1、1题目 : MATLAB 语言多项式计算的分析与概述摘要 ：数值计算在科学研究与工程应用中有着十分广泛的应用，MATLAB 向我们提供了标准的多项式的常用函数，包括求根、相乘、相除等。这些功能在进行现代数字信号处理与分析时非常有用。本文主要通过示例的形式分析与概述 MATLAB 多项式计算的基本内容。关键词 : 多项式 ；运算 ； 函数 ； 拟合 ； MATLAB。一、 引言 : MATLAB 是由 MATH WORKS 公司推出的一种面向科学与工程的计算软件。如今 MATLAB 语言发展速度非常快，涉及十分广阔，本文主要讨论 MATLAB 多项式的计算，可谓 MATLAB 的冰山一角。读者若
2、要了解 MATLAB 语言的更多知识还应多读多看他人著作。二、 多项式计算 ：1,多项式的创建方法 :在 MATLAB 里：多项式由一个行向量表示，它的系数是按降序排列。例如: 由 1N 的向量表示多项式，如用 poly2sym()可以查看这个多项式。（1）直接输入法在 MATLAB 命令窗口中直接输入多项式的系数矢量，然后利用转换函数 poly2sym 将多项式由系数矢量形式转换为符号新式。（2）指令 P=poly(AR)法若 AR 是方阵，多项式 P 是该方阵的特征多项式若 AR=a1, a2,an-1,an，则 AR 的元素认为是多项式 P 的根如果 A 为二维矩阵， poly(A)给出
3、 A 的特征多项式。如果 A 为一维矩阵， poly(A)表示由 A 的元素为多项式的根所确定的多项式。【例 1】产生多项式的方法。clear%方法一( 由多项式的系数确定的多项式)p=1 -2 3%直接给出多项式 ppoly2sym(p)%给出 p 多项式的表达式%方法二( 由矩阵所确定的多项式).210naapnnnn axaxaP.2102a=1 2;-2 4ps=poly(a)%给出 a 的特征多项式poly2sym(ps)%给出 ps 多项式的表达式%方法三（由多项式的根确定的多项式）x=-1 2px=poly(x)%以 x 的元素为多项式的根确定的多项式。poly2sym(px)%
4、给出 ps 多项式的表达式运行结果为p =1 -2 3 ans = x2-2*x+3a =1 2-2 4ps =1 -5 8 ans = x2-5*x+8x =-1 2px =1 -1 -2 ans = x2-x-22.多项式函数的引用我们可以很方便地引用多项式函数（即求多项式的函数值）引用格式Y=polyval(px,x)这里，引用函数为 polyval。括号中，px 为多项式的名，x 为多项式自变量取值，Y 为对应的函数值。【例 2】多项式函数的引用cleard=-1 2px=poly(d)y=polyval(px,4)%求多项式 px 在自变量等于 4 时的函数值x=-4:0.5:8yx
5、=polyval(px,x)%求多项式 px 在自变量等于 x 序列时的函数值序列plot(x,yx)%作出两个变量的函数图3a=roots(px)%求多项式 px 的根运行结果为d =-1 2px =1 -1 -2y =10x =Columns 1 through 6 -4.0000 -3.5000 -3.0000 -2.5000 -2.0000 -1.5000Columns 7 through 12 -1.0000 -0.5000 0 0.5000 1.0000 1.5000Columns 13 through 18 2.0000 2.5000 3.0000 3.5000 4.0000 4
6、.5000Columns 19 through 24 5.0000 5.5000 6.0000 6.5000 7.0000 7.5000Column 25 8.0000yx =Columns 1 through 6 18.0000 13.7500 10.0000 6.7500 4.0000 1.7500Columns 7 through 12 0 -1.2500 -2.0000 -2.2500 -2.0000 -1.2500Columns 13 through 18 0 1.7500 4.0000 6.7500 10.0000 13.7500Columns 19 through 24 18.0
7、000 22.7500 28.0000 33.7500 40.0000 46.7500Column 25 54.0000a =2-143.分式多项式的展开 （1）传递函数:本质是将时域上的微分或积分方程进行 Laplace 变换，结果是将时域问题变为频域问题求解，数学变换的关键是 以及式中 于是，传递函数一般是 S 的多项式。【例 3】求一个 RC 低通滤波器的幅频与相频特性图和转折频率。%低通 r=100 千欧 c=1 微法x=0:100;y=1./(j*0.1*x+1);A=abs(y);P=angle(y);g=abs(A-0.707)；a,b=min(g)x0=x(b)PO=P(b)s
8、ubplot(221)plot(x,A)subplot(222)plot(x,P)%转折频率为 1/RC运行结果为a =1.0678e-004b =11x0 =10PO =-0.7854sdtst1js5幅频 相频（2）分子、分母多项式的单项展开留数定理：设函数在 D 域内除有限个奇点外解析，在闭域 D+C 上除这些点外连续，则有 分子、分母多项式的单项展开在控制系统的分析中经常需要将由分母、分子多项式构成的传递函数进行部分展开，如 )(.21)( skbnsabsasBA这时可以用a,b,k=residue(AN,BN) 来进行分解。这里，A 和 B 为多项式，a 和 b 是展开式的多项式，
9、分别称为留数和残数。AN和 BN 是 A 和 B 的系数。K 为直行向量。这对分析函数奇点非常有用。【例 4】请将 )4(321s进行部分分式展开。 AN=1 3 2; BN=1 7 12 0; r,p,k=residue(AN,BN)r =1.5000-0.6667cnkkaRidzf1)(2)(60.1667p =-4-30k =相当于原式为 ss167.03.45.14.多项式的乘除与微分运算乘:conv(卷积) 除：deconv(解卷) polyder（微分）【例 5】计算 )18(32xcleara1=1 0;a2=2 3;a3=1 18;p1=conv(a1,a2)p2=conv(
10、p1,a3)p3,r=deconv(p2,a3)conv(p3,a3)+r运行结果为p1 =2 3 0p2 =2 39 54 0p3 =2 3 0r =0 0 0 07ans =2 39 54 0 poly2sym(ans) ans = 2*x3+39*x2+54*x5多项式的求根n 次多项式有 n 个根，它们可以是实数、虚数或共扼复数。MATLAB 中 roots 用来求全部根。如 A=6 1 0 3 1A =6 1 0 3 1 roots(A)ans =0.4414 + 0.6980i0.4414 - 0.6980i-0.7006 -0.3488 6. 多项式的曲线拟合1用多项式函数去模拟
11、一个离散数据的方法，称为多项式的曲线拟合。2方法：1）找出函数上的已知点系列。2）由已知点系列确定多项式，即式中，P 为模拟的多项式，polyfit 为调用函数，x 和 y 是已知点系列，n 是多项式的阶次。（一般 n 越大越精确）【例 6】用多项式去模拟一个正弦函数clearx=0:0.1:6;y=sin(x);xx=0:6;),(polfit x8yy=sin(xx);a1=polyfit(xx,yy,3);y1=polyval(a1,x);a2=polyfit(xx,yy,4);y2=polyval(a2,x);a3=polyfit(xx,yy,5);y3=polyval(a3,x);s
12、ubplot(231)plot(x,y,-,x,y1,.)subplot(232)plot(x,y,-,x,y2,.)subplot(233)plot(x,y,-,x,y3,.)结果为n=3 n=4 n=5可见，模拟情况与多项式的阶次有关。但并不是拟合的阶次越高越好，一方面，提高阶次必然会增加计算量；另一方面，与数据点吻合的很好也不能说明拟合的结果准确会提高，高阶多项式对噪声（NOISE）敏感度较高，因此容易产生不准确的预测。三、总结：MATLAB 是一种以矩阵运算为基础的交换式程序语言，是专门针对科学和工程中计算和绘图的需求而开发的。与其他计算机语言相比，具有简洁和智能化的特点，人机交互性能好，特别是它可以适应多种平台，并且随着计算机硬软件的更行而及时升级。随着 MATLAB 版本的不断升级更新，它在基本课程教学、科学研究和工程应用中将发挥越来越大的作用。参考文献：【1】 MATLAB 基础及应用155p、156p、157p、158p、159p、160p。刘 勍、温志贤，编著。【2】 MATLAB 基础及应用教程周开利编著，北京大学出版社。9
