1、“牛吃草”问题简析牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是 17 世纪英国伟 大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同 头 数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这 片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生 长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。解决牛吃草 问题 常用到四个基本公式，分别是（1）草的生长速度（对应的牛头数吃的较多天数相 应的牛头数吃的较少天数）（吃的较多天数吃的较少天数）；（2）原有草量牛头数吃的天数草的生长速度吃的天数； （3）吃的天数原有草量（牛头数草的生长速度）；（4）牛头数原有草量吃的天数草的生长速度。这四
2、个公式是解决消长问题的基础。由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不 变的，新 长的草虽然在 变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。正是由于 这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式。 牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草，这块地既有原有的草，又有每天新长出的草。由于吃草的牛头数不同，求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总 所求的问题。这类问题的基本数量关系是：1.(牛的头数吃草较多的天数 -牛头
3、数吃草较少的天数)（吃的较多的天数-吃的较少的天数)=草地每天新长草的量。2.牛的头数吃草天数-每天新 长量吃草天数=草地原有的草。华图公务员考试研究中心数量关系资料分析教研室研究员 姚璐【华图名师姚璐例 1】有一块牧场，可供 10 头牛吃 20 天， 15 头牛吃 10 天，则它可供 25 头牛吃多少天？A.3 B.4 C.5 D.6【华图名师姚璐答案】C【华图名师姚璐解析】设该牧场每天长草量恰可供 头牛吃一天，这片草场可供 25 头牛吃x天n根据核心公式： 10215025xxn，代入x5核心公式： 草场草量（牛数每天长草量）天数基本不变量：单位面积牧场上原有草量不变， 一般用来列方程每头
4、牛每天吃草量不变， 一般设为“1”单位面积牧场上每天新增草量不变， 一般设为“ ”x【华图名师姚璐例 2】有一块牧场，可供 10 头牛吃 20 天， 15 头牛吃 10 天，则它可供多少头牛吃 4 天？A.20 B.25 C.30 D.35【华图名师姚璐答案】C【华图名师姚璐解析】设该牧场每天长草量恰可供 头牛吃一天，x根据核心公式： 1021504xnx，代入530【华图名师姚璐例 3】如果 22 头牛吃 33 公亩牧场的草， 54 天后可以吃尽， 17 头牛吃 28 公亩牧场的草，84 天可以吃尽，那么要在 24 天内吃尽 40 公亩 牧场的草，需要多少头牛？ A.50 B.46 C.38
5、 D.35【华图名师姚璐答案】D【华图名师姚璐解析】 设每公亩牧场每天新长出来的草可供 头牛吃 1 天，每公亩草场原有x牧草量为 ，y24 天内吃尽 40 公亩牧场的草，需要 头牛n根据核心公式： 3254238654yxyx8178171x，因此 ，选择 D3654219yxy402435nn【华图名师姚璐注释】这里面牧场的面积发生变化，所以每天长出的草量不再是常量。下面我们来看一下上述“牛吃草问题”解题方法，在真题中的应用。【华图名师姚璐例 4】有一个灌溉用的中转水池，一直开着进水管往里灌水，一段 时间后，用2 台抽水机排水，则用 40 分钟 能排完；如果用 4 台同样的抽水机排水，则用
6、16 分钟排完。问如果计划用 10 分钟将水排完，需要多少台抽水机？【广东 2006 上】A.5 台 B.6 台 C.7 台 D.8 台【华图名师姚璐答案】B【华图名师姚璐解析】设每分钟流入的水量相当于 台抽水机的排水量，共需 台抽水机xn有恒等式： 2401610xn解 ，得 ，代入恒等式236【华图名师姚璐例 5】有一水池，池底有泉水不断涌出，要想把水池的水抽干，10 台抽水机需抽 8 小时，8 台抽水机需抽 12 小时，如果用 6 台抽水机，那么需抽多少小时？【北京社招2006】A.16 B.20 C.24 D.28【华图名师姚璐答案】C【华图名师姚璐解析】设每分钟流入的水量相当于 台抽
7、水机的排水量，共需 小时 xt有恒等式： 108126xt解 ，得 ，代入恒等式424【华图名师姚璐例 6】林子里有猴子喜欢吃的野果， 23 只猴子可在 9 周内吃光， 21 只猴子可在 12 周内吃光，问如果有 33 只猴子一起吃， 则需要几周吃光？（假定野果生 长的速度不变）【浙江 2007】A.2 周 B.3 周 C.4 周 D.5 周【华图名师姚璐答案】C【华图名师姚璐解析】设每天新生长的野果足够 只猴子吃，33 只猴子共需 周吃完 xn有恒等式： 239213xn解 ，得 ，代入恒等式54【华图名师姚璐例 7】物美超市的收银台平均每小时有 60 名顾客前来排队付款，每一个收银台每小时能应付 80 名顾客付款。某天某 时刻，超高如果只开设一个收银台，付款开始 4 小时就没有顾客排除了，问如果当 时开设两个收银台， 则付款开始几小 时就没有顾客排队了【浙江 2006】A.2 小时 B.1.8 小时 C.1.6 小时 D.0.8 小时【华图名师姚璐答案】D【华图名师姚璐解析】设共需 小时就无人排队了，n806480260.8x
