1、一阶电路的数学模型是一阶微分方程 , 解的一般形式为,令 t = 0+,第14讲 一阶电路的三要素公式,1、使用条件：,外施激励为直流或正弦函数。,2、依据：,在全响应下，一阶电路中各处的u、 i均按指数规律变化。初始值最终值（稳态值）。,同一个电路，u、 i的变化由同一个决定。,、三要素：,f(0+): 初始值，独立和非独立初始条件求解。,t=0-,C开路，短路。,零状态时，短路，开路。,f():,特解，稳态值，最终值。开路，短路,：,只有在直流或正弦函数作用下强迫分量才称为稳态分量；若外加激励是衰减的指数函数，则强迫分量也将以相同规律衰减的指数函数，在这种情况下，强迫分量不再称为稳态分量。
2、,若激励为正弦函数，,t=0+时稳态响应的初始值。,f(t) 是特解，是时间的正弦函数。,f(0+)与的含义与前相同。,已知： t=0时合上开关 求 换路后的uC(t) 。,解,例2,求,t0,解：,三要素法,作t=0+时的等效电路：,t0,9,1,例3,设电流源在t=0时加入，uc (0-)=0,求u c (t)，t0,解：,三要素法,求u c ()：,u c ()=2*4+2*2=12V,求：,=CReq=10*0.01=0.1s,(4+4)is+2is=u,10is=u, Req=10, uc(t)=12(1-e-10t) t0,已知：电感无初始储能 t = 0 时合 k1 , t =0
3、.2s时合k2 求两次换路后的电感电流i(t)。,解： 0 t 0.2s,例 3.5 -1如图3.5 -3(a)的电路， 在t0时，开关S位于“1”， 电路已达到稳定状态。 在t=0时，开关由“1”闭合到“2”。 求t 0时的电感电流iL、 电感电压uL以及i1和i2 。,解： （1）求初始值。 为此要先求得iL(0-)。 在t-的瞬间， 开关S尚位于“”，由于这时已处于稳态， 故有diL/dt =0， 即uL =0，电感可用短路替代，于是得t=0-的等效电路如图3.5 -3(d)所示。 由图(d)不难求得iL(0-) =9/3=3A。 ,根据换路定律可知iL(0+) = iL(0-) =3A
4、。这样，在t0的电路(图(b)中，用电流源iL(0+)替代电感元件，得t=0+时的初始值等效电路如图3.5 -3(e)所示。由图(e)可求得,（2）求稳态值。 当电路达到稳态值时，diL/dt =0， 即uL=0。在t0的电路(图(b)中， 电感用短路线替代， 这样就得到稳态值等效电路， 如图3.5 -3(f )所示。 显然，各变量的稳态值均为零。 即 iL()=0 uL ()=0 i1()= i2()=0,（3）求,（4）代入三要素公式求各响应,iL(t)= iL ()+ iL(0+)- iL () e= iL(0+)e = 3e-2t(A) t0uL(t)= uL ()+uL(0+)- u
5、L () e=uL(0+)e = -6e-2t(A) t0i1(t)= i1 ()+ i1(0+)- i1 () e= i1(0+)e = 2e-2t(A) t0i2(t)= i2 ()+ i2(0+)- i2 () e= i2(0+)e =-e-2t(A) t0,例 3.5 2 如图3.5 -5的电路，当t0时，开关S位于“1”， 已达到稳定状态。 (1) 如在t=0时，开关S由“1”闭合到“2”，求t0时电压uC和u1的零输入响应、零状态响应以及全响应； (2)如在t=0时，开关S由“1”闭合到“2”，经过1.5s后，开关又由“2”闭合到“3”，求t0时的电压uC和u1 。 ,解(1) 由
6、图3.5 -5可见，当开关S闭合到“2”后， 即t0的电路如图3.5 - 6(a) 所示。 ,（1）求初始值。在t=0-时，开关位于“1”，由于电路已达到稳态，电容可看作是开路，不难求得， uC (0+)= uC (0-) = - 4V。,为了区分零输入响应与零状态响应，设uC 和u1的零输入响应的初始值分别为uCx(0+)和u1x(0+) ，其零状态响应的初始值分别为uCf(0+)和u1f(0+) 。,iS置零(开路)，可求得,uCx(0+) = uC(0+) =-4 Vu1x(0+) = =-2 V,uC(0+)置零(短路)， 可求得,（2）求稳态值 当电路达到稳态时，电容可看做开路。 稳
7、态等效电路如图3.5 -6(d)所示。设uC和u1的零输入响应和零状态响应的稳态值分别为uCX ()、 uCf ()和u1x()、 u1f()。 ,uCf(0+)=0,iS置零(开路)，可求得,uCx( ) =0 Vu1x( ) = 0 V,由输入产生的零状态响应的稳态值为,（3）求, =ReqC=1s,uCx(0+) = uC(0+) =-4 V,uCf(0+)=0,u1f(0+)= 4V,u1x( ) = 0 V,u1x(0+) = =-2 V,uCx( ) =0 V, =ReqC=1s,（4）代入三要素公式求各响应：,(2) 在t=0时，开关S由“1”闭合到“2”，经过1.5s后，开关又
8、由“2”闭合到“3”。在0t1.5s区间，开关位于“2”，仍有 uC(t)=8-12 e-t (V) 0t1.5 s u1(t)=8-6 e-t (V) 0t1.5s时的电路,uC (1.5-) =8-12e-1.5=5.32 V,uC (1.5+) = uC (1.5-) =5.32 V,t=1.5+s等效电路,u1 (1.5+) =0,显然，各电压稳态值均为零。,t1.5s时的电路,由图可见，从电容两端看去的等效电阻为2， 所以=RC=0.5s。 ,于是按三要素得t1.5s的电路响应为uC (t)=5.32e2(t 1.5 ) (V) t1.5s u1(t)=0 t1.5s,t1.5s时的电路,0t1.5s时的电路,第14讲 一阶电路的三要素公式,结 束,作业：P192 3-28预习: 阶跃函数和阶跃响应,
