1、107 级一、填空题（每小题 4 分，共 28 分）：1、设函数 由方程 所确定，则 。yxz,zyxz2 yz2、函数 的驻点是 。1864223、根据二重积分的几何意义 ，其中 。Dyxd2 1:2yxD4、 。 1232 2)ln(zyx yz vexeI5、柱面 以 xoy 平面上的线段 L 为准线，母线平行于 oz 轴，则 介于平面 z=0 及曲面之间的部分的面积可用曲线积分表示为 。26、 （仅 A 班做）设 有连续导数，L 是单连通域上任意简单闭曲线，且)(xf。则 。Lydyxe02 )(xf7、 （仅 A 班做）设 是 xoy 面上的闭区域 的上侧，10yx则 。dyzx)(
2、二、试解下列各题（每小题 7 分，共 28 分）1、求曲面 在点 处的切平面和法线方程。0433xz)1,2(2、计算二重积分 ，其中 D 是由直线 ， 及 所围成的闭区dyD)sin(2 0x1yx域。3、利用球面坐标计算积分 ， 为球体 。dvzyx)(221)(22zyx4、 （仅 A 班做）计算积分 ，其中 C 是CaydI摆线 自点 到点 的一段， 为正的常数。),sin(tax)cos1(ty63ta三（10 分）求 在圆域 上的最大2432),(2xyxyf 16|),(2yxD2值和最小值。四（10 分）设圆形薄片 的面密度函数为 ，试求薄片22Ryx 21),(yxyx的质量
3、。五、 （10 分）计算 ，其中 是半锥面 的介于dsz22 2z及 之间的那部分锥面。0z1六、 （10 分） （仅 A 班做）计算曲面积分 ，其中 是旋转抛物面yxzyd2介于平面 及 之间的部分的下侧。)(22yxz0z七、 （4 分）设 在 上有连续的导函数，试证： 。)(zf1, dzfdvzfyx11)(2)(2一、 填空题（每小题 5 分，共 30 分）：1、当 时， 的值等于 。4,2yxDDyxd22、若函数 在 取得极值，则常数 。af, 1,a3、设区域 ，则 。10:yxDyx34、设 D 为圆域： ，则 。22d2e5、 在点 处沿方向 的方向导数为 。xyfe,0,
4、33,l6、曲线 在点 处的切线方程为 。2tzt 8,42二、 试解下列各题（每小题 6 分，共 30 分）：1、设 是由 确定的函数，求 ， 。yxz,0exyzxzy2、通过交换积分次序计算积分 。310de2yx3、 （仅 A 班做） 是由 及 所围成的区域 D 的正向边界，计算L2xy。 Lxydd4334、设 为抛物线 上介于 与 之间的一段弧，计算 。L12xy0x1Lsxd5、试证曲面 上任一点处的切平面在三个坐标轴上的截距的平方和等于323az常数。三、 （10 分）用铁板做成一个体积为 2m3 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取多少尺寸时，可以使用料最省？四、 （10 分）
5、求旋转抛物面 位于 之间的那一部分的面积。2yxz40z五、 （10 分）利用球面坐标计算积分 zyxd122，其中 是由与 所围成的闭区域。2yxz1z六、 （5 分） （仅 A 班做） 计算 ，其中 是锥面 yxzyzxdd33 被平面 所截的有限部分的下侧。2yxzz七、 （5 分）圆锥面底的半径为 a，高为 h，质量均匀分布，试求其重心的位置（不包括底面） 。一、试解下列各题（每题 5 分，共 25 分）：1、当 时，则 的值等于 。1,2yxDDyxd2、设 是由方程 所确定，那么 z, 2ezyx xz。3、 （A）设 L 是 xoy 面上沿顺时针方向绕行的简单闭曲线，且，则 L
6、所围成的平面闭区域 D 的面积等于 9d34d2yxyxL。（B）当 时，则 的值等于 1,2DDyxd。4、设 都有连续偏导数，则 在 的梯度方向上的方向导zyxvu, zu,zyxv,数为零的条件是 。5、曲线 在点 处的切线与 y 轴夹角的余弦是 。4622zyx1,4二、试解下列各题（每题 7 分，共 35 分）：1、将积分 化为球面坐标下的三次积分，其0d,sin,cod2002 azfa中 是连续函数。zyxf,2、求曲面 上点 处的切平面和法线方程。09333 xyz2,13、 （A）求 ，其中 L 是从 A(2,1)沿曲线 到点 B(10,4)一段。Lxyd23tyx（B）求
7、，其中 是曲线 上相应于 t 从 0Lzs22 ttt zxe,sin,coe到 2 的这段弧。4、研究函数 是否有极值。21yx5、试求位于两圆 和 之间的均匀薄片的重心。sinrsi4r三、 （10 分）求圆锥面 被圆柱面 所截下部分的面积。22zyx022axyx四、 （10 分）（A）计算 ，其中 是 在 xoy 面上方部分 yxzyzxdd21yxz的上侧。（B）计算 ，其中积分域 D 是圆 ， ，直线DyxIarctn42yx12yx， 所包围的在第一象限的区域。xy0五、 （10 分） （A）试求出积分 的被积表达式的原函数，并计算该积分。0,1,2dyx（B）试求积分 ，其中 为由平面 和31dzyx0,zyx围成的区域。zyx六、 （10 分）求内接于椭圆 且底边平行于长轴并具有最大面积的等腰三角形1232yx5的面积。
