1、第七章 数列、算法数列的概念1数列：按 叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的 .数列可以看作一个定义域为 的函数，当自变量 从小到大依次取值时对应n的函数值为 ，它的图像是一些离散的点 .2通项公式：如果数列 的第 项与 之间的函数关系可以用一个公式来表示，这个nan公式就叫数列 ，即 .*(),fN3若 ，则 = ； 中数值最小的项是第 项.29,58nkS()na4根据下面各数列前几项的值，写出各数列的一个通项公式：（1） （2） （3） （4）,73,1; 468;,315 ,b85,5已知 ，对 成立，则 = .2123na *Nna6设 则 = .1,(),12,n 37已知 ，
2、 ，则 = ， = .12,0,1nnna5a201201S8已知 ，数列 的前 项和为 ，则使 的最小正整数 = .2lognannS5nn例 1已知正项数列 适合： ， （1）写出前四项并n22111,()0aa写出其通项公式；（2）当 时，试比较， 和 的大小.1logna12lna例 2 （1）已知数列 的前 项和 满足 ，求nanS2log()nna（2）已知数列 ， 求121,a例 3已知数列 的通项 ， （1）求 使 ；（2）是否存在正na9()0nnn1na整数 ，使当 时，恒有 ？若存在，试求 的最小值；若不存在，请说明理kNkak由.例 4 （备选题）已知函数 ， ，数列
3、满足6(3),7),xaf01a且 na*(),nafN（1）若数列 是递增数列，求实数 的取值范围；naa（2）当 时，是否存在正整数 ，使 成立；若存在，,m1212mmaa求出 的值；若不存在，说明理由.m等差数列1等差数列（1）定义： ，通项公式： ，前 项和公式 .n（2）判定方法定义法： ；等差中项法： （3）性质：设 为等差数列na若 ，则 .mpq 成 .232,mss2等差数列 中，已知 ，则 是 na15,4,3na3已知等差数列 的和= .:,4704已知数列 对任意的 满足 ，且 ，则 = .n*pqNpqqa2610S5等差数列 的前 项和为 ，且 对 恒成立，且an
4、S10nn，则正整数 = .2139mSm等差数列 的前 项和为 ， ，则 = .nn5364a6递增等差数列 ，前 项的和为 12，前 3 项的积为 48，则它的首项为 .na37等差数列 前 12 项和为 354，前 12 项中偶数项的和与奇数项的和的比为 ，32:7则公差为 .8已知等差数列 中， ，若 最小，则 的值为 .na254SnS例 1在等差数列 中， （1） ，求 ；650,sna（2） ，求 ；46802102（3） ，求 ；94,3nnsa（4） 求1010S10S例 2设等差数列 前 项和为 ， ， （1）求公差 的取值范nanS3123,0,aSd围.（2）指出 中哪
5、个最大，并说明理由；（3）指出 中哪个最121,S 121,sa大，并说明理由.例 3已知数列 的前 项和 满足 .（1）求常数 的值；（2）求nanS2,npap证： 是等差数列.n例 4 （备选题）设无穷等差数列 的前 项和为 ：（1） ，求满足nanS13,2ad的正整数 ；2()kSk（2）求所有的无穷等差数列 ，使得对于一切正整数 都有 .n k2()kS等比数列1等比数列（1）定义 ；通项公式 前 n 和公式 .（2）判定方法定义法： ；等比中项法： .（3）性质：设 为等比数列na若 ，则 .mkl当 时， 成 .1q232,mmss2已知等比数列 的前 3 项依次为 且 ，则
6、= ， = .na1,5a1annS3已知数列 前 项和为 ，对任意的正整数 ，都有1,2nS,m且成立，则 = .mnnSa4设等比数列 前 项和为 ， ，则 = .n162,3S4a5设 为等比数列 的前 项和，则常数 的值等于 .n6已知各项为正数的等比数列 ， ，则 = .na1237895,104567设 是等比数列，则“ ”是“数列 是递增数列”的 条na1na件.8已知等比数列 中 ，则其前 3 项的和 的取值范围是 .n2a3S例 1在等比数列 中，（1）若 ，求 ;134650,na（2）若 ，公比 为整数，求 ;87212aaqnS（3）若 ，求 的值.4,S8920例 2
7、设有 个正数 ，其中 ，n12,na 3（1）若 组成等比数列，,3求和： ； 求证：12n 12na（2）若 ，求证： 是等比数列.211()()3)nnaaN na例 3设正项等比数列 的首项 ，前 项和为 ，且na12nnS（1）求 ；（2）求 的前 项和 .10202(),ssnanT例 4 （备选题）已知数列 是首项 ，公比 的等比数列，设na1331q，常数 ，数列 满足 .315lognnbat*tNncnnCab（1）求证： 是等差数列；b（2）若 是递减数列，求 的最小值；（取 ）nct31.42（3）是否存在正整数 ，使 重新排列后成等比数列？若存在，求 的值；k12,kk
8、c ,kt若不存在，说明理由.等差数列与等比数列（1）1已知 ，则 的前 11 项和为 .122,nnnaSa nS2首项为 的等差数列，从第 10 项起开始为正数，则公差 的取值范围是 .4 d3等差数列 中， ，则nc123456789100,aa= ；121345aa4已知正项等比数列 的前 项和为 ， ，则公比 的取值范围为 .nnS21nSq5已知 是数列 的前 项和，且 ，则 = .nS223naa6已知等比数列 的公比为 ，前 项和为 ，且 成等差数列，则 = .naqn12,n7设 ，其中 成公比为 的等比数列， 成公差为127 1357,aq46,1 的等差数列，则 的最小值
9、是 ；则 的最大值为 .qq8设 是公比为 的等比数列， ， .若数列 有连续四项在集合na|1nbanb中，则 = .53,29,786例 1一个等比数列有三项，如果把第二项加上 4，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上 32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列.例 2数列 中， 是它的前 项和，且 .nans1142,nsa（1）设 ，求证：数列 是等比数列；12bb（2）设 ，求证数列 是等左数列；（3）求数列 的通项公式及前 项ncncnn和公式.例 3已知数列 为等差数列，公差 中的部分项 恰成na0,nda123,nkkkaa 等比数列，其中
10、.求 .123,5,17kk2k例 4如图， 个正数排成 行 列方阵，符号 表示位于2nn(1,)yainjijN第 行第 列的正数，已知每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，且各列数的ij公比都等于 ，第 .q12432,aa求（1） ；（2）求 .,ij n等差数列与等比数列（2）1等差数列 中， ，则前 项和 的最小值为 .na1583,annS2等比数列 中，已知 ，则此数列的前 17 项之积为 .923各项都是正数的等比数列 中，公比 ，且 ，则nq30123a的值为 .6930a4已知一个等比数列首项为 1，项数是偶数，其奇数项之和为 85，偶数项之和为 170，则这个数列的
11、公比为 项数为 .5已知 ，等差数列 的公差为 2，若 ，则()2xfna246810()4faa= .2110log()af6右图是第七届国际数学教育大会（ICME-7 ）的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的，其中，它可以形成近似的等角螺线。123781OAA记 所组成的数列为 （ ，8, na*,18)Nn则数列 的通项公式为 ；如果把图中的直角三角形继续作下去，那么 的长na 208OA为 .7数列 中， ，若存在常数 ，使得数列 为等差数列或等n112,2nnappna比数列，则数列 的通项公式 = .8已知三个实数 成等比数列，则公比= .842log3,l,log3例 1已知
12、数列 的各项都为正数，记na，232341(),()nAnBa 45,nC （1）若 ，且对任意 ，三个数 组成等差数列，求12,a*N(),()ABnC数列 的通项公式；n（2）证明：数列 是公比为 的等比数列的充要条件是：对任意的 三个数nq *N组成公比为 的等比数列.(),()ABC例 2已知 是首项为 ，公差为 的等差数列， 是首项为 ，公比为 的等比数nabnba列， 、 ，且*bN123a（1）求 ；（2）若存在 、 使 ，求 ；mnnb（3）若至少存在两个不同的 ，使得 成立，求 的最小值.*()mnatbNt例 3设等比数列 的前 项和为 .已知 .nanS*12()naS（
13、1）在 与 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列.1 nd求证： ；*1235()16nNdd在数列 中是否存在三项 成等比数列（其中 成等差数列） ，若n,kp,mkp存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由.例 4 （备选题）已知数列 前 项和na8,3,2nnnSasba（1）求证：数列 是等差数列；b（2）求数列 的最大项；n（3）求证：对于任意给定的实数 ，一定存在正整数 ，使得当 时，不等式knk恒成立.nsb数列的通项1等差数列通项 = ，等比数列通项 = .nana2 （1）设 ，则数列 的通项公式 .121, (2)nnaana（2）若数列 满足 ，则 = .
14、 n2,30n3已知数列 的前 项和为 .若 ，则正整数 的最a7,1nSpa12kak小值为 .4已知 ，则 = ， ，则 = .12,nna211,nnna5已知 ，则 = .1na6已知 ，则 = .,n n7正实数集合 满足： 当且仅当 是整数（其中 表示 的小数部分）.Mx2xx中的元素按照从小到大顺序，得到数列 ，则 = .na2018设 为部分正整数组成的集合，数列 的前项 ，前 项和为 ，已知对任意nnS整数 属于 ，当 时， 都成立.设 ，则knk()nknkSS21,Ma的值= .5S例 1 （1）已知各项均为正数的数列 的前 项和为 ，且nan成等比数列，求 的通项公式；
15、*2496(),nnaNa（2）设数列 前 项和为 ， （1）设 ，求11,3nnnSS3nnbS的通项公式；（2）求 .nba例 2 （1）已知数列 中，na1211,(),(2,0)nnaqaq（）求证 为等比数列；（）求 .1（2）已知数列 的前 项和为 ，且 ， ，求通项 .nnS2n1na例 3 （1）已知数列 满足 ，求 ；na11,3nana（2）已知 ，数列 满足 ，求 通项公式.3()xf11(),2nfna例 4 （备选题）已知 是一个公差不为零的等差数列， .na56a（1）当 时，若自然数 满足 ，且3212,tn 12tnn 是等比数列，试用 表示 .1235,tnn
16、a t（2）若存在自然数 满足 且12,t 125t 构成一个等比数列.求证：当 是整数时， 必为 12 的正约数.1235,tnna 3a3a数列求和1常见的几个数列前 项和：n= ； = ;23 11234()n； = .21n 32已知等差数列 的前 和为 ，若 ，且 、 、 三点共线anS319OBaACB（该直线不经过原点 ） ，则 = .O2033已知 则数列 的前 19 项的和= .251,na为 奇 数 ,为 偶 数 na4 = .134()5设 ，数列 的前 项和为 9，则 = .1nanan6已知函数 ，则 的值为 .4()2xf 12100fff7 ,（其中 是不为 0
17、的常数，且 ）1nnnabb *,nNabab8已知 ，则 = .211113,(),44n nnasaa 54nsa例 1已知数列 的首项 ，通项 ，且x3*(,nxpqNp为 常 数 )成等差数列，求：（） 的值；（）数列 的前 项的和 的公式.45,x,pqnxnS例 2已知数列 的奇数项是公差为 的等差数列，偶数项是公差为 的等差数列，na1d2d是数列 的前 项和， .ns12,a（1）若 ，求 ；5456,s0（2）已知 ，且对任意 ，有 恒成立，求证：数列 是等18*nN1nana差数列；（3）若 ，且存在正整数 ，使得 .求当 最大时，121(0)d,()mmna1d数列 的通
18、项公式.na例 3一个三角形数表按如下方式构成：第一行依次与上 个数，在上一行的每相(4)n邻两数的中间正下方写上这两数之和，得到下一行，依此数推.记数表中第 行的第 个数ij为 .(,)fij(1,),2(1,)(,)23,(,1)fffnffffn （1）若数表中第 行的数依次成等差数列，求证：第 行的数也依次(1)i1i成等差数列；（2）已知 ，求 关于 的表达式；(,)4fj(,)fii（3）在（2）的条件下，若 ，试求一个函数 ，1,1(),iiifiab()gx使得 ，且对于任意的 ，均存在实数 ，21(1)()3ni nSbgbg 1(,)43m使得当 时，都有 .nSm例 4
19、（备选题）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，其中常nanS*2,npaN数 .2p（1）证明：数列 为等比数列；1n（2）若 ，求数列 的通项公式；23aa（3）对于（2）中数列 ，若数列 满足 在 与nnb*2log(1),nnaNkb之间插入 个 2，得到一个新的数列 ，试问：是否存在正整数 ，使1kb1*()kNcm得数列 前 项的和 ？如果存在，求出 的值；如果不存在，说明理由.ncm01Tm数列通项与求和1 .22235(1)n2等比数列 中， ，若 ，则 = .a21()nTaa 12,4TnT3等比数列 中， ，数列 满足 ， （ 为常数） ，且 ，则n1nb1nba= ；数列
20、 的前 项和 = .nns4设等差数列 的公差 不为 0， ，若 是 与 的前比中项，则 = .ad19adk1a2kk5已知两个等差数列 和 的前 项和分别为 和 ，且 ，则使得nbnnAB7453n为整数的正整数 的个数是 .nab6数列 满足 ，是首项为 1，公比为 2 的等比数列，则 = .na3211,na 10a7曲线 在 处的切线与 轴交点的纵坐标为 ，则数列 的前()yxynan项和公式为 .n8设函数 是公差不为 0 的等差数列，3()1,nfxa，则 = .127()()4faf 27a例 1已知各项均为正数的数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 ，满足nnS2nnT，
21、 ，其中 为常数.24()3nTpSp（1）求 的值及数列 的通项公式；na（2）是否存在正整数 ，使得 成等差数列？若存在，指,()mk,nmka出 的关系；若不存在，请说明理由；,nmk若对于任意的正整数 ，都有 成等差数列，求正整数 的n12,xynn ,xy值.例 2若对于正整数 ， 表示 的最大奇数因数，k()gk.(1)32nnSg（1）求 ；2,S（2）求 ；（3）若 对一切 成立，求整数 的最小值.n121nAS *NA例 3已知等比数列的公比为 ，前 项和 ，对 恒成立.qn0s*nN（1）求 的取值范围；q（2）设 ，数列 的前 项和为 ，试比较 与 的大小.213nnba
22、nbnTnsT例 4：设数列 的各项均为正数.若对任意的 ，存在 ，使得 成na*nN*k22nknka立，则称数列 为“ 型”数列.kJ（1）若数列 是“ 型”数列，且 ；na228,1a2n求 a（2）若数列 既是“ 型”数列，又是“ 型”数列，证明：数列 是等比数列.3J4Jna数列的实际应用1 办公大楼共 23 层，现每层派一人集中到第 层开会，要使这 23 位参加会议的人员上k下楼梯所走路程的总和最少，求 的值.2某城市 2001 年末汽车保有量为 30 万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同，为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过 60 万辆，
23、那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？例 1从 5 月 1 日起，联合国救援组织向伊拉克难民运送食品，第一天运 1000 吨，以后每天增加 100 吨，日运送食品达到最大量后，逐日递减 100 吨，使全月运送量为 59300 吨，问在哪一天达到运送食品的量大量，最大量是多少？例 2 （1）某人欲从房产公司花 30 万元购置一套住房，房产公司提供 10 年期的分期付款方案，购房一年后第一次付款，两年后第二次付款，分 10 次等额付清房款，假定年利率为 3%，且按复利计算，试求此人每次应付的款及付款总额。（2）某地现有居民住房的总面积为 ，其中需要拆除的旧住房占了一半，当地有2am关部门决定从今年起
24、，每年年初拆除相同数量的旧住房，并在此基础上再以 10%的住房增长率建设新住房，年底交付使用，如果 10 年后该地区的住房总面积正好比目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房面积 应是多少？x10(.2.6)例 3从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入 800 万元，以后每年投入将比上年减少 ，本年度当地旅游业15收入估计为 400 万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加 （1）设 年内（本年度为第一年）总投入为 万元.旅游业总收入为 万4nnanb元，写出 和 的表达式（2）至少经过几年旅游业的总收入才
25、能超过总投入？nab例 4 （备选题）某公司全年的纯利润为 元，其中一部分作为奖金发给 位职工，奖金分bn配方案如下：首先将职工按工作业绩（工作业绩均不相同）从大到小，由 1 至 排序，第一位职工得奖金 元，然后将余额除以 发给第二位职工，按此方法将奖金逐一发给每位bnn职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金.（1）设 为第 位职工所得奖金额，试求 ，并用 和 表示()kak23,a,knb（不必证明）k（2）证明 ，并解释此不等式关于分配原则的实际意义；1(,21)kn（3）发展基金与 和 有关，记为 求 .nb(,pb()n数列小结1数列 的一个通项公式可以是 .,23456,78910,
26、2设数列 的通项公式为 ，则使 的值为整数的正整数 的个数为 .na23nanan3 是等差数列 的前 项和，已知 ，则 的S66,324,1()nSS值为 .4如果等差数列：（1）4，7，10， （2）5，9，13，均为 100 项，则它们中相同项的项数为 .5设 为数列 前 项的和，若不等式 对任何等差数列 及任何正nSna21nsana整数 恒成立，则 的最大值为 .6数列 的通项公式 则 前 项和等于 .na1,2,na为 奇 数 ,为 偶 数 na107设 ，且 ，当 时，恒有 ，则实数 的2n1234581naa取值范围是 .8各项均为正偶数的数列 中，前三项依次成公差为 的等差数
27、列，后1234,a(0)d三项依次成公比为 的等比数列.若 ，则 的所有可能的值构成的集合为 .q18q例 1设 、 满足 ，若 为等差数列，nab1236,4,aba1na为等比数列， （1）求 ；（2）求证： ，恒有 ；（3）nbn N5b是否存在 ，使得 ？若存在求 ，不存在说明理由.*kN(0,)kk例 2由原点 向曲线 引切线，切点为 不同于 ，O32()(0)fxax1(,)pxyO再由 引曲线的切线，切点为 ，不同于 ，如此继续下去，得到点列1p2,)py1p.(,)nxy（1）求 ；1（2）试用 表示 ；nxn（3）令 为 的前 项和，若 恒有 ，求 的取值|,baTnbnN2
28、nTa范围.例 3设数列 的通项公式为 .数列 定义如下：对于正整na*(,0)napqNpnb数 ， 是使得不等式 成立的所有 中的最小值.mbm（1）若 ，求 ；1,23pqb（2）若 ，求数列 的前 2m 项和的公式；n（3）是否存在 和 ，使得 ？如果存在，求 和 的取值范围；*2()mNpq如果不存在，请说明理由.例 4 （备选题）设数列 的所有项都是不等于 1 的正数，前 项和为 ，已知点nx nnS在直线 上（其中，常数 .(,)nPxSykb 0.50,),logkyx且 又（1）求证：数列 是等比数列；nx（2）如果 ，求实数 的值；183ny,kb（3）如果存在 ，使得点
29、都在直线 上，试判断；是否*,tsNt(,),stty和 21yx存在自然数 ，当 恒成立？若存在，求出 的最小值；若不存在，请说明M,1nx时 M理由.算法1某地区为了解 7080 岁老人的日平均睡眠时间（单位：h） ，随机选择了 50 位老人进行调查。下表是这 50 位老人日睡眠时间的频率分布表。序号（i）分组（睡眠时间）组中值（ ）iG频数（人数） 频率（ ）iF1 4,54.5 6 0.122 65.5 10 0.203 ,76.5 20 0.404 87.5 10 0.205 ,98.5 4 0.08在上述统计数据的分析中，一部分计算算法流程图，则输出的 的值是 .S2 （1）运行如
30、下左图所示程序框图后，输出的结果是 .（2）运行如下右图的算法，则输出的结果是 .（3）如图的程序框图，能判断任意输入的正整数 的奇偶性，其中判断框内的条件是 .x3下左程序执行后的结果是 .4当 时，上右程序段输出的结果是 .3x5在下左图的空档上填上适当的内容，完成一个求五个数平均数的算法. 6给出上中流程图，该流程图的输出结果是 .7给出上右流程图，输入的自然数 ， 分别为 、 时，输出值为 1.ab例 1图 1 是某县参加 2008 年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形图表示学生人数依次记为 、 、 （如 表示身高（单位：cm）在 内的人数。图A210 2A150,2 是统计图
31、 1 中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图。现要统计身高在160180cm（含 160cm，不含 180cm）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是 .例 2某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中 4 位居民的月均用水量分别为（单位：吨） 。根据图 2 所示的程序框图，若分别为 1，1.5，1.5，2，则输出的结果 为 .s例 3下图是一个算法的流程图，则输出 的值是 .S例 4 （1）下面是一个算法的伪代吗，如果输入的 值是 20，则输出的 值是 .xy（2）计算 算法，图中给出了程序的一部分，则在横线上能填357913则在横线上能填入的数是 .（3）对于所给的算法中，执行循环的次数是 .（4）下面这段伪代码的功能是 .（5）为了在运行下面的程序之后得到输出 ，键盘输入 应该是 .16yx（6）已知有上面程序，如果程序执行后输出的结果是 11880，那么在程序的“条件”应为 .例 5 （1）下左图是一个算法的流程图，最后输出的 = .x（2）在可行域内任取一点，规则如下右图流程图所示，则能输出数对 的概率是 .(,)xy
