1、1空间向量在立体几何中的应用【知识梳理】1、已知直线 的方向向量分别为 ，平面 的法向量分别为 ，则12,l 12,v,12,n（1） ；（2） 2/ll；（3）若直线 的夹角为 ，则 ；1,lcos（4） ；（5） 1/l 1l；（6）若直线 与面 的成角为 ，则 ；1l sin（7） ；（8） /面 面 面 面；（9）若 成二面角的平面角为 ，则 面 与 面。2、 （1）三余弦定理： ；（2）三垂线定理（及逆定理）： ；（3）二面角的平面角定义（范围）： ；【小试牛刀】1、A(1，1，-2)、B (1，1，1)，则线段 AB 的长度是( )A.1 B.2 C.3 D.42、向量 a(1，2
2、，-2) ，b (-2，-4，4) ，则 a 与 b( )A.相交 B.垂直 C.平行 D.以上都不对3.如图，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，M 为 AC 与 BD 的交点.若 =a，1BA=b， =c，则下列向量中与 相等的向量是（ ）1DA1A. a+ b+c B. a+ b+c22C. a b+c D. a b+c114.下列等式中，使点 M 与点 A、B、C 一定共面的是A. B.OO23 OCBAOM51321C. D.0A 05.已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 1，点 E、F 分别是2AB、AD 的中点，则 等于DCEFA. B. C. D.41
3、4143436.若 ， ， 与 的夹角为 ，则 的值为)2,(a),(bab06A.17 或-1 B.-17 或 1 C.-1 D.17.设 ， ， ，则线段 的中点 到点 的距离),1(OA)8,23(B),(OCABPC为A. B. C. D.235454538.如图，ABCD- A1B1C1D1 为正方体，下面结论错误的是A.BD 平面 CB1D1 B.AC1BDC.AC1平面 CB1D1D.异面直线 AD 与 CB1 所成的角为 609.如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB =BC=2,AA1=1,则 BC1 与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为A. B. C. D.
4、63525010.ABC 的三个顶点分别是 ， ， ，则 AC 边上的高 BD)2,1(A),65(B)1,3(C长为A.5 B. C.4 D.41211.设 ， ，且 ，则 .)3,(xa),2(ybba/xy12.已知向量 ， ， 且 ，则 =_.009013.在直角坐标系 中，设 A（-2，3） ，B（3，-2） ，沿 轴把直角坐标平面折成xOy x大小为 的二面角后，这时 ，则 的大小为 1214.如图，PABCD 是正四棱锥， 是正方体，1CD其中 ，则 到平面 PAD2,6AB1B3侧侧侧侧侧侧侧侧侧 12 1121ED CBAP的距离为 .15、已知 ，求 值.2,4,26axb
5、yab， 若 且 xy16 如图所示，直三棱柱 ABCA1B1C1 中，CA =CB=1， BCA=90，棱 AA1=2，M、N 分别是A1B1、A 1A 的中点.（1）求 的长；N（2）求 cos的值1,（3）求证：A 1BC1M.17.如图，在四面体 中， ，点 分别是 的中ADBCAD， EF， ABD，点求证：（1）直线 面 ；/EFC（2）平面 面 18.（本小题满分 14 分）如图，已知点 P 在正方体 的对角线DCBA上，PDA=60.BD（1）求 DP 与 所成角的大小；C（2）求 DP 与平面 所成角的大小.DA19.（本小题满分 14 分）已知一四棱锥 PABCD 的三视图
6、如下，E 是侧棱 PC 上的动点（1）求四棱锥 PABCD 的体积；（2）是否不论点 E 在何位置，都有 BDAE？证明你的结论;（3）若点 E 为 PC 的中点，求二面角 DAEB 的大小D CBA PD CBA4参考答案 1、C 2、C3. =c+ (a+b)= a+ b+c，故选 A.)(11 BABM21214. 1),(zyxRzyxOCyxOA 、 MBAMC0、.)( 、 yBxyx ,1故选 D.、AM5. , ,的 中 点分 别 是 DFE, BDEFDEF21,21/ 、故选 B.40cos,cos21 CBCB6.B 7.B 8.D 9.D10.由于 ，所以 ,故选 A4
7、,cosAA 52DA11.9 12.313.作 ACx 轴于 C，BDx 轴于 D，则 BCB cos6)180cos(,0,2,5,3 DAABDA 00022 22 2, .1cos),60()1( () 、 AC14.以 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系设平面 PAD 的法向量BAx1DyA1z是 ， ， ，(,)myz(0,2)(,2)P02,0zyx取 得 ，1,5， 到平面 PAD 的距离 .1(2,0)BA1B165BAmd15、解：由 ，又 即226436ax0ab420yx由有： ,1xyy或 3x或16、如图，建立空间直角坐标系 Oxyz.（1）依题意得 B（
8、0，1，0） 、N（1，0，1）| |= .N)()()(222（2）依题意得 A1（1，0，2） 、B（0，1，0） 、C （0，0，0） 、B1（0，1，2） =1， 1，2 ， =0，1，2， =3，| |= ，| |=C65cos= .1BA301|1CB（3）证明：依题意，得 C1（ 0，0，2） 、M（ ，2） ， =1，1，2，,BA= ，0. = +0=0， ， A1BC1M.MC12,A11117.证明：（1）E,F 分别是 的中点，BD，EF 是 ABD 的中位线，EFAD，AD 面 ACD，EF 面 ACD，直线 EF面 ACD；（2）ADBD，EFAD，EFBD，CB=
9、CD，F 是的中点，CFBD又 EFCF=F, BD面 EFC，BD 面 BCD，面 面 .CBD18.解：如图，以 为原点， 为单位长建立空间直角坐标系 ADxyz则 ， 连结 ， (10)A， ， (01)， ， 在平面 中，延长 交 于 BPBH设 ，由已知 ，()(DHm， ， 60D，图6zyxED CBAP由 ，可得 cosDAHDAH， 21m解得 ，所以 2m21， ，（1）因为 ，02cosC，所以 ，即 与 所成的角为 45DH， DP45（2）平面 的一个法向量是 A(01)C， ，因为 ，20cos 21C，所以 ，可得 与平面 所成的角为 6DH， DPA3019.解
10、：（1）由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥 PABCD 的底面是边长为 1 的正方形，侧棱 PC底面 ABCD，且 PC=2. 12ABCDABCVS(2)不论点 E 在何位置，都有 BDAE证明如下：连结 AC，ABCD 是正方形，BDACPC 底面 ABCD 且 平面 BDPCBD又 BD平面 PAC 不论点 E 在何位置，都有 AE 平面 PAC ACP 不论点 E 在何位置，都有 BDAE(3)解法 1：在平面 DAE 内过点 D 作 DGAE 于 G，连结 BGCD=CB,EC=EC， ，ED=EBRtCtBAD=AB， EDAEBA，BGEA 为二面角 DEAB 的平面角GBBCDE ，ADBC ，ADDE在 R ADE 中 = =BGAE23在DGB 中，由余弦定理得 21cos2BGD = ，二面角 DAE B 的大小为 .DGB233解法 2：以点 C 为坐标原点，CD 所在的直线为轴建立空间直角坐标系如图示：A BCDPxyzH7则 ,从而(1,0)(,)(0,1)()DABE0(,1)EAB设平面 ADE 和平面 ABE 的法向量分别为(,)(,)mabcnc由法向量的性质可得： ，0,ab0,abc令 ，则 ，1,c1, (1)(1,)mn设二面角 DAEB 的平面角为 ，则cos2| ，二面角 DAEB 的大小为 .2323
