1、第五节 着色问题定义 1. 图 的顶点着色(Verter Colouring)是给每个顶点赋予一种颜色，使得相邻顶点G的颜色不同，给图 进行顶点着色需要的颜色的最小值称为 的色数(Chromatic Number)，G记为 . 若 ，则称 是 -色的(-chromatic)；若 ，则称 是可 -)()( )(着色的(-colourable).例 1. 在下图中 ， ， . 注意 即为 ， 即为2)(1G3)(24)(3125111111111111111111v 1v 2v 1v 2u 1u 2G 1 G 2 G 3v 1v 2v 3v 4v 5u 1u 3u 4u 511u 21111111
2、1111下面讨论 的上界和下界，先给出下面的定义 .)(定义 2. 图 中两两不相邻的顶点组成的集合称为独立集(Independent Set)，用来表示 中最大独立集的元素个数. 图 中两两相邻的顶点构成的集合称为团)(Clique)，用 表示 中最大团的元素个数.)(G注记：（1）显然， 是可 -着色的当且仅当 是 个独立集的并. 特别的， 是可)(GVG2-着色的当且仅当 是二部图.（2） 且 （习题 1）.)(G)(n（3）对于完全图 有： . 但一般来说 可以远大于 . nnn)(G)(下面介绍一种构造任意色数的三角形无关图（即不含 为子图）的方法，这种方法归功于3Mycielski
3、,1955.定义 3(Mycielski 构造). 由简单图 产生一个以 为子图的简单图 . 从顶点集为G的图 开始添加顶点 和 ；添加边，使得 与v,.n21Gu,.n21iu中的顶点相邻， 与 中的所有顶点相邻.)(iGNu,例 1 中，以 2-色图 开始，进行二次 Mycielski 构造，分别得到 3-色图 和 4-色图1 2G. 下面的定理告诉我们可以构造一个色数任意大的图 且 .3 )(定理 1(Mycielski 1955). 由一个 -色三角形无关图 ，Mycielski 构造可得到一个-色三角形无关图 .1G定义 4. 图 称为 -临界的 (-critical)，如果 且)(
4、G1)(v.也即去掉 的任何一个顶点会使 的色数减少.)(Vv下面介绍 -临界图的一个重要性质.定理 2. 如果 是 -临界的，则 .G1)(证明：令 是 -临界的且 . 设 且 . 由于 是 -2)(GVv)(vdG临界的，故 .1)(v由于 ，故在对 着色的 种颜色中，存在一种颜色没有被 的至2dvG1v多 个邻接点使用，将这种颜色对 着色就得到 是 -着色的. 与 矛2 G)(G盾.推论 ：如果 ，则 至少有 个顶点的度数不小于 .)(1证明：如果 ，则 就有一个 -临界子图 H（删除 中不影响 的顶G )(点，直到不能继续为止）.由于 ，故 H 至少有 个顶点. 由定理 2，)(，所有
5、 H 至少有 个顶点的度数不小于 ，即这 个顶点在 中的度数1)(1G不小于 .推论 ： .1)(G证明：假设 ，即 ，与定理 2 矛盾. )(1)(G上述推论中的等号在 是完全图或奇环时成立，除这两类图之外，我们有下面的结论.定理 3(Brooks,1941). 如果 是连通图，并且 既不是完全图也不是奇环，则G.)(G习题：1. 证明： 且)()(n2. 下列各图是否可以 3-着色？确定它们的色数.gfedcabfedbacda1111111111b1e111111111111c111111111113. 新学期安排补考，下表是上学期考试不及格的情况.“”表示某门课不及格.学生 数分 高代
6、 解析几何 英语张三 李四 王五 赵六 陈七 问至少需要安排几场考试，使得这五个同学参加完所有的考试（注：每场考试一个学生只能考一门，但考场中的学生可以考不同的科目）4. 如果 的度序列为 ，则 .Gndd.21 1,minax1)(,.1idG5. 图 的边着色是指将颜色赋予 的边，如果相邻边的颜色不同，则称这种边着色为正常边着色(proper edge colouring). 边色数记为 ，是对 进行正常边着色所需要)(的最小颜色数量. 证明： .举例说明某些图可以取到下界 .)()(G 证明：对于完全图 ， ；对完全图 ，有12n12)(1nn2（因此对于任意完全图 ，有12)(n. 这个结果不是偶然的，因为更强的一个结果nnnn1)()(1)( (Vizing 定理) 是：对任意图 ， ）G1)()(G 证明：如果 是二部图，则 (Konig,1916).
