1、 世纪金榜 圆您梦想 第 1 页（共 9 页） 数学投稿咨询 QQ： 1114962912 山东世纪金榜书业有限公司奥赛专项探究数列最近闲来无事.搞了点研究，关于数列的.首先看一个最基本的： 1,1an这个一看就知道了， !n但是换一个呢？ 1,1ana麻烦了吧，不会弄了吧？没关系，我们慢慢推导就知道了这个和第一个数列很类似，但又有不同，第一个是阶乘，这个类似阶乘，而阶乘又是由 Gamma 函数定义的，所以可以考虑从这里着手。 01)(dxess 01)(| sdxesexss显然 01)1(ex因此有 !)(n在这个推导过程中，我们发现 ，刚好消掉了，可是如果改变一下其中的值，使它不为 0，
2、0|xse而等于一个数 k 呢？不就有 ，和递推式类似了么？)()1(sk现在对比递推式，可以知道 k=1，然后反过来求对应的函数。为了方便求，我们可以搞出一个带有参数的新函数来，它和 Gamma 函数类似，不妨就设bxsdea011)(这样就有 bbsxsbxs seadeas0 1101 )(|)( 比对发现 ,se可以得到 1,bea01)(dxss但是这里又冒出一个新问题： ，这个和 是不符的，不过没关系，有办法101)(edxe1a解决世纪金榜 圆您梦想 第 2 页（共 9 页） 数学投稿咨询 QQ： 1114962912 山东世纪金榜书业有限公司ninnna111!0!)(而对于刚
3、才求出的函数，也有类似性质 nin111!0)(!(所以有 10111 )!()!()(! dxenenann显然，上面的方法对于数列 都是有效的，还是设raqpa11,bxsde011)(bbsxsbs sedea0 110 )(| 这里对比发现 qexpbsbs 0|,11,qap10 10111 )()(,)( pxpxpsp eqdeqdes然后转换首项 niinnnnpqap111!0)(世纪金榜 圆您梦想 第 3 页（共 9 页） 数学投稿咨询 QQ： 1114962912 山东世纪金榜书业有限公司 1011111 111111 )!()()!()()(!)(!0)( dxepqn
4、epqrnpeqrnapiqn pnpni这还只是相对简单的一种形式，如果我们把递推式变得更复杂，变成 )(1fpnn恐怕这招就不太管用了，的确，对于一部分给定的 来说，通过变换是可以解的，但是如果这个函数)(nf性质不太好，那我也无能为力，可能是我的研究还不到位，也可能根本就不可能解决这个问题，下面就讨论几种具体的 )(nf1、 型（其中 为一个 m 次多项式）)(Pfm)(m这个有点像解常系数非齐次线性微分方程那个 型的方法)()(xPefm)(1npamn为了解决它，我们可以试试把这个问题转换成一个我们已经解决了的问题设 ，其中 是另一个 m-1 次多项式，q 是常数qnQapQmnn
5、)()1(11 )(1nQm如果 ，112.)mbbP那么设 mmcc21.(就有 qnpcnpcpnannnca mmn 2112112211 .)(.)()( 1221121 )( mmmmm bbqccpcpc展开所有的式子，合并以后得到方程组，可以解出 ，然后就变成了上面那个问题了，不过我q,1知道，展开求和，再解一个多元方程组，要用二项式定理、行列式都是麻烦的东西.不过没办法，谁叫那个多项式那么麻烦呢，不过嘛，对于比较简单的多项式，还是很容易求的例： 1,21anan设 qcnc)()( 2世纪金榜 圆您梦想 第 4 页（共 9 页） 数学投稿咨询 QQ： 1114962912 山东
6、世纪金榜书业有限公司02)(21 211211cqcqncna解得 421qc 4)2()(1 nana设 2b就有 5,411bn由上面的结论得到 10)!(5 dxeebnn 1024)!(452 ndxea n2、 型nqkf)(这个貌似用上面的办法去配项比较麻烦，而观察到 Gamma 函数递推式里那个多出来的东西 ，0|xse发现里面就有一个指数式，那么不妨就这样试试看 nnqkpa1设 bxsde012)(bbsxsbs seadeas0 210 )(| 对照递推式得到 nbnqkeap,1然后得 kbpa,k kpkxpxps eqdeqdeqs0 01212 )()(,)(同样进
7、行首项转换世纪金榜 圆您梦想 第 5 页（共 9 页） 数学投稿咨询 QQ： 1114962912 山东世纪金榜书业有限公司niinnnnpqkapp111!0)( kxpnpnpknpkn pknnniin deqeqaeqaap 011111221122 )!()()!()()(!)(!)(所以看来，这个比后面是多项式的情况还好处理不过这个只是最简单的形式，如果变一变形，再加上点东西，问题就又变严重了比如这样： ，多了一项甚至还可以再在后面加更多的项（当然，都是nnnkqpa211型的）nqk前面的过程中，我们好像都只是用了一个 Gamma 函数，这里后面有两项，不妨用两个 Gamma 函
8、数加起来试试设 （注意这里 不是数列的前两项.只是一时找不到好210103)(bxsbxs deadeas 21,a的字母代替才这么弄的）这样就有 )(| )|)1( 3020 00121023 21 21sexaexa dxeadxeasbsb bbssbxsxs 对照得到 nbxnnbxn kqekqep 202101 21 |,|, 2211 , paap dxeqdxeqs kpskpsp21 0103)(然后进行首项转换就完事（我懒得打了）后面有很多项也一样，有 n 项就弄出 n 个 Gamma 函数求和例： 1,321 aann世纪金榜 圆您梦想 第 6 页（共 9 页） 数学投稿
9、咨询 QQ： 1114962912 山东世纪金榜书业有限公司由上面的推导得到 )!1(2)3(21)!1(2)()( )(,3030213 2332030211 neadxedxenanasxsxn在这个过程中我们发现，不但后面可以加很多个 型的东西，还可以加入 型的nqk)(Pm就是 )(.211 Pkqpnamnln这时就把它拆成两个数列和 )(.121nPpckbmn nl这样的话有 nna分别求通项再加起来就是顺带提一下，如果后面 是正弦、余弦型的函数，可以通过欧拉公式换成指数型，不过带有虚数就是)(nf了比如： )cos(1ann2)(1niinneai iieexsxn dd001
10、13)(这个以我目前的知识还不能化简，只能先这么表示着.等我学完复变函数再来试试看吧3、 型nmqkPnf)(这个就把上面两种情况结合起来了，显然只会更麻烦不过方法都类似，应该也不是很难理解这个和 1 里面那种情况类似，不过后面多了个指数式，我们仍然可以试试 1 里面那种配项的方法nmnnkpa)(设 nnmnqkrQapqQ )(111那么有同)(.)1()1().( )(.()( 22121 21221 nPcncnckrcncp qkkqq rcpaka mmmmm nmnnn 世纪金榜 圆您梦想 第 7 页（共 9 页） 数学投稿咨询 QQ： 1114962912 山东世纪金榜书业有限
11、公司样列出方程组，解出 ，rcm,.,21然后令 nnqkQab)(就有 nnrp1这就把它化成了 2 里面的数列了，剩下我想我就不用讲了吧还有个别特殊的其他式子是可以解的，也是靠配项的办法比如： 1,)(231 anann1)()1(221nanann然后就简单了目前我能解决的只有这些了其他函数都比较变态不太好化简，比如对数、反三角、甚至连一些幂函数比如 这类都没法解决nf)(还有一个偶然间得到的东西求数列 1,)!(1aann这个的做法比较古怪，要这么搞那么)!1(ln )ln(|)ln()ln()()1()(001 10 010 11 sdxedxex dxsxexes xexexdss
12、 ssssssxs就有 0 .5721649.0)ln()1(,!()( cdxennx然后首项转换世纪金榜 圆您梦想 第 8 页（共 9 页） 数学投稿咨询 QQ： 1114962912 山东世纪金榜书业有限公司ninnna111!)!(1)!()( 1ncainn另外还顺道发现了这些： cin!)(.3211)l(!(limn补充：（1）其实， 就是双伽马函数 ，只不过这里!)1(n )(ln)(sds1ns（2）关于 ，这个似乎并不是显而易见的，下面给出证明c)(00|)ln(l)1( dxexexx另一方面 )l(1limcn101101)l(nni nnidxxx对前面那个东西作代换 )(y得到世纪金榜 圆您梦想 第 9 页（共 9 页） 数学投稿咨询 QQ： 1114962912 山东世纪金榜书业有限公司xdndxxdnxdxyinnnnnnn10010101)()()()1(l然后取极限，得到 ccxexedcxcdxedxeicxxn 1100101001|)ln(|)(ln|)l()( |)ln()l(lm
