1、第 1 页数 形 结 合 与 不 等 式在 不 等 式 的 题 目 中 有 一 些 题 目 专 门 考 查 同 学 们 的 数 形 结 合 能 力 ， 而 且 有些 题 目 我 们 必 须 得 用 数 形 结 合 才 能 解 ， 这 些 题 目 都 有 一 些 比 较 明 显 的 特 征 ，所 以 我 们 给 大 家 展 示 出 这 些 题 目 的 特 点 ， 然 后 告 诉 大 家 如 何 用 数 形 结 合 的 方法 进 行 求 解 。 应 用 数 形 结 合 的 典 型 问 题 有 三 大 类 ： 一 ,解 不 等 式 ， 二 .已 知 不 等 式 组 求 参 数 的 范 围 . 三 求
2、 参 数 的 取 值 范 围 使 不 等 式 （ 能 、 恰 、恒 ） 成 立 一 .解 不 等 式 这 一 类 题 目 的 特 征 就 是 不 等 式 两 边 的 表 达 式 不 能 转 化 成 我 们 所 熟 悉 的 形式 ， 它 一 般 是 结 合 了 指 数 和 对 数 的 形 式 ， 然 后 与 一 般 的 一 次 或 二 次 函 数 比 较大 小 ， 这 时 候 我 们 只 能 用 数 形 结 合 的 方 法 进 行 求 解 。 同 学 们 可 能 觉 得 直 观 的作 出 函 数 图 形 并 得 不 出 准 确 的 解 ， 但 是 这 类 题 一 般 都 是 以 选 择 题 的
3、形 式 出 现 ，所 以 我 们 可 以 判 断 出 解 的 大 致 范 围 就 可 以 找 出 正 确 答 案 了 。思 路 是 这 样 的 ：第 一 步 ： 确 定 我 们 要 做 的 是 哪 些 函 数 的 图 像 ， 然 后 写 出 这 些 函 数 表 达 式 。既 然 是 比 较 两 个 表 达 式 的 大 小 ， 我 们 就 把 不 等 式 左 边 写 成y=f(x)， 右 边 写 成 y=g(x)的 形 式第 二 步 ： 做 出 和 的 函 数 图 像()第 三 步 ： 根 据 不 等 式 的 条 件 判 断 满 足 不 等 式 的 区 域 ， 这 个 区 域 就 是 不 等式
4、的 解 集 ， 我 们 要 求 的 就 是 的 图 像 在 的 上 方 时 x 的()fx()gx取 值 范 围 例 1 设 函 数 f(x) ， 若 f(x0) 1， 则 x0 的 取 值 范 围 是12 x（ ）(A) ( 1， 1) (B) ( 1， )(C)( ， 2) (0， ) (D) ( ， 1) (1， )解 ： 画 出 分 段 函 数 f(x) 及120 x直 线 y 1 的 图 象 ， 如 图 (图 1)， 可 知 当 x0 1 xyo1122x第 2 页或 x0 1 时 ， 有 f(x0) 1， 而 选 (D)例 2 使 log2( x) x 1 成 立 的 x 的 取
5、值 范围 是 _解 ： 在 同 一 坐 标 系 作 出 y log2( x)及y x 1， 由 图 象 (图 2)知 1 x 0， 故 填( 1， 0)例 3 不 等 式 x 的 解 集 是 24解 ： 在 同 一 坐 标 系 中 ， 作 出y ， y x 的 图 象 ， 由 图 (如 图 3)知24x2 x 4， 故 应 填 (2， 4例 4 解 不 等 式 |x2 3x| 4解 ： 在 直 角 坐 标 系 中 作 出 y |x2 3x|与y 4图 象 ， 如 图 (如 图 4)A(，0 B(，1 C 2,1 D2,0可 知 ， 原 不 等 式 的 解 集 是x|x 1 或 x 4二 .已
6、知 不 等 式 组 求 参 数 的 范 围 .第 二 类 题 目 有 一 个 很 明 显 的 特 征 ， 那 就 是 给 出 一 个 不 等 式 组 ， 根 据 不 等式 组 我 们 可 以 求 出 x,y 的 取 值 范 围 ， 在 这 个 区 域 内 让 你 求 一 个 表 达 式 的 最值 或 范 围 这 类 题 目 的 思 路 是 这 样 的 ：xyo12lg()y124xyo23xyo3414y第 3 页第 一 步 ： 由 给 定 的 不 等 式 条 件 求 出 x,y 所 在 的 区 域第 二 步 ： 把 要 求 的 表 达 式 转 化 成 y=f(x)的 形 式 ， 并 把 这
7、个 所 求 的 量 看成 是 一 个 参 数第 三 步 ： 在 这 个 区 域 内 作 出 f(x)的 图 像第 四 步 ： 求 出 这 个 参 数 的 最 值例 5:若 x, y 满 足 条 件 ， 则 的 最 大 值 是 多 少 ？021yx32Zxy第 一 步 ： 在 根 据 已 知 的 条 件 ， 我 们 知 道 x,y 的 范 围 是 在 y 轴 的右 侧 ， 根 据 我 们 可 知 x,y 应 该 在 直 线的 下 方 ， 再 由 第 三 个 条 件 知 道 x,yyx21应 该 在 直 线 的 上 方 ， 由 这 三 个 已 知 条 件 我21yx们 可 以 求 出 x,y 的
8、区 域 ， 如 图 所 示 的 阴 影 部 分 ：第 二 步 ： 我 们 把 要 求 的 表 达 式 ： 转 化 成 y=f(x)的 形32Zx式 ， 即 ： ， 这 时 候 就 是 直 线 在 y 轴 上312yx1的 2 倍 截 距 ， Z 最 大 也 就 是 直 线 的 截 距 最 大 。第 三 步 ： 在 阴 影 部 分 内 作 出 函 数 的 图 像32yxZ第 四 步 ： 当 直 线 过 直 线 与 直 线 的 交 点312yx21yxA(1,1)时 截 距 最 大 ， 最 大 值 为 2.5， 所 以 Zmax=5。例 6： 实 系 数 一 元 二 次 方 程 x2+ax+2b=
9、0 有 两 个 根 ， 一 个 根 在 区 间（ 0， 1） 内 ， 另 一 个 根 在 区 间 （ 1， 2） 内 ， 求 ：（ 1） 点 （ a,b） 对 应 的 区 域 的 面 积 ；第 4 页（ 2） 的 取 值 范 围 ；（ 3） (a-1)2+(b-2)2 的 值 域 思 路 精 析 ： 列 出 a,b 满 足 的 条 件 画 出 点 (a,b)对 应 的 区 域 求 面 积 根 据 的 几 何 意 义 求 范 围 根 据 (a-1)2+(b-2)2 的 几 何 意 义 求 值 域 解 析 ： 方 程 x2+ax+2b=0 的 两 根 在 区 间 （ 0， 1） 和 （ 1， 2）
10、 上 的 几 何意 义 分 别 是 ： 函 数 y=f(x)= x2+ax+2b 与 x 轴 的 两 个 交 点 的 横 坐 标 分 别 在区 间 （ 0， 1） 和 （ 1， 2） 内 ， 由 此 可 得 不 等 式 组由 ， 解 得 A（ -3， 1） 由 ， 解 得 C（ -1， 0） 在 如 图 所 示 的 aOb 坐 标 平 面 内 ， 满 足 条 件 的 点 (a,b)对 应 的 平 面 区域 为 ABC（ 不 包 括 边 界 ） （ 1） ABC 的 面 积 为 （ h 为 A 到 Oa 轴 的 距离 ） （ 2） 几 何 意 义 是 点 (a,b)和 点 D(1,2)边 线 的
11、 斜 率 由 图 可 知第 5 页（ 3） (a-1)2+(b-2)2 表 示 的 区 域 内 的 点 (a,b)与 定 点 (1,2)之 间 距离 的 平 方 ，注 ： 如 果 等 式 、 代 数 式 的 结 构 蕴 含 着 明 显 的 几 何 特 征 ， 就 要 考 虑 用 数 形结 合 的 思 想 方 法 来 解 题 ， 即 所 谓 的 几 何 法 求 解 ， 比 较 常 见 的 对 应 有 ：（ 1） 连 线 的 斜 率 ；（ 2） 之 间 的 距 离 ；（ 3） ax+by 对 应 直 线 的 斜 率只 要 具 有 一 定 的 观 察 能 力 ， 再 掌 握 常 见 的 数 与 形
12、的 对 应 类 型 ， 就 一 定 能得 心 应 手 地 运 用 数 形 结 合 的 思 想 方 法 三 求 参 数 的 取 值 范 围 使 不 等 式 （ 能 、 恰 、 恒 ） 成 立 已知函数f(x) 若|f(x )|ax，则a的取值范围是 ( )A(，0 B(，1 C2,1 D2,0解析 函数y|f(x)|的图象如图当a0时，|f (x)|ax 显然成立当a0时，只需在x0时，ln(x1)ax成立比较对数函数与一次函数yax的增长速度显然不存在a0使ln(x1)ax在x0上恒成立当a0 时，只需在 x0时，x 22xax成立即 ax2成立，a2.综上所述：2a0.故选D.第 6 页f(
13、x)=(x2)2例 7.已 知 函 数 f(x)=x2+2x+1， 若 存 在 实 数 t， 当x 1， m时 ， f(x+t) x恒 成 立 ， 则 实 数 m的 最 大 值 是 （ ） 解 ： f(x)=(x+1)2， 令 y=x，依 题 意 ， 则 在 区 间 1， m上 f(x+t)的 图 象 在 直 线 y=x下 方 ， 由 图 形 可 知 ， 当 f(x+t)=(x2)2时 ， 实 数 m的 值 最 大 ， 解 方 称 (x2)2=x， 得 x=1， 4 即 m的 最 大 值 4， 故 选 C y=x f(x)=(x+1)2例 8. 已 知 ， 欲 使 不 等 式 恒 成 立 ，
14、求xyy， 满 足 20xyc0实 数 c 的 取 值 范 围 。分 析 ： 欲 使 恒 成 立 ，c即 恒 成 立 ，故 。xy()min于 是 问 题 转 化 为 求xy20 2上 一 点 ， 使 有 最 小 值 问 题 。 由 图 可知 ， 当 直 线 lxyxyxy1 200平 行 于 且 与 圆 相 切 于 下 方 时 ， 取 最 小 值12第 7 页图 2故 。cc121， 从 而例 9： 设 函 数 f(x)=exex（ ） 求 证 ： f(x)的 导 数 f(x) 2；（ ） 若 对 所 有 x 0 都 有 f(x) ax， 求 a 的 取 值 范 围 ） ： 利 用 导 数 研 究 f(x)的 性 状 ， f(x)= ex+ex 0， 函 数 f(x)当 x 0 时 单 调 递 增 ，又 函 数 f(x)当 x 0 时 也 单 调 递 增 ， 函 数 f(x)是 下 凸 作 出 函 数 f(x)的 图 象 ， 令 y=ax， 其 图象 是 过 原 点 的 直 线 ， 若 对 所 有 x 0 都 有 f(x) ax，则 直 线 y=ax 在 f(x)的 图 象 的 下 方 只 要 直 线 y=ax 在 f(x)在 原 点 处 的切 线 下 方 即 可 f(x)在 原 点 处 的 切 线的 斜 率 f(0)=2， a 2 Y=axf(x)=exex
