1、 1313 波动班号 学号 姓名 成绩 一、选择题（在下列各题中，均给出了 4 个5 个答案，其中有的只有 1 个是正确答案，有的则有几个是正确答案，请把正确答案的英文字母序号填在题后的括号内）1. 在下列关于机械波的表述中，不正确的是： A. 机械波实际上就是在波的传播方向上，介质中各质元的集体受迫振动；B. 在波的传播方向上，相位差为 2的两质元之间的距离称为波长；C. 振动状态在介质中传播时，波线上各质元均可视为新的子波波源；D. 波的振幅、频率、相位与波源相同；E. 波线上离波源越远的质元，相位越落后。 （D） 知识点 机械波的概念。分析与题解 平面简谐波在弹性介质中传播，介质中各质元
2、都做受迫振动，各质元均可视为新的子波波源，因此，各质元的振幅、频率与波源是相同的，但各质元的相位是沿传播方向逐点落后的。2. 平面简谐波波函数的一般表达式为 ，则下列说法中不正)(cosuxtAy确的是：A 表示波线上任一质元落后于原点处质元的相位，或者说是波线上相距为 x ux的两质元的相位差；B 表示波从 x = 0 传到 x 处所需时间；C 中的负号表示相位落后； 中的正号表示相位超前；)(ux)(uxD 是任一时刻波线上任一质元的振动速度 v ，它并不等于波速 u；tyE 表示波速 u ，它与介质的性质有关。 （E） t知识点 波动方程中各物理量的意义。分析与题解 表示波动某一质元的振
3、动速度 v ，它并不等于波速 u。一般来说 是ty ty时间的函数并且与质元位置 x 有关，而波速 u 只与介质的性质有关。3在下列关于波的能量的表述中，正确的是：A波的能量 ；2pk1AEB机械波在介质中传播时，任一质元的 Ek 和 EP 均随时间 t 变化，但相位相差 ；2C由于 Ek 和 EP 同时为零，又同时达到最大值，表明能量守恒定律在波动中不成立；DE k 和 EP 同相位，表明波的传播是能量传播的过程。 （D） 知识点 波的能量特征。分析与题解 波在介质中传播时，各质元的动能和势能都随时间变化，且两者同相位，其总能量随时间变化，说明能量在传播。能量守恒定律是自然界普遍适用的物理规
4、律，波动中各质元的机械能不守恒，是因为前后质元作用给该质元的弹性力要做功，这也说明了波的传播是能量传播的过程。 4. 一列平面余弦波，在 t = 0 时波动曲线如图 13-1(a)所示，则 P 点和 Q 点的振动初相位分别为： A ， ； B ， ； 22C 0， 0； D ， 。 （A）3yxb0acdef图 13-20yxPQu图 13-1(a)t+ t0yxPQu图 13-1(b)知识点 波线上任一点振动方向的判断。分析与题解 依平面余弦波行波的特性， 时刻的波形如图 13-1(b)所示。可知 t = 0t时刻，P 点向 y 轴正方向运动，且 ，则 P 点此时振动的初相位 ；Q 点与0y
5、 20PP 点相距半个波长，则 Q 点与 P 点必反向，则 Q 点此时振动的初相位 。5. 一列平面余弦波 t 时刻的波形如图 13-2 所示，则该时刻能量为最大值的介质质元的位置是：（B）Aa, c, e ； Bb, d, f ；Ca, e ； Dc。知识点 平面简谐波能量特征，最大能量位置判断。分析与题解 波动中质元的动能、势能与总能量同相变化，且在平衡位置处动能、势能与总能量最大，在位移最大处动能、势能与总能量最小。由题意得：b、d、f 在平衡位置处，且向 x 轴正或负方向运动；a、c、e 处在位移最大处。因此，则该时刻能量为最大值的介质质元的位置是 b、d、f。6. 一频率为 500H
6、z 的平面简谐波，波速为 360m / s，则同一波线上相位差为 两点间3距离为： x/m0101020y/cmP图 13-3(a)x/m0101020y/cmP图 13-3(b)A0.24m； B0.48m ；C0.36m； D0.12m 。 （D ）知识点 波线上两点间相位差公式 。d2分析与题解 已知 ， ，则波长为Hz50m/s360u7.由波线上相隔距离为 d 的两点间相位差公式 ，得d210327. 已知一波动在 t = 0.5s 的波形如图 13-3(a)所示，波速为 10m / s，若此时 P 点处介质质元的振动动能在逐渐增大，则波动方程为：A )cm10(cosxtyB ；C
7、 ；)c(csxtyD 。 （B）10o知识点 由波形曲线求波动方程。分析与题解 已知 ，由图 13-3(a)的波形曲线知/s10u， ， cmA2rad/s201u且此时 P 点质元的动能在增大，应向平衡位置靠近，则下一时刻的波形曲线如图 13-3(b)中虚线所示。由行波特性知此波沿 x 轴负方向传播，进而得出当 t = 0.5s 时坐标原点（x = 0）的质元在平衡位置且向 y 轴的正方向运动。即 23t所以 0.523波动方程为 cm)1(cos0xty8. 在下列关于波的干涉的表述中，正确的是： A两列波在空间相遇，叠加的结果形成干涉；B两列相干波干涉的结果，使介质中各质元不是“加强”
8、 ，就是“减弱” （即极大或极小） ；C干涉加强意味着合振幅 A 有极大值，干涉减弱意味着合振幅 A 有极小值；D干涉加强点意味着该质元的 y 不随时间变化，始终处于极大值位置；E两列相干波形成干涉，某时刻介质中 P 点处的质元距平衡位置为 y，且（A min y Amax） ，表明 P 点一定既不是加强点，也不是减弱点。 （C）知识点 波的干涉的概念。分析与题解 要形成干涉必须是满足相干条件的两列波叠加而成，而不满足相干条件的两列波叠加后不能形成干涉。干涉加强或减弱是指合振幅取极大值或极小值的情况，而干涉中还有合振幅介于两者之间（即不是“加强”也不是“减弱” ）的情况存在。干涉加强点的振幅为
9、极大值 ，但该点仍在做简谐振动，其位移随时间在-21AA 与+ A 之间不变化。由 只能说明 P 点不是减弱点，但由 不能说明 P 点不是加强点。minymaxy9. 一列火车驶过火车站时，站台上的观察者测得火车汽笛声的频率由 1200Hz 变为1000Hz，空气中的声速为 330m / s，则火车的速度为： A30m / s； B55m / s；C66m / s； D90m / s。 （A）知识点 多普勒效应。分析与题解 已知空气中的声速 ，设火车汽笛声源的频率为 ，火车的速度m/30u为 vs，则当火车驶向站台时，观察者测得火车汽笛声的声波频率为(1)12031 ssuv则当火车驶离站台时
10、，观察者测得火车汽笛声的声波频率为(2)1032 ssuv联立式(1)和式(2) ，可得火车的速度为 m/s10. 在下列关于电磁波的表述中，正确的是： A电磁波在传播过程中， E、H 的振动方向相互垂直，频率相同；B振幅满足 的关系；C电磁波在真空中的波速 ；cu01D电磁波是纵波。 （A、B、C）知识点 电磁波的性质。分析与题解 电磁波是横波。二、填空题1. 一平面简谐波的波动方程为 ，则这列波的角频率为m052cos0.xty，波速 u = 2.5 m /s ，其沿 x 轴正 方向传播。rad/s10知识点 根据波动方程求描述波动的特征量。分析与题解 波动方程的标准式为 xTtAuxtA
11、y2cos)(cos经比较，可得出： ， ， ， 。m20.0.Tm5.0则角频率为 rad/s1.波速为 205Tu由波动方程中的 项，可判断该平面简谐波是沿 x 轴正方向传播的。)05(.x2. 波源位于 x = -1m 处，其振动方程为 ，此波源产生的波无吸m32cos50ty.收地分别向 x 轴正、负方向传播，波速 u = 2 m/s，则向 x 轴正向传播的波动方程为 y1 = ，则向 x 轴负向传播的波动方程为 y2 = m32cos50t.。4xt.知识点 沿 x 轴正、负方向传播的波动方程的建立。分析与题解 沿 x 轴正方向传播的波动方程为 1)(cosuxtAy将 代入上式并与
12、给定的该点的振动方程为 相比较，有m1x m3250t.且31uxrad/s即 321)(1 则沿 x 轴正方向传播的波动方程为 m2)(cos05xty.同理，沿 x 轴负方向传播的波动方程为 2)(utA则有 3421)(32 ux则沿 x 轴负方向传播的波动方程为 m34)2(cos05xty.3. 一沿 x 轴正方向传播的平面简谐波，波速为 u = 10 m/s，频率为 = 5Hz，振幅 A = 0.02m。t = 0 时，位于坐标原点处的质元的位移为 y0 = 0.01m，速度 ，则此列波的0dty波动方程为 ；位于 x1 = 4m 和 x2 = 4.1m 处两质元的相位差ym310
13、cos2xt.y/mx/m0.050.25 0.50u=10 m/sO图 13-4(a)Oy/mx/m0.050.25 0.50u=10 m/s图 13-4(b) = 。10.知识点 波动方程的建立，波线上两质元间相位差公式 。d2分析与题解 ，rad/s 102m2u由 且 ，有 m0.y.A01cos0y即 ，2cos3由题意已知 t = 0 时， ，且 ，得初相位 应在第四象限，则0ydt则沿 x 轴正方向传播的波动方程为 3)10(cos02xty. m301cos2xt.两质元的相位差为 0.1)4.()(12 xd4. 一列波在 t = 0 时的波动曲线如图 13-4(a)所示，则
14、可知：波长 = 0.5m ；O 点的振动方程为 y0 = m240cos5t.波动方程为 y = )1(xt.相位差为 = 0.8的两质元相距为x = 0.2m 。知识点 由波动曲线建立波动方程，波线上两质元间相位差公式 。d2分析与题解 由波形曲线知， ， ，m50.05.Arad/s 40512.u对坐标原点的质元，当 t = 0 时， ，则有ycos.即 ，cs2由于波动曲线沿 x 轴负方向传播，则下一时刻的波形曲线如图 13-4(b)所示，则此时，得初相位 应在第四象限，则0dty 2O 点的振动方程为 m40cos5tyO.波动方程为 m240cos52)1(0 xtxt两质元相距为
15、 .8052.x5. 一列波由波疏介质向波密介质传播，在两介质的分界面上反射，则反射波的相位将 会发生相位的突变（相当于发生了半个波长的变化） ，这个现象称为 半波损失 。知识点 半波损失的概念。6. 已知驻波方程为 （SI） ，则形成该驻波的两列行波的振幅 A txy80cos204.= 0.02 m ，波速 u = 40 m/s ，相邻两波节的距离为 x = 。m20知识点 根据驻波方程求描述驻波的特征量。分析与题解 驻波方程的标准式为 txAycos2经比较，可得出： ， ，m0.10rad/s80则 ，Hz42m/4u相邻两波节的距离为 2x波 疏入 射 波 波 密Px0 ExL反 射
16、 波图 13-57. 一列平面波简谐波，频率为 v，波长为 ，由波疏介质向波密介质传播，并在两介质分界面上 E 点反射回来，已知 O 点处质元的运动方程为 （SI） ，2cos0tAyOE = L（如图 13-5 所示） ，则入射波的波动方程为 y 入 = ；22cosxtA反射波的波动方程为 y 反 = 。3)(Lt知识点 波动方程的建立，半波损失。分析与题解 取如图所示坐标正方向，已知坐标原点 O 点处质元的振动方程为 2cos0tAy则入射波的波动方程为2cosxty入入射波传到 E 点的振动方程为 2cosELtAy入在 E 点反射由于是由波疏介质向波密介质分界面上的反射，是有半波损失
17、（即相位的突变）的，所以反射波从 E 点反射后 E 点的振动方程为 22cosLtAy入在波线上（x 轴）任设一 P 点，其位置坐标为 x，则反射波从 E 点传播到 P 点的距离为（ ） ，P 点的相位比 E 点落后 。L )(则反射波传到 P 点的振动方程为 )(22cos xLLtAy 入23)(2cosxLtA波线上任一点的振动方程就是沿该波线传播的波的波动方程。所以，反射波的波动方程为23)(2cosxLtAy入 24cosxtA8. 一列平面波简谐波在介质中传播，波速 ，振幅为 ，m/s103.um104.A频率为 ，介质密度为 ，则该波的能流密度为 I = Hz103.2kg/8.
18、；在 60s 内垂直通过面积为 的总能量为 W = 5W/m81. 24.SJ。379知识点 波的能流密度（波强）的计算。分析与题解 该波的能流密度（波强）为 21uAI2)(23243 )10.()10.018 25W/m1.总能量为 tIS J79364345.9. 一个功率为 W 的波源位于 O 点，以 O 为圆心作两个同心球面，它们的半径分别为r1 和 r2，则通过这两个球面的能流密度之比为 ；若在两个球面上分别取面21:I21:r积 和 ，则通过它们的平均能流分别为 和 。SP214SW2P24Sr知识点 波的能流密度（波强）和平均能流的计算。分析与题解 以波源为球心，r 1 和 r
19、2 为的半径的球面处波的强度分别为， 114SWI入 224rSI入则通过这两个球面的能流密度之比为 21rIB S v声源反射面观察者图 13-6由波的能流密度 ，得平均能流为 。SPIISP则通过球面上的面积 和 的平均能流分别为12， 124SrWIP2224SrWI10. 多普勒效应指的是： 波源与观测者相对于介质有相对运动时，观测者测得的频率要发生变化的现象 。现有一声源 S，其振动频率为 2040Hz，以速度 v = 0.25 m/s 向一反射面接近，如图 13-6 所示，观察者 B 处测得直接由声源 S 传播过来的波的频率为 2038.5Hz ；测得由反1射面反射回来的波的频率为
20、 2041.5Hz（声速取 u = 340 2m/s） 。知识点 多普勒效应。分析与题解 已知声速 ，波源运动m/s340um/s250.v直接由声源 S 传播过来的波的频率为 Hz3842501 v反射面反射回来的波的频率为 5013402 u三、计算与证明题1. 利用波的干涉原理制成的发动机排气噪声的消声器，如图 13-7 所示。排气噪声的声波到达 A 点时，分成直管和弯管两个声通道，到达 B 点时，两列声波因干涉而相消。若噪声频率 ，声速 ，则图 13-7 中直管与弯管的长度差（声波的波程Hz30m/s340u差）至少应为多少？分析与解答 根据两列声波相位差与波程差的关系，并考虑 和相干
21、相消条件，有210yxubN Px图 13-9r1r2A B图 13-70yx1 2uA0vx2 4A-A0vxA-A1 2 0yx2uA-A-A4（a） （b）图 13-8)12()(21kr（ ， ）0,k则波程差为 )12(12kr令式中 ，则 r 至少应为km57034.ur2. 一列角频率为 的平面简谐波，速度为 u，沿 x 轴正方向传播。（1）已知 t = 0 时波动曲线（如图 13-8(a)所示） ，试画出该时刻 x 轴上各质元的振动速度 v 与坐标 x 的关系曲线。（2）如图 11-8(b)所示为 t 时刻波线上各质元的 v x 曲线，试画出该时刻的波形图。分析与解答 利用 y
22、 与 v 的相位关系得 t = 0 时 v x 的关系曲线，t 时刻的波形图如图所示。3. 如图 13-9 所示，一列平面简谐波 ，频率 ，波速 ，m05.AHz10m/s4S 1 S 2P 1 P 2x图 13-10沿 x 负方向传播。当 t = 0 时，距 O 点为 b = 0.1m 的 N 点处质元过平衡位置，且向正方向运动。试求：（1）N 点处的质元的运动方程；（2）波线上任一点 P 处质元的运动方程；（3）当 t = 1s 时，x = 1m 处质元的相位。分析与解答 （1） ，m05.Arad/s20按题设条件，在 t = 0 时，N 点处质元 ，且 ，则 N 点处质元的初相位为Ny
23、Nv2则 N 点的运动方程为 )m0cos(5tyN.（2）由于波沿 x 负向传播，故 P 点的相位超前 N 点 ubx(则任一点 P 的运动方程为 22csty.4100o5.xm5cst.（3）x = 1m 时，此处质元的振动方程为2102os05ty.t = 1s，则该处质元相位为： 4.5894. 如图 13-10 所示，S 1 和 S2 是波长均为 的两个相干波的波源，相距 ，振幅均为4A0，且 S1 的相位较 S2 超前了 。若两列波在 S1 和 S2 连线方向上的各点的强度相同，不随距离变化，且两波的强度都为 I0。试求：（1）S 1 和 S2 连线上，在 S1 左侧各点的合成波
24、的强度为多少？（2）S 1 和 S2 连线上，在 S2 右侧各点的合成波的强度为多少？分析与解答 （1）按题意，在 S1 左侧任选一点 P1，设 ，则xrS1入 射 波x0反 射 波y1y2图 13-11，且知 421xrSP 212故 S1 和 S2 到 P1 的相位差为 )4()(1212 xr 满足干涉减弱条件 ，合振幅为 k0A故 S1 左侧任一点 P1 的合成波的强度为 1I表明 S1 左侧无波传播。（2）同理，在 S2 右侧任选一点 P2，知 S1 和 S2 到 P2 的相位差为 )4-()(112 xr 0满足干涉加强条件 ，合振幅为 A = 2A0k则 S2 右侧任一点 P2
25、各点的合成波的强度 2I5. 设入射波方程为 ，在弦上传播并在 x = 0 处反射，反射点为)(2cos1xTtAy自由点，如图 13-11 所示。试求：（1）反射波的波动方程；（2）合成波动方程；（3）波腹和波节的位置。分析与解答 （1）由题设条件可知，y 1 沿 x 轴负方向传播，在 x = 0 处反射，且反射点为自由端，即无相位突变的半波损失，则反射波方程为)(2cos2TtA（2）合成波的方程为 ttxycscs1 （3）由 ，得A2o波腹处： ，即 ，则1csxkx（ ）2k,210波节处： ， 即 ，则02cosx)12(kx（ ）4)1(k,0四、论述题试以“行波与驻波”为题，练习写一篇物理小论文。提示 行波与驻波两者本质的区别如下：形成机理：行波是由简谐振动在弹性介质中的传播所形成，而驻波是由两列振幅相同的相干波在同一直线上沿相反的方向传播叠加的结果。能量特征：行波伴随着能量的传播，驻波能量被限制在小区段中，并不传播。相位特征：行波波线上各质元振动的相位不同；驻波相邻波节间的质元相位相反。振幅特征：行波在波线各点均作振幅相等的简谐振动，波形在传播；驻波在波线上各点作振幅不同的简谐振动，波形被驻定。
