1、3eud 教育网 http:/ 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！河北省近五年中考数学压轴题综述河北省中考数学最后一道压轴题的命制，从 1996 年至 2001 年的近五年来呈现出一个规律：都是几何图形运动型的综合题，并且由运动的几何图形来看，类型各异，颇具特色。一、单点运动型例 1 (1999 年河北省中考压轴题)如图 1-1，正方形 OABC 的顶点 O 在坐标原点，且 OA边与 AB 边所在直线的解析式分别为：y= x 和 y=- x+ 。D、E 分别为边 OC 和 AB 的中点，P 为 OA 边上一动点(点 P 与点 O 不重合)，连结 DE 和 CP，其交点为 Q。(1)求
2、证：点 Q 为COP 的外心；(2)求正方形 OABC 的边长；(3)当Q 与 AB 相外切时，求点 P 的坐标。解：(1)D、E 分别为正方形 OABC 中 OC、AB 的中点，DEOA。Q 也是 CP 的中点。又CP 是 RtCOP 的斜边，点 Q 为COP 的外心。(2)由方程组解得点 A 的坐标为(4，3)。过点 A 作 AFox 轴，垂足为点 F。OF=4，AF=3。由勾股定理，得 OA= =5。(3)如图 1-2，当COP 的外接圆Q 与 AB 相切时，圆心 Q 在直线 DE 上，且 DEAB，E 为Q 与 AB 相切的切点。又AE 和 APO 分别是Q 的切线与割线AE 2=AP
3、AOOA=5，AE=( )2=AP5，AP=当Q 与 AB 相切时，OP=5-3eud 教育网 http:/ 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！作 PHox，垂足为 H。PHAF，OH= ，PH=点 P 的坐标为(3， )二、双点互动型例 2 (1997 年河北省中考压轴题)已知：如图 2-1，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，B=90，AB=8 厘米，AD=24 厘米，BC=26 厘米，AB 为O 的直径。动点 P 从点 A开始沿 AD 边向点 D 以 1 厘米/秒的速度运动，动点 Q 从点 C 开始沿 CB 边向点 B 以 3 厘米/秒的速度运动。P、Q 分别从点 A、C 同时
4、出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动。设运动时间为 t 秒。求：(1)t 分别为何值时，四边形 PQCD 为平行四边形、等腰梯形？(2)t 分别为何值时，直线 PQ 与O 相切、相交、相离？解：(1)ADBC，只要 QC=PD，四边形 PQCD 为平行四边形。此时，有 3t=24-t，解，得 t=6。即当 t=6 秒时，四边形 PQCD 为平行四边形。同理，只要 PQ=CD，PDQC，四边形 PQCD 为等腰梯形。过 P、D 分别作 BC 的垂线交 BC 于 E、F 两点(如图 2-2)，则由等腰梯形的性质可知：EF=PD，QE=FC=2。2= 3t(24-t)解得 t=7t=7
5、秒时，四边形 PQCD 为等腰梯形。(2)设运动 t 秒时，直线 PQ 与O 相切于点 G(如图 2-3)，过 P 作 PHBC，垂足为 H。则 PH=AB，BH=AP，即 PH=8，HQ=26-3t-t=26-4t。由切线长定理，得 PQ=AP+BQ=t+26-3t=26-2t。由勾股定理，得 PQ2=PH2+HQ2，即(26-2t) 2=82+(26-4t)2化简整理，得 3t2-26t+16=03eud 教育网 http:/ 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！解，得 t1= ，t 2=8即 t= 秒或 t=8 秒时，直线 PQ 与O 相切。t=0(秒)时，PQ 与O 相交；当
6、t= =8 (秒)时，Q 点运动到 B 点，P 点尚未运动到D 点，但也停止运动，此时 PQ 也与O 相交。当 t= 或 t=8 时，直线 PQ 与O 相切；当 0t 或 8t8 时，直线 PQ 与O 相交；当 t8 时，直线 PQ 与O 相离。三、直线平移型例 3 (2000 年河北省中考压轴题)在如图 3-1 所示的直角坐标系中，点 C 在 y 轴的正半轴上，四边形 OABC 为平行四边形，OA=2，AOC=60，以 OA 为直径P 经过点 C，点 D 在y 轴上，DM 为始终与 y 轴垂直且与 AB 边相交的动直线，设 DM 与 AB 边的交点为 M(点 M 在线段 AB 上，但与 A、
7、B 两点不重合)，点 N 是 DM 与 BC 的交点设 OD=t。(1)求点 A 和 B 的坐标；(2)设BMN 的外接圆G 的半径为 R，请你用 t 表示 R 及点 G 的坐标；(3)当G 与P 相切时，求直角梯形 OAMD 的面积。解：(1)连结 AC。OA 为P 的直径，ACO=90又OA=2，AOC=60，OC=1，AC=点 A 的坐标为( ,1)又 OABC 为平行四边形，AB OC，点 B 的坐标为( ,2)(2)DMy 轴，且 ABOC，DMAB。NMB=90G 的圆心 G 为 BN 的中点。又B=AOC=60，BM= BN=R。而点 B 的纵坐标为 2，点 M 的纵坐标=点 D
8、 的纵坐标=t，BM=2-t，R=2-t过点 G 作 GHy 轴，交 x 轴于点 H，交 DM 于点 F；过点 G 作 GKx 轴，交 AB 于点 K(如3eud 教育网 http:/ 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！图 3-2)。根据垂径定理，得到：FM= MN，KM= BM。设点 G 的坐标为(x, y) NM= (2-t)x=DM- MN= - (2-t)= t，y=OD+ BM=t+ (2-t)=1+ t。点 G 的坐标为( t，1+ t)。(3)连结 GP，过点 P 作 PEx 轴，交 GH 于点 E。由 PEGE，根据勾股定理得：GP=当G 与P 外切时，PG=R+1，
9、 =3-t。解得 t= ，经检验 t= 是原方程的根。此时，OD=t= ，AM=1-MB= ，DM=AC=此时，OD=t= ，AM=1-MB= ，DM=AC= ，直角梯形 OAMD 的面积为：S= ，DM= = 。四、点线共动型例 4 (2001 年河北省中考压轴题)如图 4-1，在菱形 ABCD 中，AB=10，BAD=60。点M 从点 A 以每秒 1 个单位长的速度沿着 AD 边向点 D 移动；设点 M 移动的时间为 t 秒(0t10)。(1)点 N 为 BC 边上任意一点。在点 M 移动过程中，线段 MN 是否一定可以将菱形分割成面积相等的两部分？并说明理由；(2)点 N 从点 B(与点
10、 M 出发的时刻相同)以每秒 2 个单位长的速度沿着 BC 边向点 C 移动，在什么时刻，梯形 ABNM 的面积最大？并求出面积的最大值；3eud 教育网 http:/ 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！(3)点 N 从点 B(与点 M 出发的时刻相同)以每秒 a(a2)个单位长的速度沿着射线 BC 方向(可以超越 C 点)移动，过点 M 作 MPAB，交 BC 于点 P。当MPNABC 时，设MPN 与菱形 ABCD 重叠部分的面积为 S，求出用 t 表示 S 的关系式，并求出 S=0 时 a 的值。解：(1)MN 一定能在某一时刻将菱形 ABCD 分割成面积相等的两部分。对于中心
11、对称图形，过中心的任一直线均能将图形分割成面积相等的两部分。而且菱形是中心对称图形(如图 4-2 所示)。在点 M 由 A 到 D 的移动过程中，一定存在一个时刻，使得线段 MN 过菱形的中心。(2)过 B 作 BEAD，垂足为 E(如图 4-3)。在 RtABE 中，BE=10sin60=5AM=t，BN=2t，S 梯形 ABNM= (t+2t)5 = t。2t10，t5当 t=5 时，S 梯形 ABNM最大。最大面积为： 5= 。(3)ABC 是腰长为 10 的等腰三角形。当ABCABC 时(如图 4-4)MP=10，PN=BC=10，且 MP=PN。NC=PN-PC=BC-PC=PBBP
12、=AM=t，PC=10-t，NC=t过 P 作 PGDC，垂足为 G。在 RtPGC 中，PG=PCsin60= (10-t)。设 MN 交 DC 于 F，DCMP，且 MP=PN，NFC=NMP=MNP，FC=NC=t。重叠部分 MPCF 是梯形，S= (t+10) (10-t)=- t2+25当 S=0，即- t2+25 =0 时，解得 t1=10，t 2=-10(舍去)BN=at，且 BN=PN+PB=10+t，at=10+t。3eud 教育网 http:/ 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！将 t=10 代入 at=10+t，解得 a=2。五、点圆齐动型例 5 (1998 年
13、河北省中考压轴题)如图 5-1 所示，一艘轮船以 20 浬/时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以 40 浬/时的速度由南向北移动，距台风中心 20浬的圆形区域(包括边界 )都属台风区。当轮船到 A 处时，测得台风中心移到位于点 A 正南方向 B 处，且 AB=100 浬。(1)若这艘轮船自 A 处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风？若会，试求轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由；(2)现轮船自 A 处立即提高航速，向位于东偏北 30方向，相距 60 浬的 D 港驶去。为使台风到来之前，到达 D 港，问船速至少应提高多少(提高的船速取整数， 3.6)？解：(1)设途中会
14、遇到台风，且最初遇到台风的时间为 t 小时，此时，轮船位于 C 处，台风中心移到 E 处，连结 CE(如图 5-2)。则有 AC=20t，AE=AB-BE=100-40t，EC=20 。在 RtAEC 中，AC 2+AE2=EC2，(20t) 2+(100-40t)2=(20 )2。整理，得 t2-4t+3=0 =(-4) 2-413=40，途中会遇到台风。解，得 t1=1，t 2=3。最初遇到台风的时间为 1 小时。(2)设台风抵达 D 港时间为 t 小时，此时台风中心至 M 点。过 D 作 DFAB，垂足为 F，连结 DM。在 RtADF 中，AD=60，FAD=60，DF=30 ，FA=
15、30。又(30 )2+(130-40t)2=(20 )2，整理，得 4t2-26t+39=0解之，得 t1= ，t 2= 。台风抵达 D 港的时间为 小时。轮船从 A 处用 小时到 D 港的速度为 60 25.5。3eud 教育网 http:/ 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！因此，为使台风抵达 D 港之前轮船到 D 港，轮船至少应提速 6 浬/时。连续五年的中考压轴题都以几何图形的运动为命题背景，并非纯属巧合。大概主要原因是命题者看中了这种题目的综合性强、对思维能力的要求高这一颇具选拔性的功能；而在动中求静的辨证统一思想，又成为体现数学中辩证法的很好素材。由此可见，无论从此类题目的命题形式、还是考查意图上，把它放在最后一道压轴题的位置，都是恰如其分的。
