学沈 洁,九年义务教育课本数学八年级第一学期（试用本）解读,教学内容及课时安排 教学目标 设计说明 教学建议 评价建议,教学内容及课时安排：,19. 1 命题和证明 2课时 19. 2 证明举例 7课时 19. 3 逆命题和逆定理 1课时 194 线段的垂直平分线 1课时 195 角的平分线 2课时 196 轨迹 2课时 197 直角三角形全等的判定 1课时 198 直角三角形的性质 3课时 199 勾股定理 4课时 1910 两点的距离公式 1课时 复习小结 2课时,关于“19.1命题和证明”的教学目标：,（1）通过“对顶角相等”与“
2、三角形的内角和”两例的回顾，初步理解演绎证明及其因果关系的表述，演绎证明的必要性，演绎证明的过程；体会演绎证明是一种严格的数学证明，是人类理性精神的闪光 （2）知道定义、命题、真命题、假命题、公理、定理等概念 （3）了解命题的结构，能初步区分命题的题设和结论，会把命题改写成“如果那么”的形式 （4）知道证明一个命题为真命题的一般过程；知道证明一个命题为假命题只要举一个反例,关于“19.1命题和证明”的设计说明,与一期教材的区别 （1）更重视实验几何与论证几何的衔接。重视论证几何的入门。 （2）新教材界定某个对象含义的句子叫做定义。原教材说明名词含义的句子叫做定义。（3）原一期教材单独一节“证明
3、的步骤”现安 排在19.1（2）中作为命题的一个内容。,关于“19.1命题和证明”的教学建议,什么是演绎证明？ 为什么要演绎证明？ 怎样进行演绎证明？ 借用 两例“对顶角相等”、“三角形的内角和”说明证明过程.,充分尊重学生的认知过程，重视实验几何与论证几何的衔接，提高学生对几何学习的兴趣通过举例体会几何研究从直观经验、操作实验到演绎推理的演进过程，认识几何直觉和演绎推理的作用 。由于章头语与这一节内容是进入论证几何学习阶段后的开篇，希引起足够的重视。因此首先要使学生理解演绎证明的必要性与重要性。课本从人类文明发展进程的视角，按照 “感性理性”的认识规律来阐述几何证明的重要性以及从直观几何、实
4、验几何阶段进入论证几何阶段的必要性。这些内容都是以后面所学的内容建立在前面所学内容的基础上。,对于七年级的学生，当时需要较多的直观教学，同时也需逐步渗透论证几何的要求在七年级时所采用的 “说理”，尽管从某种意义上讲也是证明，但那时往往是从操作（画图、折纸、剪纸、度量）实验、观察、思考、探索，发现几何事实，然后对事实进行说明、解释或论证所以，那时学习的实验几何为论证几何作了较好的铺垫，也是实验几何和论证几何的早期结合到了八年级，学生的认知水平有了提高，特别是理解了演绎证明的方法后，逻辑思维能力有了提升，这时学习论证几何也水到渠成由于学生个体的差异，教学时老师要低起点、小步子、多分析，尽可能让所有
5、学生参与到教学活动中，调动一切有效手段，培养学生对论证几何的学习兴趣重视章头语和论证几何的开篇，使学生从一开始就跟上整体的教学活动，循序渐进，由易到难,充分尊重学生的认知过程，新知识建立在已有知识基础上。 以实例“对顶角相等”入手，分析三种导出“对顶角相等”的方法，进而说明什么是严格的数学证明演绎证明，并且说明演绎证明是从已知的概念、条件出发，依据已被确认的事实和公认的逻辑规则，推导出某结论为正确的过程，并且说明各种证明各有特定的效力为了让初学者有更进一步的理解，课本又举了一个学生熟悉的例子：“三角形的内角和”，再次阐述了演绎证明七年级学习时常用的度量、拼接等实验几何的方法，常用来得出猜想，但
6、要肯定数学猜想的正确性，需要演绎证明,充分展示演绎证明的过程，有意识引导学生有条理地表达 通过对“对顶角相等”证明过程的剖析，理解表述证明的过程是“一连串连贯、有序的因果关系”，对初学者的书写过程大有帮助.可引用学生熟悉的例子，剖析其中的因果关系，让学生理解、内化如何有条理地、简约地表达.,关于“19.2证明举例”的教学目标： (1)通过证明举例的学习和实践，懂得演绎推理的一般规则，初步掌握规范表达的格式；了解证明之前进行分析的基本思路。 (2)能利用平行线的性质与判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质来证明有关线段相等、角相等以及两条直线的平行、垂直的简单问题。 (3)了解添置
7、辅助线的基本方法，会添置常见的几种辅助线。 (4) 了解文字语言、图形语言、符号语言三种数学语言形态，会证明用简单的文字语言形态表述的几何命题。,关于“19.2证明举例”的设计说明： （1）内容安排，循序渐进，由易到难 本节内容有14个例题,分7个课时,各个课时各有所侧重。（2）回顾和运用回顾实验几何阶段所学的几何图形的有关知识，如 图形 的性质、判定，形式化“说理”的格式，又通过典型 例题系统地、规范地以比较典型的例题为载体展现演绎 证明.通过这一过程，完成了从实验几何阶段到论证几何 阶段的自然过渡。（3）更强调两个方面证明前的分析；证明后的反思。（4）原“连结” 改为“联结” 。,（1）例
8、题1、例题2是平行线性质与判定的综合运用 . （2）例题3是利用全等三角形性质来证明线段相等；例题4涉及到利用辅助线沟通已知与未知，再利用全等三角形性质证明角相等. （3）例题5、例题6是利用全等三角形性质分别证明两直线平行和两线段相等. 难度有上升. （4）例题7、例题8都是证明两直线垂直，但证明的方法有区别. （5）例题9是补证 “边边边”定理 ，例题10是证明两个角相等 ，但需要添加辅助线构造三角形. （6）例题11是证明两条线段相等 ，但需要利用图形的运动构造三角形。例题12是证明两角之间的倍半关系，但需要利用基本图形添加辅助线转化为证两角相等 . （7）例题13、例题14是文字语言叙
9、述的几何命题的证明.,）例题13、例题14是文字语言叙述的几何命题的证明,关于“19.2证明举例”的教学建议： (1)注重几何学习的阶段性、层次性。在几何证明的难度问题上，应遵循由浅入深、分层面对的原则。 (2)重视证题前的分析，有意识地要求学生有条理地思考与表达。分析的方法通常有如下三种： A.由因导果，即从“已知”看“可知”推向“未知”； B.执果索因，即从“未知”看“需知”靠拢“已知”； C.还有“两头凑”：即既从“未知”看“需知”，又从“已知”看“可知”，使“需知”与“可知”相衔接 在表达时，通常是从“已知”入手，得到“可知”，然后走向“未知”,(3)有意识地要求学生重视证题后的反思，
10、提炼其中的数学思想方法，提高学生数学学习的能力 A.反思思维过程，即对思维是否清晰、严密、有条理等进行审视 B.反思思维策略，即分析具体方法中所包含的数学基本思想方法，对具体方法再加工、提炼出适用范围广的一般数学思想方法，如P70例9 C. 反思问题本质，即对问题本质进行反思、剖析，将思维从个别推向一般，使认识深化，思维抽象程度得以提高，如P72例11 D.反思解题方法，即反思解题方法的优劣，优化解题过程，以开阔学生视野，使思维多开端，灵活、新颖，形成一个系统性强，相互联系的数学认知结构，如P71例10,（4）重视图形的运动对添线的启示怎样添置辅助线需在以后的学习中不断实践、探索、领悟，而重视
11、图形的运动与构造基本图形、补全图形是常用的添线方法,关于“19.3逆命题和逆定理”的教学目标： 1) 知道原命题、逆命题、互逆命题、逆命 题、互逆定理等概念。 (2) 会写一个命题的逆命题，并会证明它的真 假。 (3) 知道每一个命题都有逆命题，但一个定理 不一定有逆定理。,关于“19.3逆命题和逆定理”的设计说明： 既是对已学命题、公理、定理的复习，又为后续内容“线段垂直平分线性质定理及其逆定理”、“角的平分线性质定理及其逆定理”、“勾股定理及其逆定理”作铺垫. 进一步熟悉命题的结构，寻找一个命题的逆命题.,关于“19.3逆命题和逆定理”的教学建议： 有的命题不是以“如果那么”的形式出现，学
12、生在写它的逆命题时，可能会感到困难，教师要引导学生，在理解原命题含义的基础上画出图形，写成“如果那么”的形式，再写逆命题就比较容易 要通过具体的例子，引导学生认识一个命题一定有逆命题，但逆命题不一定是真命题，所以，一个定理不一定有逆定理。,评价建议：,1）关注学生的学习兴趣和对演绎推理的认识。论证几何是一个严谨的逻辑演绎体系，初学时可能会感到枯燥、抽象、难懂。本章是论证几何的入门，是演绎推理的尝试，要关注学生学习兴趣的引起和自信心的建立，在注意教学内容的趣味性、生动性和平实性的同时，要重视鼓励性评价，激发兴趣；要把握形成性评价的要求，注意论证入门的定位和学习转折的过程，强调教学基本要求的落实。,（2）关注学生的论证能力的培养和发展。几何论证有很强的思辨性和逻辑性，培养学生的论证能力是必须重视的目标内容、又是长期的任务。通过对证明之前的思路分析、证明过程的严密表达、证明之后的反思小结以及课后练习的安排等，展现了培养论证能力的基本途径；还要通过实施过程性评价，促进各个环节有效发挥作用。要让学生探索和提出证题思路、尝试和规范证明表达、总结和交流解题研究，同时给以积极的评价。,
