1、第一章 命题逻辑,2019年6月27日星期四,第四节 对偶式与蕴涵式,第四节 对偶式与蕴涵式 一、对偶式 定义：在给定的仅使用联结词 、的命题公式A中，若把和互换，F和T互换，得到一个公式A*， 称A*是A的对偶式。 称A和A*互为对偶式,2019年6月27日星期四,对偶式,例1.24 求下列公式的对偶式。 P(QR) PT P Q, P(QR),PF, P Q PQ, (P Q)* = PQ,2019年6月27日星期四,对偶式,对偶定理： 设A和A*互为对偶式， P1，P2，Pn是出现在A和A*的原子命题变元，则 A (P1，P2，Pn) A* ( P1， P2， Pn)A ( P1， P2
2、， Pn) A* (P1，P2，Pn),2019年6月27日星期四, A (P1，P2，Pn) A* ( P1， P2， Pn),证明：设公式 A 中含有联结词、的数目为L 当 L0时， A P1 A* A (P1) (P1) P1 A* ( P1) 当L1时， A (P1P2)（或(P1P2) ，或 P1 ） 当A (P1P2)时，A* (P1P2) A (P1,P2) (P1P2)( P1 P2) A* ( P1, P2)当A (P1P2)时，A* (P1P2) A (P1,P2) (P1P2)( P1 P2) A* ( P1, P2)当A P1 时，A* P1 A ( P1) ( P1)
3、 A* ( P1),2019年6月27日星期四, A (P1，P2，Pn) A* ( P1， P2， Pn),设当 Lk-1 时(k=1,2,)时 A (P1,P2,Pn) A* ( P1, P2, Pn) 成立 当Lk时 若A (P1,P2,Pn) A1 (P1,P2,Pn)A2 (P1,P2,Pn) 则LA1，LA2 k-1。由上面结论得： A1 (P1,P2,Pn) A1* ( P1, P2, Pn) A2 (P1,P2,Pn) A2* ( P1, P2, Pn),2019年6月27日星期四, A (P1，P2，Pn) A* ( P1， P2， Pn), A (P1,P2,Pn) (A1
4、 (P1,P2,Pn)A2 (P1,P2,Pn) A1 (P1,P2,Pn) A2 (P1,P2,Pn) A1*(P1,P2,Pn)A2*(P1,P2,Pn) A*( P1, P2, Pn),2019年6月27日星期四, A (P1，P2，Pn) A* ( P1， P2， Pn),同理，若 A (P1,P2,Pn) A1 (P1,P2,Pn)A2 (P1,P2,Pn) 可证 A (P1,P2,Pn) A*( P1, P2, Pn) 若A (P1,P2,Pn) A1 (P1,P2,Pn) 可证 A (P1,P2,Pn) A1*( P1, P2, Pn) A*( P1, P2, Pn) 由上证明，
5、可得当L=K时， A (P1,P2,Pn) A*( P1, P2, Pn)。证毕,2019年6月27日星期四,对偶式,例1.25 设 A(P, Q, R) = P (QR) 求证： A*( P, Q, R) P( Q R) 。 证明： A(P, Q, R) ( P(QR) ) P( Q R) 又因为： A(P, Q, R) A*( P, Q, R) 所以： A*( P, Q, R) P( Q R) 证毕, A (P1，P2，Pn) A* ( P1， P2， Pn),2019年6月27日星期四,对偶式,对偶定理： 设A和B是两个命题公式，若A B，则A* B* 证明： A B意味着A (P1,P
6、2,Pn) B (P1,P2,Pn)永真。 所以 A (P1,P2,Pn) B (P1,P2,Pn)永真。 因为 A (P1,P2,Pn) A*( P1, P2, Pn) B (P1,P2,Pn) B*( P1, P2, Pn) 因此 A*( P1, P2, Pn) B*( P1, P2, Pn)永真。 用 Pi代入Pi得到A*(P1, , Pn) B*(P1, Pn)永真 因此 A* B*，证毕。,2019年6月27日星期四,对偶式,例1.26 求证： (PQ) ( PQ) PQ 证明： (PQ) ( PQ) (PQ) ( PQ) E1 E11 (P PQ) (Q PQ) E2 E4 T (
7、 PQ) E6 E10 PQ E7,2019年6月27日星期四,对偶式,例1.27 求证：(PQ)( PQ) PQ 证明： 由前面证明得知(PQ) ( PQ) PQ( (PQ) ( PQ) )* ( PQ )*(PQ)( PQ) PQ 证毕,设A和B是两个命题公式，若A B，则A* B*,2019年6月27日星期四,蕴涵式,二、蕴涵式 定义：设A和B是两个命题公式，若A B是永真式，则称A蕴涵B，记做A B，称A B为蕴涵式或条件永真式。 与的区别： 是逻辑联结词，出现在命题公式中 是一个符号，表示两个命题公式之间的蕴涵关系,2019年6月27日星期四,蕴涵式,蕴涵式有以下性质： 自反性 对任
8、意公式A，有 A A 传递性 对任意公式A、B、C，若有A B， B C， 则有A C 对任意公式A、B、C，若有A B， A C 则A (B C) 对任意公式A、B、C，若有A C， B C 则 (A B) C,2019年6月27日星期四,蕴涵式,等价式和蕴涵式的关系： 定理：设A和B是两个命题公式，AB的充要条件是： A B 且 B A 证明：(1) 若A B，则A B是永真式。因为： A B (A B) (B A)所以(A B) (B A)是永真式所以(A B) 和(B A)都是永真式所以A B 且 B A （必要条件得证）,PQ P是Q的充分条件，Q是P的必要条件,2019年6月27日
9、星期四,蕴涵式,证明：(2) 若A B 且 B A ，则(A B) 和(B A)都是永真式。因为： A B (A B) (B A)所以A B是永真式所以A B （充分条件得证） 因此，AB的充要条件是：A B 且 B A。证毕,2019年6月27日星期四,蕴涵式的证明,蕴涵式的证明方法： 真值表法 若前件为真，能推得后件为真，则此蕴涵式为真 若后件为假，能推得前件为假，则此蕴涵式为真,指明两种证明思路,2019年6月27日星期四,蕴涵式的证明,例1.28 求证： Q(P Q) P 证明： 1)真值表法,2019年6月27日星期四,蕴涵式的证明,2) 前件真则后件真 ( Q(P Q) P)设 Q
10、(P Q) 为T，则 Q为T， P Q也为T可得到：Q为F，故P为F，因此 P为T。得证 3) 后件假则前件假设 P为F，则P为T若Q为T，则 Q为F，则 Q(P Q) 为F若Q为F，则PQ为F，则 Q(P Q) 为F。证毕,2019年6月27日星期四,基本蕴涵公式,基本蕴涵公式 A、B、C、D代表任意命题 I1 化简式 A B A I2 A B B I3 附加式 A A B， A B A I4 附加式变形 A A B I5 B A B I6 化简式变形 (A B) A I7 (A B) B,2019年6月27日星期四,基本蕴涵公式,I8 假言推论 A (A B) B I9 拒取式 B (A
11、B) A I10 析取三段论 A (A B) B I11 条件三段论 (A B) (B C) A C I12 双条件三段论 (A B) (B C) A C I13 合取构造二难 (A B) (C D) (A C) B D,A、B、C、D代表任意命题,如果 A 则 B; A；所以B,如果 A 则 B; B；所以A,要么A，要么B； A；所以B,2019年6月27日星期四,基本蕴涵公式,I14 析取构造二难 (A B) (C D) (A C) B D特别的，当B=D时，有 (A B) (C B) (A C) B (A B) (C B) (A C) B I15 前后件附加 A B (A C) (B
12、C) A B (A C) (B C),A、B、C、D代表任意命题,如果 A 则 B; 并且如果C 则 D; 但是要幺 A 要幺C; 所以, 要幺 B 要幺D,2019年6月27日星期四,基本蕴涵公式,补充： I16 A B (B C) (A C) I17 (A B) (C D) (A C) (B D) I18 A B A B A B B A I19 A, B A B,A、B、C、D代表任意命题,A和B分别为真，所以A B为真,2019年6月27日星期四,蕴涵式,例1.29 求证： PQ P Q 证明： 1) (PQ) (P Q) (PQ) ( P Q) ( P Q) ( P Q) P Q Q
13、T 2) PQ Q I2 P Q I5,指明两种证明思路 按定义 套公式,定义：若A B是永真式，则称A蕴涵B,2019年6月27日星期四,第五节 联结词的扩充与功能完全组,第五节 联结词的扩充与功能完全组 一、联结词的扩充 合取非 设P、Q是任意两个原子命题，定义： P Q (P Q) 当且仅当P和Q的值均为T时， P Q的值为F P Q读作“P合取非Q”，“合取非”又称“与非”,2019年6月27日星期四,联结词的扩充,析取非 设P、Q是任意两个原子命题，定义： P Q (P Q) 当且仅当P和Q的值均为F时， P Q的值为T P Q读作“P析取非Q”，“析取非”又称“或非”,2019年6
14、月27日星期四,联结词的扩充,条件非 设P、Q是任意两个原子命题，定义： P Q (P Q) 当且仅当P为T而Q为F时， P Q的值为T P Q读作“P条件非Q”,2019年6月27日星期四,联结词的扩充,双条件非 设P、Q是任意两个原子命题，定义： P Q (P Q) 当且仅当P和Q的真值不同时， P Q的值为T P Q读作“P双条件非Q”， “双条件非”又称“异或”,2019年6月27日星期四,扩充联结词的性质,与非的性质 交换律 P Q Q P 幂律 P P P(P Q) (P Q) P Q(P P) (Q Q) P Q,2019年6月27日星期四,扩充联结词的性质,与非的性质（补充）
15、P T P P F T 德摩根律 (P Q) P Q （自己证明）,2019年6月27日星期四,扩充联结词的性质,或非的性质 交换律 P Q Q P 幂律 P P P(P Q) (P Q) P Q(P P) (Q Q) P Q,2019年6月27日星期四,扩充联结词的性质,或非的性质（补充） P F P P T F 德摩根律 (P Q) P Q （自己证明）,2019年6月27日星期四,扩充联结词的性质,例1.30 求证： P Q 的对偶式是 P Q 证明：(P Q)* ( (P Q)* ( P Q)* ( P Q) (P Q) P Q,2019年6月27日星期四,扩充联结词的性质,例1.31
16、 求证： (P Q) P Q P Q 证明： (P Q) (P Q) ( P Q) E12 P Q 同理，可证 (P Q) P Q。,2019年6月27日星期四,扩充联结词的性质,异或的性质 交换律 P Q Q P 结合律 P (Q R) (P Q) R 分配律 P (Q R) (P Q) (P R) 幂律 P P F， P P T 同一律 P F P， P T P 若P Q R，则Q R P， R P Q 且P Q R F,2019年6月27日星期四,扩充联结词的性质,我们一共学习了9个联结词，优先级由高到低为： 、 由教材P16的真值表可知：这9个命题联结词可以表示所有的命题间的联结关系。
17、 是不是必须用这9个表示命题间的联结关系呢？能不能再少一些？,2019年6月27日星期四,联结词功能完全组,二、联结词功能完全组 由定义知： P Q (P Q) P Q (P Q) P Q (P Q) P Q (P Q) 因此，仅使用 、就足够了,2019年6月27日星期四,联结词功能完全组,又因为： P Q ( P Q) (P Q) E12 P Q P Q E11 P Q ( P Q ) E5 P Q ( P Q ) E5 仅使用、或、就足够了,2019年6月27日星期四,联结词功能完全组,定义： 设D为联结词集合，若D中一个联结词可以由D中其他的联结词表示，则该联结词成为冗余联结词。 设D
18、为联结词集合，若任何命题公式总可以用含有D中的联结词的等值式表示，且D中不含有冗余联结词， 则称D为全功能联结词集合，或联结词功能完全组。,2019年6月27日星期四,联结词功能完全组,可以证明： 、，、， 、， ， 都是联结词功能完全组。 而、， ， ， 、 都不是联结词功能完全组 为了表示方便，经常使用联结词组、 、,2019年6月27日星期四,联结词功能完全组,例1.32 对下列公式，试仅用或表示 P 解： P P P P P P Q 解： P Q (P Q) (P Q) (P P) (Q Q),2019年6月27日星期四,联结词功能完全组,P Q 解： P Q (P Q) (P Q) (P P) (Q Q) P Q 解： P Q P Q (P P) Q (P P) Q) (P P) Q),
