1、,主讲教师：陈殿友,总课时：,128,第二十一讲,函数的连续性与间断点,高等数学,二、 函数的间断点,一、 函数连续性的定义,机动 目录 上页 下页 返回 结束,8函数的连续性与间断点,第一章,一、 函数连续性的定义,机动 目录 上页 下页 返回 结束,自然界有许多现象，如气温的变化，江河的水流，植物的生长等等，都是连续地变化着的.这种现象反映在函数上，就是函数的连续性.例如就气温的变化来看，当时间变动很微小时，气温的变化也很微小，这种特点就是所谓的连续性.,为了更好的刻画连续性，我们先引出增量的概念.,设变量u从它的一个初值u1变到终值u2，终值与初值的 差u1- u2就叫做变量u的增量，记
2、作,即,2、记号,1、增量 可以是正的，也可以是负的.,并不表示某个量与变量u的乘积，而是一,个整体不可分割的记号。,可见 , 函数,在点,定义1,在,的某邻域内有定义 ,则称函数,(1),在点,即,(2) 极限,(3),设函数,连续必须具备下列条件:,存在 ;,且,有定义 ,存在 ;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,如果,存在，,(4) 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,continue,若,在某区间上每一点都连续 ,则称它在该区间上,连续 ,或称它为该区间上的连续函数 .,例如,在,上连续 .,( 有理整函数 ),又如, 有理分式函数,在其定义域内连续.,在闭区间,上的连续函数
3、的集合记作,只要,都有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对自变量的增量,有函数的增量,左连续,右连续,当,时, 有,函数,在点,连续有下列等价命题:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例. 证明函数,在,内连续 .,证:,即,这说明,在,内连续 .,同样可证: 函数,在,内连续 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在,在,二、 函数的间断点,(1) 函数,(2) 函数,不存在;,(3) 函数,存在 ,但,不连续 :,设,在点,的某去心邻域内有定义 ,则下列情形,这样的点,之一函数 f (x) 在点,虽有定义 , 但,虽有定义 , 且,称为间断点 .,在,无定义 ;,机动 目录 上页
4、下页 返回 结束,间断点分类:,第一类间断点:,及,均存在 ,若,称,若,称,第二类间断点:,及,中至少一个不存在 ,称,若其中有一个为振荡 ,称,若其中有一个为,为可去间断点 .,为跳跃间断点 .,为无穷间断点 .,为振荡间断点 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为其无穷间断点 .,为其振荡间断点 .,为可去间断点 .,例如:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,显然,为其可去间断点 .,(4),(5),为其跳跃间断点 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,左连续,右连续,第一类间断点,可去间断点,跳跃间断点,左右极限都存在,第二类间断点,无穷间断点,振荡间断点,左右极限至少有一个不存在,在点,间断的类型,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业：22页 练习1.3,思考与练习,1. 讨论函数,x = 2 是第二类无穷间断点 .,间断点的类型.,2. 设,时,提示:,为,连续函数.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,答案: x = 1 是第一类可去间断点 ,P65 题5 提示:,作业P64 3 ; 4,第九节 目录 上页 下页 返回 结束,备用题 确定函数,间断点的类型.,解: 间断点,为无穷间断点;,故,为跳跃间断点.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
