1、第十三章 气体动理论13-1 真空设备内部的压强可达到 1.01310-10 Pa，若系统温度为 300K，在此压强下，气体分子数密度为多少？ 解： m-3 102310.45.8kTpn13-2 2.010-2 kg 氢气装在 2.010-3 m3 的容器内，当容器内的压强为 3.90105 Pa 时，氢气分子的平均平动动能为多大？ 解: 根据公式 p= ,可得kn32J522233.901.94106k 13-3 体积为 1.010-3 m3 的容器中含有 1.011023 个氢气分子，如果其中压强为1.01105Pa，求该氢气的温度和分子的方均根速率。解: 由理想气体物态方程可得氢气温度
2、为：T=p (nk)=p V (Nk)=72.5K氢气分子的方均根速率为：s-122 2H3R/9.510vM13-4 一容器内贮有氧气，其压强为 1.01105 Pa，温度为 27.0，求：（1）气体分子的数密度；（2）氧气的密度；（3）分子的平均平动动能；（4）分子间的平均距离（设分子间均匀等距排列） 。解： （1）气体分子的数密度n=p / (kT)=2.441025 m-3（2）氧气的密度=m / v=p M / RT=1.30 kgm-3（3）氧气分子的平均平动动能=3kT / 2=6.2110-21Jk（4）氧气分子的平均距离= =3.4510-9 md31n（本题给出了通常状态下
3、气体的分子数密度、平均平动动能、分子间平均距离等物理量。 ）13-5 某些恒星的温度可达到 1.0108 K，这也是发生核聚变反应（也称热核反应）所需要的温度，在此温度下的恒星可视为由质子组成。问：（1）质子的平均动能是多少？（2）质子的方均根速率是多大？ 解： (1) 质子的平均动能 215/3.07JkmvT（2）质子的方均根速率为 162s.813-6 质点在地球引力作用下所需的逃逸速率为 ，其中 r 为地球半径， （1）2vg若使氢气分子和氧气分子的最概然速率与逃逸速率相等，它们各自应有多高的温度；（2）说明大气层中为什么氢气比氧气要少（取 r=6.40106 m） 。解： 分子的最概
4、然速率为 mMRTv2 p依题意有： T= grm2对氢气： T= K10.58.3120649. 436对氧气： T= .253613-7 图中 I、两条曲线是两种不同气体（氢气和氧气）在同一温度下的麦克斯韦分子速率分布曲线，试由图中数据求出：（1）氢气分子和氧气分子的最概然速率；（2）气体的温度。分析： 由 vp= 可知，在相同温度下摩尔质量较大的气体。其最概然速率较m2RT/M小。由此可断定图中曲线所标 vp=2.010-3ms-1 对应于氢气分子的最概然速率，从而可求出该曲线所对应的温度，氧气的最概然速率即可求得。解： （1）氢气分子和氧气分子的最概然速率氢气分子的最概然速率为vp=
5、ms-13102.HRT/氧气分子最概然速率 vp= s-15.4v22P22O/M（2）气体的温度由 vp= 可得气体温度mRT/T=v Mm / 2R = 4.81102 K22000 V/(ms-1)f(v) 0习题 13-7 图III13-8 声波在理想气体中的传播的速率正比于气体分子的方均根速率，问声波通过氢气的速率与通过氧气的速率之比为多少？设这两种气体都为理想气体并具有相同的温度。解: 声波速率 u 与气体分子的方均根速率成正比，而在温度一定的条件下，气体分子的方均根速率与 成正比。设声速 u=A ，式中 A 为比例常量，则声波通过m1/Mm1/M氧气与氢气的速率之比为 22HO
6、41u13-9 在容积为 2.010-3 m3 的容器中，有内能为 6.75102 J 的刚性双原子分子理想气体， （1）求气体的压强；（2）若容器中分子总数为 5.41022 个，求分子的平均平动动能及气体的温度。解： （1）气体压强由 E = 和 pV = 可得气体压强mR2iTMmTp = 2E /（iV）= 1.3510 5pa（2）气体分子的平均平动动能为7.5010-21J3kN气体的温度T = p/nk = pV(Nk) = 3.62102 K13-10 某气体系统速率分布规律为： ) (002FvdvAN式中 A 为常量。 （1）画出速率分布曲线；（2）用 vF 表出常量 A；
7、（3）求气体的最概然速率、平均速率和方均根速率。解： （1）速率分布曲线如图所示。（2）根据归一化条件应有13F2vAdNvF00则 A= 3F（3） 的最大值所对应的速率为 vF。2vNd则vp = vFvvFN/dNO而 F2vAdv43Fv0202vF25则 vrms= F313-11 目前实验室获得的极限真空约为 1.3310-11 Pa，这与距地球表面 1.0104 km处的压强大致相等，试求在 27时单位体积中的分子数及分子的平均自由程（设气体分子的有效直径 d=3.010-8 cm） 。解: 由理想气体物态方程 p=nkT 得分子数密度为n=p/kT=3.21109m-3分子的平
8、均自由程为 107.8d2/pkT可见,在该压强分子间几乎不发生碰撞。13-12 若氖气分子的有效直径为 2.5910-8 cm，问在温度为 300K，压强为 1.33102 Pa 时氖分子碰撞频率为多少？ 解： 由分析可得氖分子的平均碰撞频率=3.18106 s-1MRTkpdvnZ82213-13 如果理想气体的温度保持不变，当压强降为原值的 时，分子的平均碰撞频41率和平均自由程如何变化？解： 由公式知 ，当压强由 p0 降至 p0/2 时，平均碰撞频率变为Z200/P/又因 ，故当压强减半时，平均自由程变为p1/00 2/13-14 CO2 气体的范德瓦尔斯常量 a = 0.37Pa
9、m6 mol-2，b = 4.310 -5 m3 mol-1，当 0时其摩尔体积为 6.010-4 m3 mol-1，试求其压强。如果将其当作理想气体处理，结果怎样？解： 用范德瓦尔斯方程求解，其压强为p= a62P103.5mVabRT作为理想气体求解，则有 a6.78/p讨论：由计算可知， p,这正是因为在建立理想气体模型时，忽略了分子本身占有p的体积及分子间的引力所致。13-15 设一定质量的某种理想气体盛在半径为 R 的球形容器中，试根据分子动理论的观点推导出压强公式： p= nm = n 。312vk推导： 为简单计，假设所有分子均沿径向运动，分子间无碰撞，分子与器壁的碰撞为完全弹性
10、碰撞。设第 i 个分子速率为 vi，该分子与器壁碰撞一次施予器壁的冲量，根据质点的动量定理可知应为 2mvi，方向垂直于器壁向外。平均说来，该分子每通过距离 2R即与器壁碰撞一次，单位时间内该分子与器壁碰撞的次数为 vi/2R,施予器壁的冲量大小为RmIiii22单位时间内所有分子施予器壁的冲量大小为 Ni1vI2i分子施予器壁的冲量均匀分布在器壁上，器壁面积为 4R2，气体施予器壁的压强等于单位时间内气体分子施予单位面积器壁的冲量，则有24RSIpNi1mv2i knvmNvRNi 321423123 13-16 设系统有 N 个分子，试证明：无论分子速率分布规律如何，其方均根速率总不小于其
11、平均速率。证明： 设系统平均速率为 ，第 i 个分子速率为 vi，则总有vi(0)2而 22222i11(-)- 0NNii ivvvv即有 2表明方均根速率总不小于其平均速率，等号在所有分子速率均相等时成立。得证。习题 13-19 图0 v0 3v0VaN/ f (v)13-17 根据麦克斯韦速率分布律，求系统速率倒数的统计平均值 。1v解： dekTmvdekTmdvf() kTmk2 24)(41 233 00013-18 从麦克斯韦速率分布律出发，推导出分子按平动能 的分布规律：21vkTNdfekT/)(23-()(并由此求出分子平动动能的最概然值。推导： dvk2m4vfdkT23
12、)(而 21mvd代入麦克斯韦速率分布律，整理可得 kTNfekT/)(23-()(此即分子按平动能的分布规律。根据极值条件，应有 ，可得：0)df21)(2)(23- kTke/-使上式成立的动能即为最概然动能 ，易得：p2kp显然， ，这是由于此处所得 来源于分子动能分布律， 对应于单位1pmvpp动能间隔内 f（ ）的极值点， vp 对应于单位速率间隔内 f（v）的极值点, 动能分布函数的极值点所对应的速率与速率分布函数的极值点所对应的速率并不一致。13-19 有 N 个质量均为 m 的同种气体分子，它们的速率分布如图所示。 （1）说明速率分布曲线与横坐标所包围面积的意义；（2）由 N 和 vo 求 a 值；（3）求分子的最概然速率；（4）求分子的平均平动动能。解：（1）速率分布曲线与横坐标所包围面积表示系统的总分子数。（2）根据速率分布曲线下面积的物理意义，知：013a2Nv则 0a（3）分布曲线峰值点对应的速率即为最概然速率，故vp=v0（4）速率在 0 到 v0 间隔内的分子速率分布的直线方程为 0af()N而速率在 v0 到 3v0 间隔内的分子速率分布的直线方程为 03f()2v20320 13aNa12 0 mvdvmddfmv vvk 002
