矩阵对角化方法探讨99.doc

1、安 阳 师 范 学 院第 1 页矩阵对角化方法探讨摘 要： 本文利用矩阵的相关知识,研究了矩阵可对角化的若干方法.关键词： 可对角化;对角化方法;特征值;特征向量1 引言形式最简单的矩阵就是对角阵.矩阵对角化使矩阵论的重要组成部分,在矩阵论中占有重要的作用,研究矩阵对角化问题很有实用价值,矩阵对角化是线性变换和化二次型到主轴上问题中经常遇到并需要解决的一个关键问题,然而并非任何一个 阶矩阵都可以对角化.n本文利用矩阵的相关知识,如矩阵秩的知识,矩阵乘法原理,对一些理论进行应用和举例,介绍了矩阵对角化的四种方法,分别是一般方法;用矩阵初等变换将矩阵对角化的方法 ;利用矩阵乘法运算,探讨矩阵对角化

2、的方法;利用循环矩阵的性质寻找矩阵对角化的方法 .2 基本定义定义 1 设 是 阶方阵,如果存在数 和 维非零向量 ,使得AnnxAx则称 是矩阵 的一个特征值, 是 的属于 的一个特征向量.定义 2 设 为 阶方阵,称行列式Aijan11det nnaaI 为 的特征多项式,记为 ,而称 为 的特征方程. AF0A定义 3 阶方阵 称为可逆的,如果存在 阶方阵 ,使得 ,其中 是 阶nABAIn单位矩阵.定义 4 设 , 是 阶方阵,若存在 阶可逆矩阵 ,使得 ,则称 与 相似,BnP1B称为 的相似矩阵. B定义 5 如果数域 上 ,对 级矩阵 存在一个可逆矩阵 使 为对角形矩阵,则PAT

3、称矩阵 在数域 上可对角化;当 可对角化时,我们说将 对角化,即指求可逆矩阵 使A T为对角形矩阵. 1T3 矩阵对角化的几种方法3.1 一般方法几个定理.1定理 阶方阵 相似于对角矩阵的充分必要条件是 由 个线性无关的特征向量,且1nAAn安 阳 师 范 学 院第 2 页当 相似于对角矩阵 时, 的主对角线元素就是 的全部特征值.AA推论 1 方阵 相似于对角矩阵的充分必要条件是 的属于每个特征值的线性无关的A特征向量个数正好等于该特征值的重数.定理 如果 阶方阵 有 个互不相同的特征值（即 的特征值都是单特征值）,2nn则 必相似于对角矩阵.求 阶方阵的特征值与特征向量的一般步骤.31第一

4、步：计算特征多项式 AI第二步：求出特征方程 的全部根 （重根按重数计算）,则 012,n就是 的全部特征值.12,n如果 为特征方程的单根,则称 为 的单特征根;如果 为特征方程的 重根,则称i iAi k为 的 重特征值,并称 为 的重数.iAkki第三步：对 的相异特征值中的每个特征值 ,求出齐次线性方程 的一i0iAIx个基础解系 ,则 就是对应于特征值 的特征空间的一个基,而12,iik 12,iik i的属于 的全部特征向量为 Ai（其中 为不全为 的任意常数）x1ic2iikc 12,iikc 0如果 阶方阵 相似于对角矩阵,则 的相似对角化的一般步骤如下: 3.1nAA第一步：

5、求出 的全部特征值 ;12,n第二步：对 的相异特征值中的每个特征值 ,求出齐次线性方程组 i0iAIx的一个基础解系,将所有这样的基础解系中的向量合在一起,假定这样的向量共有 个,它们n就是 的 个线性无关的特征向量 ;An12,n第三步：令矩阵 = ,则有 ,其中 是属于特征P12,n 1PAdiag12,n i值 的特征向量 .注意 的列向量的排列次序于与对角矩阵的主对角线元素i,i的排列次序相一致.如图 1 所示： 安 阳 师 范 学 院第 3 页图 1 阶方阵 的相似对角化过程nA应用实例3.14例 1 设矩阵=3214k当 取何值时, 相似于对角矩阵?在 可对角化时,求可逆矩阵 ,

6、使 成对角矩阵.kAAP1A解 先求 的特征值,由= I32143k1c203k= 012k13r210k= ，安 阳 师 范 学 院第 4 页得 的全部特征值为 .A123,1只有一个重特征值-1,故由定理 1 的推论, 可对角化 属于 2 重特征值-1 的线性无A关特征向量正好有 2 个 齐次线性方程组 的基础解系含 2 个解向量0Ix而矩阵3rI,rIA42400Ikk的秩为 1 当且仅当 ,故当且仅当 时 可对角化.0kA当 时,矩阵 为 = .kA32104计算可得 的对应于特征值 的线性无关特征向量可取为12，2,0,1,TT对应于 的特征值的特征向量可取为 .313故所求的可逆矩

7、阵可取为,P121,20n它使得 .1PAdiag1,注 当 有 个互不相同的特征值时, 必可对角化;当 有重特征值时, 可对角化:n AAA的属于每个重特征值的线性无关特征向量的个数正好等于该特征值的重数 对于 的每个重特征值 （设 的重数为 ）,矩阵 的秩为 .AiiikiIink3 用矩阵初等变换将矩阵对角化的方法2理论依据.1若矩阵 在数域 上可对角化,则有 上可逆矩阵 使 为对角形矩阵.于是PPT1AB的主对角线上的元素为 的全体特征值,并且可表示为BA,其中 为初等矩阵, .T12SQ i ,2is于是, ,又 也是初等矩阵,由初等矩阵与矩阵的初等变换1s 1i的关系,即知 相当于

8、对 施行了一次初等行变换与一次初等列变换.这里,我们称此1A安 阳 师 范 学 院第 5 页种初等变换为对 施行了一次相似变换. A显然,可对 施行一系列的相似变换化为 .B又由 （注：此处 表单位矩阵）可如下进行初等变换,则可将 化为对TI12SQ I A角形矩阵 ,且可求得B:,对 只施行相应的初等列变换.AI 对 施 行 一 系 列 相 似 变 换 TI当 不可对角化时,也可经相似变换化简 后,求得其特征值,判定它可否对角化.A类似地,可由 ,做如下初等变换,则可将 化为对角形矩阵 ,且可11sQ I AB求得 或由 求 的特征值,判定 可否对角化：TBA,对 只施行相应的初等行变换.I

9、 对 施 行 一 系 列 相 似 变 换 B1TI并且在施行相似变换时,不必施行一次行变换后接着施行一次列变换这样进行,可施行若干次行（或列）变换后再施行若干次相应的列（或行）变换,只要保持变换后,最后所得矩阵与 相似即可.用初等变换将矩阵对角化的方法3.2有 个特征单根的 阶可对角化矩阵的对角化方法1nn引理 1 设 是秩为 的 阶矩阵,且ArmnI 列 初 等 变 换 nrnmrBOP其中 是秩为 的列满秩矩阵,则矩阵 所含的 个列向量就是齐次线性方程组BrP的一个基础解系.0Ax证明 设 ,对 施以列的初等变换相当于右乘一 阶初等矩阵. P12,rm Am设 其中 是一个 阶可逆矩阵,

10、是一个 阶矩阵,令BPr是矩阵 的列向量.1,2rkr由 线性无关,且,rkP 0,A所以, 是方程 的 个线性无关的解向量.rmr xmr又 的秩为 ,则上述的 个向量正是该齐次线性方程组的一个基础解系.A引理 -矩阵 经列的初等变换可化为下三角的 -矩阵 ,且2fIB的主对角线上元素乘积的 多项式的根恰为 的所有特征根.B A引理 令 是数域 上一个 阶矩阵,如果 的特征多项式在 内有 个单根,那么3APnPn安 阳 师 范 学 院第 6 页由特征列向量构成的 阶可逆矩阵 ,使 .nT121nA定理 1 如果数域 上的 阶矩阵 的特征多项式 在 内有 个单根,则 可通PFPA过如下步骤对角

11、化:设 ,且 .fIABfI 列 初 等 变 换其中 为下三角矩阵,则 主对角线上全部元素乘积的 多项式的全部特征根BB为 的全部特征根,对 的每一特征根 , 中零向量所对应的 中的列向量是属于Aii iP的全部线性无关的特征向量.把属于 的特征向量作为列向量组合构成矩阵 ,使 ii T.121nTA证明 易知 中非零向量的列构成列满秩矩阵,由引理 1,2 及引理 3 知结论成立.iB例 1 设 = .A14203问 是否可对角化? 若 可以对角化 ,求可逆矩阵 ,使得 成对角形.AT1A解14203010fI 列 初 等 变 换 200443131200 .224831150493 BP安

12、阳 师 范 学 院第 7 页由 解得 的特征值 ,此时 3 阶矩阵 有 3 个不同的单根,故0BA123,5,A可对角化.当 时, 的零向量对应 中的列向量 是属于 的特征向量.111P1,0T1同理可知 的属于 的特征向量分别是 和 ,可得A235,2,2T,使得 .012T15TA有重特征根的可对角化矩阵的对角化方法2对存在重特征根的矩阵同样可用上述方法,只是此时 中非零向量可能不构成列满iB秩矩阵,需将上述方法加以改进.我们先看引理 4 设 是数域 上一个 阶矩阵, 可对角化的充要条件是APnA的特征根都在 内;i对于 的每一特征根 ,秩 ,这里 是 的重数.Is再由引理 2,可知要判断

13、 是否可对角化只需考察 的秩,并可得对角化步骤如下:AiB定理 2 设 （ 是数域 一个 阶矩阵）,则fIPn,fI 列 初 等 变 换其中 是下三角矩阵,且 主对角线元素乘积而得的 多项式的根恰为 的特BB A征根.若 的特征根都在 内, 可对角化的充要条件是：对 的每一特征根 ,秩iAPAAiiB,这里 是 的重数;nsi若 可对角化,对 的每一特征根 ,若 中非零向量构成列满秩矩阵,则i iiB的零向量对应的 中的列向量是属于 的全部线性无关的特征向量,可组合而得iBiPi,使 成对角形.否则继续施以列的初等变换： ,使T1A i iBpP 列 初 等 变 换中非零向量构成列满秩矩阵,由

14、 可得属于 的全部线性无关的特征向量. i iPi安 阳 师 范 学 院第 8 页证明由引理 1,引理 2 的证明及引理 4 可得.例 2 设（1） (2) 01,A321.6B问 , 是否可对角化? 若可以对角化 ,求可逆矩阵 ,使 成对角形.BT1A解 ,1 210102210100fIBP得 的特征根 （二重根）,A12.由于秩 秩 ,秩 秩 ,1B0132B01231故 可对角化.A因 的非零向量不构成列满秩矩阵,需继续进行列的初等变换：1.102012BP1002BP此时 的非零向量构成列满秩矩阵,可得 的全部线性无关的特征向量是1B1和 ,同理可得属于 的线性无关的特征向量是1,0

15、2TT20,1.T从而 使 .01,21AT1安 阳 师 范 学 院第 9 页2 232102461010013fI .2214801BP由 得 的特征根 （二重）, 易判断 可对角化,280,B1224,B属于 的特征向量是 和 ,属于 的特征向量是 ,从而 1,1T,23T1,3T使 .02,3T1A4上述方法与传统方法比较显然具有优越性,但对于结果较多的矩阵,计算量仍然很大,可利用计算机采用此方法求解.3.3 利用矩阵的乘法运算,探讨矩阵对角化的方法.定理 1 设 是 在数域 上的全部互不相同的特征值.作多项式12,s AP则 在 上可以对角化的充要条件是2sg 0.gA注 对于阶数较低

16、的矩阵是否可以对角化,可以先求得所有互异特征值 ,再: 12,s验证是否有 0.A若 则 可以对角化;i 120,sIIAI若 则 不可以对角化.s A定理 2 设 是 在数域 上的全部互不相同的特征值.若12,s P则 的属于 的 的特征子空间是1 0sAIIAI i1,2s的列空间.1sjji安 阳 师 范 学 院第 10 页推论 1 设 是 在数域 上的全部互不相同的特征值,其重数分别为12,s AP且 若 可对角化.则矩阵 的列向量组中有对应于12,sN ,iNniW1sjjiAI的 个线性无关的特征向量 .ii 1,2is定理 3 设 是 在数域 上的全部互不相同的特征值.如果对每个

17、1,s AP都有 ,那么 这里记 的属于 的特征子空间为 ,而1,2is iiVW1jjiI0.AiiV的列空间为 .1sjjiAIi推论 2 设 是 在数域 上的全部互不相同的特征值,其重数分别为12,s AP则 与对角矩阵相似的充要条件是 的秩 1,sN iW1sjjiAIiirWN.,2i推论 3 若 阶可对角化矩阵 只有两个相异的特征值 （ 重）和 （ 重）,则nA1k2nk矩阵 （或 ）的 （或 ）个线性无关的列向量就是对应 （或 ）1IA2Ink 1的特征向量组的极大线性无关组.例 1 判断下列矩阵是否可以对角化,若可以,求可逆矩阵 ,使 成对角形.T1A3104,82A010.A

18、解 易知 的特征值是 (2 重根), 它们都在数域 中,尽管如此, 不能112,PA对角化,因为 .2AI305104488易求得 的特征值是 （2 重根）.2123,0由于安 阳 师 范 学 院第 11 页,02AIAI0121002102故 可以对角化.并且通过 ,02AI011002*可得 属于 的一个线性无关的特征向量,;T通过 ,02AI0121002*可得 属于 的一个线性无关的特征向量,;T通过 ,2AI210210202*可得 属于 的 2 个线性无关的特征向量 和0,0T0,2.T令 ,则 02,2T1TA.03.4 利用循环矩阵性质寻找矩阵对角化的方法基本循回阵相似于对角阵

19、3.41阶矩阵 称为基本循回阵.nP01000010 它满足于如下性质： knkI nPI安 阳 师 范 学 院第 12 页求出基本循回阵 的特征多项式：PI1000011 n因为特征多项式 有 个不同特征根：n所以,基本循回阵 相似于对角阵.2cosi0,21kkn P下面求出特征向量：取 1,knk则有 （因 ）, P01000010 1knk2k1nk从而 为特征根 对应的 的特征向量.1knkkP作矩阵：,T1232122213211nnnnnn 因为 为 行列式, 所以 可逆,则：TVadermoT010,jiijnT安 阳 师 范 学 院第 13 页.1TP1231n循回方阵相似于

20、对角阵3.42矩阵 称为循回阵, 可以由基本循回阵的多项式求出来：Q01212203130nncccc Q.210 ncIPP设： ,fx2101ncxcx1TQ 21nIP111021nncTPcTcT1231,nffff 所以循回阵可以对角化.任意 阶矩阵 可以对角化的充要条件是 相似于一个 阶循回阵34nAA证明 充分性 若 相似于循回阵.即存在可逆阵 使 ,但C1Q1TQ1231,nffff 所以 1TCA1TC安 阳 师 范 学 院第 14 页1231,nffff 即 相似于对角阵.A必要性 若 可以对角化,即存在可逆方阵 使得 .C1A12n用 次多项式 作一方程组如下：1nfx2

21、101nttxtx,即 121nff 0112101nnntttt 该方程组的系数行列式为 行列式,VadermoT1232122213211nnnnnn 010,jiijn从而由 法则知方程由唯一解.设阶为 则 次多项式为carme01,nc 1,fx201cxx取矩阵 ,其中 为基本循回矩阵,QfP2101ncIP P从而 为循回阵,且有 1CA2n安 阳 师 范 学 院第 15 页1231nffff 1TQ所以, 即 相似于循回阵 .AC1TQCAQ结束语3.4综上所述,复数域上的 阶矩阵,如果按相似关系分类后,含有循回阵的类可以对角化.n安 阳 师 范 学 院第 16 页参考文献【1】

22、 魏站线.线性代数要点与解题 陕西：西安交通大学出版社,2006.M【2】 高吉全.矩阵特征根与特征向量的同步求解方法探讨 数学通报,1991.12. .J【3】 张禾瑞,郝鈵新.高等代数 北京：高等教育出版社,1993.【4】 陈汉藻.矩阵可对角化的一个重要条件 数学通报,1990. 2.J【5】 周伯.高等代数 北京:人民教育出版社,1978.M【6】 王萼芳,石生明.高等代数 北京：高等教育出版社,2003About The Method of The Diagonalization of MatrixZhao Shuang-ling（Mathematics the method of diagonalization ; eigenvalues; eigenvectors