1、第 3节 函数的奇偶性与周期性【选题明细表】知识点、方法 题号函数奇偶性的判定 1,4函数周期性的应用 2,14函数的奇偶性的应用 3,5,7,9,13,15函数基本性质的综合应用 6,8,10,11,12基础巩固(时间:30 分钟)1.(2018云南玉溪模拟)下列函数中,既是偶函数,又在(0,1)上单调递增的函数是( C )(A)y=|log3x| (B)y=x3(C)y=e|x| (D)y=cos |x|解析:对于 A选项,函数定义域是(0,+),故是非奇非偶函数;对于 B选项,函数 y=x3是一个奇函数,不正确;对于 C选项,函数的定义域是 R,是偶函数,且当 x(0,+)时,函数是增函
2、数,故在(0,1)上单调递增,选项 C正确;对于 D选项,函数 y=cos |x|是偶函数,在(0,1)上单调递减,不正确.故选 C.2.已知 f(x)在 R上是奇函数,且满足 f(x+4)=f(x),当 x(-2,0)时,f(x)=2x2,则 f(2 019)等于( B )(A)-2 (B)2 (C)-98 (D)98解析:由 f(x+4)=f(x)知,f(x)是周期为 4的周期函数,f(2 019)=f(5044+3)=f(3)=f(-1).由-1(-2,0)得 f(-1)=2,所以 f(2 019)=2.故选 B.3.(2018石家庄一模)已知 f(x)为偶函数,且当 x0,2)时,f(
3、x)=2sin x,当 x2,+)时,f(x)=log 2x,则 f(- )+f(4)等于( D )(A)- +2 (B)1(C)3 (D) +2解析:因为 f(- )=f( )=2sin = ,f(4)=log24=2,所以 f(- )+f(4)=+2.4.设函数 f(x)= ,则下列结论错误的是( D )(A)|f(x)|是偶函数(B)-f(x)是奇函数(C)f(x)|f(x)|是奇函数(D)f(|x|)f(x)是偶函数解析:f(-x)= =-f(x),所以函数 f(x)是奇函数,|f(-x)|=|f(x)|,函数|f(x)|是偶函数,-f(x)是奇函数,f(x)|f(x)|为奇函数,f(
4、|x|)是偶函数,所以 f(|x|)f(x)是奇函数,所以错的是 D.故选 D.5.(2018河北“五个一”名校联盟二模)设函数 f(x)是定义在 R上的奇函数,且 f(x)= 则 g(-8)等于( A )(A)-2 (B)-3 (C)2 (D)3解析:法一 当 x0,且 f(x)为奇函数,则 f(-x)=log3(1-x),所以 f(x)=-log3(1-x).因此 g(x)=-log3(1-x),xf(3) (B)f(2)f(5)(C)f(3)f(5) (D)f(3)f(6)解析:因为 y=f(x+4)为偶函数,所以 f(-x+4)=f(x+4),因此 y=f(x)的图象关于直线 x=4对
5、称,所以 f(2)=f(6),f(3)=f(5).又 y=f(x)在(4,+)上为减函数,所以 f(5)f(6),所以 f(3)f(6).故选 D.7.若 f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函数,则 a= . 解析:由于 f(-x)=f(x),所以 ln(e-3x+1)-ax=ln(e3x+1)+ax,化简得 2ax+3x=0(xR),则 2a+3=0.所以 a=- .答案:-8.已知 f(x)是定义在 R上的偶函数,且 f(x+2)=- ,当 2x3 时,f(x)=x,则 f(105.5)= . 解析:f(x+4)=f(x+2)+2=- =f(x).故函数的周期为 4,所以 f(105.
6、5)=f(427-2.5)=f(-2.5)=f(2.5),因为 22.53,由题意,得 f(2.5)=2.5,所以 f(105.5)=2.5.答案:2.59.设函数 f(x)=ln(1+|x|)- ,则使得 f(x)f(2x-1)成立的 x的取值范围是 . 解析:由 f(x)=ln(1+|x|)- ,知 f(x)为 R上的偶函数,于是 f(x)f(2x-1),即为 f(|x|)f(|2x-1|).当 x0 时,f(x)=ln(1+x)- ,所以 f(x)为0,+)上的增函数,则由 f(|x|)f(|2x-1|)得|x|2x-1|,两边平方,整理得 3x2-4x+11的解集为 . 解析:因为 f(x)= 为奇函数且定义域为 R,所以 f(0)=0,即 =0,解得 a=-1,所以 g(x)=所以当 x0时,由-ln x1,解得 x(0, );当 x0 时,由 e-x1,解得 x(-,0),所以不等式 g(x)1的解集为(-,0)(0, ).答案:(-,0)(0, )
