1、键入文字1立体几何常见证明方法与体积计算张振荣 2016.3.22 整理1、线线平行利用相似三角形或平行四边形利用公理 4：平行于同一直线的两条直线互相平行线面平行线线平行即/all面面平行线线平行即 ba/垂直于同一平面的两条直线平行即 bab/2、线线垂直两条直线所成角为 90（勾股定理） ；线面垂直线线垂直即 bab三垂线定理及其逆定理三垂线定理： lAClB三垂线逆定理： ll两直线平行，其中一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于这条直线。3、线面平行定义：若一条直线和一个平面没有公共点，则它们平行；线线平行线面平行若平面外的一条直线平行于平面内的一条直线，则它与这个平面平行。即 /a
2、b面面平行线面平行若两平面平行，则其中一个平面内的任一条直线平行于另一个平面。al键入文字2即 /a4、线面垂直线线垂直线面垂直若一条直线垂直平面内两条相交直线，则这条直线垂直这个平面。即 aOcba,面面垂直线面垂直两平面垂直，其中一个平面内的一条直线垂直于它们的交线，则这条直线垂直于另一个平面。即 alal,两平面平行，有一条直线垂直于垂直于其中一个平面，则这条直线垂直于另一个平面。即 ll/两直线平行，其中一条直线垂直于这个平面，则另一条直线也垂直于这个平面。即 ba/5、面面平行线面平行面面平行若一个平面内两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行。即 /,/Oba平行于同一平面
3、的两个平面平行即 /垂直于同一条直线的两个平面平行即 /l6、面面垂直依定义，二面角的平面角为 90； alaa键入文字3练习：1、设 a,b,c 是空间三条不同的直线， ， ，是空间三个不同的平面，给出下列四个命题：若 ，则 ；若 ，则 ；,ababA,A若 ，则 ；若 是 在 内的射影， ，则 .cbac且 ab其中正确的个数是 A 1 B 2 C 3 D 45. 已知直线 、 与平面 、 ，下列命题正确的是 （ ）mnA 且 ，则 /,/nm/B 且 ，则/,nmnmC 且 ，则D 且 ，则3. 已知 ， 为两条不同的直线， ， 为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）mnA B /
4、,/,/mnnC D / /（4）一个正方体的所有顶点都在同一球面上，若球的体积是 43，则正方体的表面积是 （A）8 （B）6 （C）4 （D）35已知直线 m,n 和平面 满足 ,则( ), ,amn或 或.n/.n. ,/.n61.(2009 年广东卷文)给定下列四个命题： 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； 垂直于同一直线的两条直线相互平行；. 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是 A和 B和 C和 D和 7设 ,是两个不同的平面， l是
5、一条直线，以下命题正确的是（ ）A若 ,l，则 B若 /,/l，则 l 键入文字4C若 ,/l，则 l D若 /,l，则 l5. 三视图侧视与正视 高相等 正视与俯视长相等 侧视与俯视宽相等1如图，三棱柱 ABCA1B1C1 的侧棱长和底面边长均为 2，且侧棱 1A底面 ABC，其正（主）视图是边长为 2 的正方形，则此三棱柱侧（左）视图的面积为 （ ）A 3BC 22. 已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸，计算这个几何体的表面积是 4 一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是 （A） 12 （B） 80 （C） 7 （D） 6
6、4 立体几何证明1、 （将线面平行转变为线线平行）：如图，在底面为平行四边形的四棱锥 中， ， 平PABCDAP面 ，且 ，点 是 的中点.ABCDPABEPD（）求证： 平面 ；/C（）俯视图44正视图 侧视图43键入文字55、 （将面面垂直转变为线面垂直）如图，四棱锥 PABCD的底面是正方形， PDABC底 面 ，点 E 在棱PB 上.（）求证：平面 AECDB平 面 ； （）9、如图，在长方体 中， ， ， 、 分别为 、 的中点1DCBAaA1B2EF1CD1A（）求证： 平面 ；DE（）求证： 平面 /FABDC1 111F键入文字610、如图所示，四棱锥 P-ABCD 底面是直角
7、梯形， 底面 ABCD，E 为,2,BADCABPPC 的中点。 PAADAB1。（1）证明： PADEB平 面 ；（2）证明： C平 面 ；（3）求三棱锥 B-PDC 的体积 V。11 如图所示，在棱长为 2 的正方体 中， 、 分别为 、 的中点1ABCDEF1DB（）求证： /平面 ；EF1（）求证： ；（）求三棱锥 的体积EFCBV112如图，四棱锥 PABCD 中， PA 平面 ABCD，底面 ABCD 是直角梯形，ABAD，CDAD，CD=2AB ，E 为 PC 中点(I) 求证：平面 PDC 平面 PAD；(II) 求证：BE/平面 PAD CDBFED1 C1B1AA1A BC
8、DEP键入文字7立体几何大题中有关体积的求法角度问题、距离问题、体积问题是立体几何的三大基本问题。以下是求体积的一些常用方法及有关问题。一公式法1正三棱柱的侧面展开图是边长分别为 2 和 4 的 矩形，则它的体积为 2.（2011 广东卷文 9）如图，某几何体的正视图（主视图） ，侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为（ ） A B434C D22练习3.一个几何体的俯视图是一个圆，用斜二侧画法画出正视图和俯视图都是边长为 6 和 4 的平行四边形，则该几何体的体积为_.4.一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积 与这
9、个球的体积之比为 来二、转换法当所给几何体的体积不能直接套用公式或套用公式时某一量（底面积或高）不易求出时，可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算求解，该方法尤其适用于求三棱锥的体积5 例 在边长为 的正方体 中， 分别是棱a1ABCDMNP，上的点，且满足 ，11ABD， 2， （如图 1） ，试求三棱锥 的体积2N134P1A6 练习（2013 年高考江西卷（文） ）如图,直四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中,AB/CD,ADAB,AB=2,AD= ,AA1=3,E 为 CD 上一点,DE=1,EC=3. 求点 B1 到平面 EA1C1 的距离2键入文字8APBCDH三、割补法
10、分割法也是体积计算中的一种常用方法，在求一些不规则的几何体的体积以及求两个几何体的体积之比时经常要用到分割法7 例已知三棱锥 ，其中 , ,ABCP4P2CB求：三棱锥 的体积。60AA8 练习 如图 2，在三棱柱 中， 分别为 的中点，平面 将三棱柱分成两部1ABCEF，BC，1EF分，求这两部分的体积之比9 练习。如图（3） ，是一个平面截长方体的剩余部分，已知 ，12,8,5,3,4CGBFAECB求几何体 的体积。HD10 四面体 的三组对棱分别相等，且依次为 ，ABCS 5,132求四面体 的体积。ABCSCDAHE BGF键入文字9ABCD1A1B1C1DEF图 3巩固练习11.
11、如图，在四棱锥 中，底面为直角梯形， ， 垂直于底面 ，ABCDP/,90ADBCPABCD分别为 的中点。NMADP,2P,(1) 求四棱锥 的体积 ；（2）求截面 的面积。VMN12. 如图, 在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中， AC3，BC4， ，AA 14，点 D 是 AB 的中点.5AB求多面体 的体积. C13. 如图 3，直四棱柱 的底面 是菱形，1DCBAA，其侧面展开图是边长为 的正方形。 、 分别是侧棱06ABC8EF、 上的动点， 1 FE问多面体 的体积 是否为常数？若是，求这个常数，若不1V是，求 的取值范围 VDCBA A1B1C1键入文字10FAECOBDMA
12、B CDA1B1 C1D1P14. 如图，已知 中， ， ， 平面 ， ， 、 分别BCD901CDBABCD60ABEF是 、 上的动点，且 AC)(AFE(1)求证：不论 为何值，总有 EF平面 ；(2)若 ，求三棱锥 的体积2115. 如图，已知 是底面为正方形的长方体， ， ，点 是 上的动1ABCD 160D141A点试求四棱锥 体积的最大值；1P16. 如图， 为圆 的直径，点 、 在圆 上， ，矩形 所在的平面ABOEFOEFA/和圆 所在的平面互相垂直，且 ， .2B1D设平面 将几何体 分成的两个锥体的体积分别为 ， ，求 CFACABDFVBEFABCDFVE:键入文字11
13、专题一：立体几何大题中有关体积的求法1-4 略5 解：111 3112133234AMNPANAMNVShANPaa67 解：作 的中点 ，连接 、 ，BCDPA过 作 ，垂足PAH易证 即为三棱锥 的高，BC由棱锥体积公式 HSVAP31即得 三棱锥 的体积 。42PBC8 设棱柱的底面积为 ，高为 ，其体积 hVh则三角形 的面积为 AEF14S由于 ，1 732BCV则剩余不规则几何体的体积为 ，17521AEFBCVShSh 所以两部分的体积之比为 1:7:5AEFBC9 首先通过梯形 的中位线重合，我们可以求得 ,HDG, 9DH键入文字12分别延长 到 ,使得 ,DHCGBFAE, ,BA17 DCBA则我们可得 故长方体 的体积是几何 体 的二倍。 8,5,9,12 HGFEEFGHABC故 07432121 DCBAEFGHABCDV10 把四面体 补形成一个长方体 ，SSCAB三度分别是 则 4,3 84321432FFSGCBEASV1112GBECSAFD键入文字1313141516键入文字14
