1、第 1节 直线与方程【选题明细表】知识点、方法 题号直线的倾斜角和斜率 1,2直线的方程 5,8,11直线的位置关系 4,7直线的交点和距离问题 3,10,13直线方程的综合应用 6,9,12,14基础巩固(时间:30 分钟)1.(2018北京模拟)已知直线 l经过两点 P(1,2),Q(4,3),那么直线 l的斜率为( C )(A)-3 (B)- (C) (D)3解析:直线 l的斜率 k= = ,故选 C.2.直线 3x+ y-1=0的倾斜角是( C )(A) (B) (C) (D)解析:直线 3x+ y-1=0的斜率 k=- ,所以 tan =- .又 00,b0)过点(1,1),则该直线
2、在 x轴、y 轴上的截距之和的最小值为( C )(A)1 (B)2 (C)4 (D)8解析:显然直线 ax+by=ab在 x轴上的截距为 b,在 y轴上的截距为 a.因为 ax+by=ab(a0,b0)过点(1,1),所以 a+b=ab,即 + =1,所以a+b=(a+b)( + )=2+ + 2+2 =4,当且仅当 a=b=2时等号成立,所以直线在 x轴、y 轴上的截距之和的最小值为 4.故选 C.7.(2018绍兴二模)设直线 l1:(a+1)x+3y+2-a=0,直线 l2:2x+(a+2)y+1=0.若 l1l 2,则实数 a的值为 ,若 l1l 2,则实数 a的值为 .解析:直线 l
3、1:(a+1)x+3y+2-a=0,直线 l2:2x+(a+2)y+1=0.若 l1l 2,则 2(a+1)+3(a+2)=0,解得 a=- ,若 l1l 2,则(a+1)(a+2)=23,解得 a=-4或 a=1,当 a=1时,两直线重合,舍去,故 a=-4.答案:- -48.已知直线 l的斜率为 ,且和坐标轴围成面积为 3的三角形,则直线l的方程为 . 解析:设所求直线 l的方程为 + =1.因为 k= ,即 =- ,所以 a=-6b.又三角形面积 S=3= |a|b|,所以|ab|=6.则当 b=1时,a=-6;当 b=-1时,a=6.所以所求直线方程为 + =1或 + =1.即 x-6
4、y+6=0或 x-6y-6=0.答案:x-6y+6=0 或 x-6y-6=09.在等腰直角三角形 ABC中,AB=AC=4,点 P是边 AB上异于 A,B的一点.光线从点 P出发,经 BC,CA反射后又回到点 P(如图).若光线 QR经过ABC的重心,则 AP等于 . 解析:以 AB,AC所在直线分别为 x轴、y 轴建立如图所示平面直角坐标系,则 A(0,0),B(4,0),C(0,4), 得ABC 的重心 D( , ),设 AP=x,P(x,0),x(0,4),由光的反射定理, 知点 P关于直线 BC,AC的对称点P1(4,4-x),P2(-x,0),与ABC 的重心 D( , )共线,所以
5、 = ,求得 x= ,AP= .答案:能力提升(时间:15 分钟)10.已知点 M是直线 x+ y=2上的一个动点,且点 P( ,-1),则|PM|的最小值为( B )(A) (B)1 (C)2 (D)3解析:|PM|的最小值即点 P( ,-1)到直线 x+ y=2的距离,又=1.故|PM|的最小值为 1.故选 B.11.(2018南昌检测)直线 3x-4y+5=0关于 x轴对称的直线的方程是( A )(A)3x+4y+5=0 (B)3x+4y-5=0(C)-3x+4y-5=0 (D)-3x+4y+5=0解析:在所求直线上任取一点 P(x,y),则点 P关于 x轴的对称点 P(x,-y)在已知
6、的直线 3x-4y+5=0上,所以 3x-4(-y)+5=0,即 3x+4y+5=0,故选 A.12.过两直线 7x+5y-24=0与 x-y=0的交点,且与点 P(5,1)的距离为的直线的方程为 . 解析:设所求的直线方程为 7x+5y-24+(x-y)=0,即(7+)x+(5-) y-24=0.所以 = ,解得 =11.故所求直线方程为 3x-y-4=0.答案:3x-y-4=013.定义:曲线 C上的点到直线 l的距离的最小值称为曲线 C到直线 l的距离.已知曲线 C1:y=x2+a到直线 l:y=x的距离等于曲线 C2:x2+(y+4)2=2到直线 l:y=x的距离,则实数 a= . 解
7、析:因为曲线 C2:x2+(y+4)2=2到直线 l:y=x的距离为 - =2- = ,则曲线 C1与直线 l不能相交,即 x2+ax,所以 x2+a-x0.设C1:y=x2+a上一点(x 0,y0),则点(x 0,y0)到直线 l的距离 d= = = ,所以 a= .答案:14.过点 P(1,2)作直线 l,与 x轴,y 轴正半轴分别交于 A,B两点,求 AOB 面积的最小值及此时直线 l的方程.解:设直线 l的方程为 y-2=k(x-1),令 y=0,得 x= ,令 x=0,得 y=2-k.所以 A,B两点坐标分别为 A( ,0),B(0,2-k).因为 A,B是 l与 x轴,y 轴正半轴的交点,所以 所以 k0,-k0,得 SAOB (4+2 )=4.当且仅当 k=-2时取“=”.所以 SAOB 最小值为 4,此时直线 l的方程为2x+y-4=0.
