1、前面几部分是讨论一元函数微积分问题(包括一元函数的极限、连续性、导数与微分、积分、微分方程等). 这一部分讨论多元函数(主要是二元函数)的微积分问题(包括二元函数的定义、极限、连续性、偏导数、二重积分等). 从一元函数到二元函数，有很多结论本质上不相同，而二元函数到其他更高阶元函数的讨论是完全类似的, 因此我们将重点讨论二元函数的微积分问题. 讨论二元函数是在空间直角坐标系下进行的，因此在学习任务一中, 先学习“空间解析几何”, 包括坐标的建立、空间中两个点之间的距离、平面方程与直线方程、曲面方程与曲线方程等内容.,学习任务一 空间解析几何,大家已经看到, 讨论一元函数微积分, 借助于平面直角
2、坐标系是很有帮助的, 无论是讨论一元函数的极限、还是学习导数和积分都是这样. 要学习二元函数的极限、偏导数和二重积分, 先学习空间直角坐标系是非常必要的. 建立空间直角坐标系及其他问题的讨论, 对比平面直角坐标系是很有帮助的. 在本学习任务中, 要求大家掌握两个点之间的距离计算公式.,1. 空间直角坐标系的建立 在中学,原点相同的两根垂直的数轴就得到一个平面直角坐标系. 类似地,原点相同的三根两两垂直的数轴就得到一个空间直角坐标系.,在空间直角坐标系中，三根数轴分别称为横轴(或x轴)、纵轴(或y轴)和竖轴(或z轴). 有了空间直角坐标系，空间中任意一个点P都可以用这个点的横坐标x、纵坐标y和竖
3、坐标z三个数来表示，即P(x, y, z). 这是建立空间直角坐标系的原因之一. 在三根数轴中，x轴和y轴所确定的平面称为xOy坐标面，y轴和z轴所确定的平面称为yOz坐标面，x轴和z轴所确定的平面称为xOz坐标面.,2. 空间中两个点之间的距离 建立了空间直角坐标系，空间中的任意两个点可以分别为M1(x1, y1, z1)和M2(x2, y2, z2). 完全类似于平面直角坐标系中两个点之间的距离公式的推导，很容易得出空间中两个点M1 (x1, y1, z1) 和M2 (x2, y2, z2)之间的距离公式为,例(空间中两个点之间的距离) 在x轴上求一个点C, 使得C点与A(-4, 1, 7
4、)和B(3, 5, -2)等距离. Solution 设C(x, 0, 0)是x轴上所求的点, 根据题意有|CA| = |CB|, 而由|CA| = |CB|, 解方程得x = -2. 因此, 所求的点为(-2, 0, 0).,注意 本例除用到空间中两个点之间的距离公式外，关键还要知道x轴上任意的点都是(x, 0, 0)形式. 同理，y轴上任意的点都是(0, y, 0)形式，z轴上任意的点都是(0, 0, z)形式. xOy坐标平面上的点是(x, y, 0)、yOz坐标平面上的点是(0, y, z)和xOz坐标平面上的点分别是(x, 0, z).,3. 平面方程和空间直线方程 类似于平面中到两
5、个给定点距离相等的点的轨迹是该线段的垂直平分线，在空间中到两个给定点距离相等的点的轨迹是垂直平分面(一个平面!). 下面的例子说明如何得出该平面的方程. 例(平面方程的建立) 设有点A(0, 0, 0)和B(1, 1, 2),求线段AB的垂直平分面的方程. Solution 设动点M(x, y, z)是平面上的点,根据题意有|MA| = |MB|, 而,由|MA| = |MB|, 得一般地, 在空间直角坐标系中, 平面方程的一般形式为(A, B, C不全为0),特别地，y = 2(即 y 2 = 0)是平行于xOz坐标面、在y轴右方且与xOz坐标面相距2的平面. 再特殊一点，y = 0 就是x
6、Oz坐标面. 同理, x = 0 就是yOz坐标面，z = 0 就是xOy坐标面. 在空间直角坐标系中, 任意一条空间直线都是两个平面的交线, 即任意空间直线的方程为,4. 曲面方程和空间曲线方程 对于如下的曲面，其一般方程为F(x, y, z) = 0， 其中F(x, y, z)是关于x, y, z的表达式(见后面的几个例子).,显然, 空间曲线是两个曲面的交线. 于是, 空间曲线的方程为下面介绍几种常见的曲面方程. (1) 球面的方程 例(球面方程) 建立球心在M0(x0, y0, z0)、半径为R的球面的方程.,Solution 设M(x, y, z)是球面上的任意点, 则|MM0| = R, 于是 两边平方, 得特别地，球心在O(0, 0, 0)、半径为R的球面的方程为,(2) 柱面的方程 由xOy平面上的圆周曲线平行于z轴拉伸, 就得到一个圆柱面, 其方程为,注意 方程x2 + y2 = R2在空间直角坐标系下是一个圆柱面，而在平面直角坐标系下是一个圆. 类似地, 在空间直角坐标系下, 方程分别是椭圆柱面、抛物柱面和双曲柱面.,(3) 椭球面 椭球面的方程为,
