1、 第 1 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 共 8 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j题目 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 高中数学复习专题讲座 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j t/.jt/.j hp:/.xjktygcow126:/.jt /.jm/.j htp:/.xjkygco126t:/.j t/w.jt/.j头 hp:/.xjktygcom126:/.jt /.jw/.j应用性问题高考要求 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco数学应用题是指利用数学知识
2、解决其他领域中的问题 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 高考对应用题的考查已逐步成熟，大体是三道左右的小题和一道大题，注重问题及方法的新颖性，提高了适应陌生情境的能力要求 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 重难点归纳 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解应用题的一般思路可表示如下：东东东东东东东东东东东东东东东东东东东东东东东东东东东东东东东东东东东东东东东东东东东东2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解应用题的一般程序（1）读 头htp:/w.xjk
3、ygcom126t126.hp:/wxjkygco 阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j （2）建 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键的一关 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j （3）解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 求解数学模型，得到数学结论 头htp:/w.xjkyg
4、com126t:/.j 一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j （4）答 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 将数学结论还原给实际问题的结果 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 中学数学中常见应用问题与数学模型（1）优化问题 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 实际问题中的“优选” “控制”等问题，常需建立“不等式模型”和“线性规划”问题解决 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j （2）预
5、测问题 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j （3）最（极）值问题 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函数模型” ，转化为求函数的最值 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j （4）等量关系问题 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 建立“方程模型”解决（5）测量问题 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:
6、/wxjkygco 可设计成“图形模型”利用几何知识解决 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 典型题例示范讲解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 例 1 为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为 2 米的无盖长方体沉淀箱（如图） ，污水从 A 孔流入，经沉淀后从 B 孔流出，设箱体的长度为 a 米，高度为 b米，已知流出的水中该杂质的质量分数与 a、b 的乘积 ab成反比，现有制箱材料 60 平方米，问当 a、b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A 、B 孔的面积忽略不计）？BA第 2 页 头htp:/w.xjkyg
7、com126t:/.j 共 8 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j命题意图 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 本题考查建立函数关系、不等式性质、最值求法等基本知识及综合应用数学知识、思想与方法解决实际问题能力 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 知识依托 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 重要不等式、导数的应用、建立函数关系式 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 错解分析 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 不能理解题意而导致关系式
8、列不出来，或 a 与 b 间的等量关系找不到 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 技巧与方法 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 关键在于如何求出函数最小值，条件最值可应用重要不等式或利用导数解决 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解法一 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 设经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数为 y，则由条件 y=(k 0 为比例系数)其中 a、b 满足 2a+4b+2ab=60 ab要求 y 的最小值，只须求 ab 的最大值 头htp:/w.xjkygcom126t:/
9、.j 由(a+2)( b+1)=32(a0,b0)且 ab=30(a+2b)应用重要不等式 a+2b=(a+2)+(2b+2)4 124)2(ab18，当且仅当 a=2b 时等号成立将 a=2b 代入得 a=6,b=3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 故当且仅当 a=6,b=3 时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解法二 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 由 2a+4b+2ab=60,得 ,a30记 (0a 30)则要求 y 的最小值只须求 u 的最大值 头htp:/w.xjky
10、gcom126t:/.j u)30(由 ，令 u=0 得 a=62)(4且当 0a6 时，u0，当 6u30 时 u0, 在 a=6 时取最大值，此时 b=3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 3从而当且仅当 a=6，b=3 时,y= 取最小值 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 例 2 某城市 2001 年末汽车保有量为 30 万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的 6%，并且每年新增汽车数量相等 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过 60 万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？命题意图 头htp:
11、/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 本题考查等比数列、数列求和解不等式等知识以及极限思想方法和运用数学知识解决实际问题的能力 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 知识依托 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 数列极限、等比数列、解不等式 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 错解分析 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 不能读懂题意，找不到解题的突破口；写出 bn+1 与 x的关系后，不能进一步转化为极限问题；运算出错，得不到准确结果 头htp:/w.xjkygco
12、m126t:/.j 第 3 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 共 8 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j技巧与方法 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 建立第 n 年的汽车保有量与每年新增汽车数量之间的函数关系式是关键、尽管本题入手容易，但解题过程中的准确性要求较高 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 设 2001 年末的汽车保有量为 b1 万辆，以后各年汽车保有量依次为 b2 万辆，b 3 万辆，每年新增汽车 x 万辆，则b1
13、=30,b2=b10 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 94+x,对于 n1，有 bn+1=bn0 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 94+x=bn10 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 942+(1+0 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 94)x,所以 bn+1=b10 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 94n+x(1+0 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 94+0 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 942+0 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 94n1)=b10
14、头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 94n+ 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 94.3(94当 0，即 x1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 8 时，b n+1b nb 1=30.3当 0，即 x1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 8 时，60.94.).(.limxnn 并且数列b n逐项递增，可以任意靠近 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 因此如果要求汽车保有量不超过 60 万辆，即 bn60(n=1,2, )则有 60，所以 x3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 606.x综上，每年新增
15、汽车不应超过 3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 6 万辆 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 例 3 一只小船以 10 m/s 的速度由南向北匀速驶过湖面，在离湖面高 20 米的桥上，一辆汽车由西向东以 20 m/s 的速度前进（如图） ，现在小船在水平 P 点以南的 40 米处，汽车在桥上以西 Q 点 30 米处（其中 PQ水面） ，则小船与汽车间的最短距离为 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j （不考虑汽车与小船本身的大小） 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解析 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxj
16、kygco 设经过时间 t 汽车在 A 点，船在 B点， （如图） ，则 AQ=3020t,BP=4010t,PQ=20,且有AQBP，PQAQ，PQPB ，设小船所在平面为 ,AQ,QP 确定平面为 ,记 =l,由 AQ ,AQ 得 AQ l,又 AQPQ ，得 PQl ,又 PQPB，及lPB =P 得 PQ 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 作 ACPQ，则 AC 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 连 CB，则 ACCB，进而 AQBP ，CP AQ 得 CPBP ，AB 2=AC2+BC2=PQ2+PB2+PC2=202+（4010t ） 2+(3020
17、t)2=1005(t2) 2+9,t=2 时 AB 最短，最短距离为 30 m 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j ABQC PP东东东东东东第 4 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 共 8 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j答案 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 30 m例 4 小宁中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco （1）洗锅盛水 2 分钟；（2）洗菜 6 分钟；（3）准备面条及佐料 2 分钟；（4）用锅把水烧开 10
18、分钟；（5）煮面条和菜共 3 分钟 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 以上各道工序除（4）之外，一次只能进行一道工序，小宁要将面条煮好，最少用分钟 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解析 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 按以下工序操作所需时间最少，、（并在此时完成、）所用时间为 2+10+3=15 分钟 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 答案 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 15 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 例 5 某产品生产厂家根据以往的生
19、产销售经验得到下面有关销售的统计规律 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 每生产产品 x（百台） ，其总成本为 G（x）万元，其中固定成本为 2 万元，并且每生产 100 台的生产成本为 1 万元（总成本=固定成本+生产成本） ，销售收入 R(x)满足 R(x)= 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j )5( 2.008.4假定该产品销售平衡，那么根据上述统计规律 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j （1）要使工厂有盈利，产品 x 应控制在什么范围？（2）工厂生产多少台产品时赢利最大？并求此时每台产品的售价为多少？解 头htp:/
20、w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 依题意，G（x )=x+2,设利润函数为 f(x),则)5 .808.2340)(2f(1)要使工厂有赢利，则有 f(x)0 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 当 0x5 时，有0 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 4x2+3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 2x2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 80,得 15 时，有 8 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 2x0,得 x5 时 f(x)b,各字母均为正值，SbySvcy )(.)0(23 所以 y
21、1y20，即 y20,由 cb 及每字母都是正值，得 cb+ 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j v5所以，当 cb+ 时 y21 时，才可对冲浪者开放 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 1, 16st0 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 2k s,即有 12k30,2n 2+40n720，解得 2n18 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 由nN 知从第三年开始获利 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j （2）年平均利润= =402(n+ )16 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 当且仅当 n=6 时取等
22、)3号 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 故此方案先获利 616+48=144（万美元） ，此时 n=6,f (n)=2(n10)2+128 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 当 n=10 时，f(n)| max=128 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 故第种方案共获利 128+16=144（万美元） 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 故比较两种方案，获利都是 144 万美元，但第种方案只需 6 年，而第种方案需 10 年，故选择第种方案 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 8 头htp:/w.xjkygcom12
23、6t:/.j 解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 设分别生产 P、Q 产品 x 件、y 件，则有第 8 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 共 8 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 6047321082461205 yxyxyx则 有依 题 意 有设利润 S=1000x+2000y=1000(x+2y)要使利润 S 最大，只需求 x+2y 的最大值 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j x+2y=m(2x+3y)+n(x+4y)=x(2m+n)+y(3m+4n) 24315有 x+2y= (2x+3y)+ (x+4y) 7000+ 6000 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 525当且仅当 解得 时取等号，此时最大利润6047320Smax=1000(x+2y)=4000000=400(万元) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 另外此题可运用“线性规划模型”解决 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 课前后备注 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco
