1、1统计复习回顾1.概率 （1 ）主要包括古典概型、几何概型、互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率。 （2 ）互斥事件的概率加法公式：P(AB)=P(A)P(B) ，若 A 与 B 为对立事件,则 P(A)=1-P(B)， （3）求古典概型的概率的基本步骤:算出所有基本事件的个数；求出事件 A 包含的基本事件个数；代入公式,求出 P(A)；(4) 理解几何概型与古典概型的区别，几何概型的概率是几何度量之比,主要使用面积之比与长度之比. 等可能性事件的概率 ()mPAn.互斥事件 A，B 分别发生的概率的和 P(AB)=P(A)P(B)n个互斥事件分别发生的概率的和 P(A1A 2A n)=
2、P(A1)P(A 2)P(A n)独立事件 A，B 同时发生的概率 P(AB)= P(A)P(B).n 个独立事件同时发生的概率 P(A 1 A2 An)=P(A1) P(A2) P(An)【例 1】若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为（ ）（A） 23 (B) 25(C) 35 （D ） 910【例 2】某小组共有 A，B，C，D，E 五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标( 单位：千克/米 2)如下表所示：(1)从该小组身高低于 1.80 的同学中任选 2 人，求选到的 2 人身高都在 1.78 以下的概率；(2)从该小组
3、同学中任选 2 人，求选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指标都在18.5,23.9) 中的A B C D E身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82体重指标 19.2 25.1 18.5 23.3 20.92概率【例 3】某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为 40 秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为（ ）（A） 710（B ） 58（C） 38（D） 310【答案】B【解析】因为红灯持续时间为 40 秒.所以这名行人至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为40158，故选 B.【例 4】假设你家订了一份牛
4、奶，奶哥在早上 6：007：00 之间随机地把牛奶送到你家，而你在早上 6：307：30 之间随机第离家上学，则你在理考家前能收到牛奶的概率是（ ）A B C. D81852187思路分析：几何概型的会面问题，准确作图利用面积作为几何测度是解决问题的关键，设送报人到达的时间为 ，此人离家的时间为 ，以横坐标表示报纸送到时间，以纵坐标表示此人离xy家时间，建立平面直角坐标系，根据其实际意义，转化为集合概型，概率即为面积之比，作图求面积之比即可【答案】D【解析】设送奶人到达的时间为 ，此人离家的时间为 ，以横坐标表示奶送到时间，以纵坐xy标表示此人离家时间，建立平面直角坐标系（如图）则此人离开家前
5、能收到牛奶的事件构成区域如图示，所以所求概率 ，故选 D8721P点评：对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和3位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法几何概型中，事件 A 的概率计算公式： P(A).构 成 事 件 A的 区 域 长 度 面 积 或 体 积 试 验 的 全 部 结 果 所 构 成 的 区 域 长 度 面 积 或 体 积 独立性检验利用随机变量 来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验。P（K 2k） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.
6、05 0.025 0.010 0.005 0.001k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【例 5】为了探究患慢性气管炎是否与吸烟有关，调查了 339 名 50 岁以上的人，调查结果如下表所示：患病 不患病 合计吸烟 43 162 205不吸烟 13 121 134合计 56 283 339试问：50 岁以上的人患慢性气管炎与吸烟习惯有关吗？分析：最理想的解决办法是向所有 50 岁以上的人作调查，然后对所得到的数据进行统计处理，但这花费的代价太大，实际上是行不通的，339 人相对于全体 50 岁以上的人，只是
7、一个小部分，已学过总体和样本的关系，当用样本平均数，样本方差去估计总体相应的数字特征时，由于抽样的随机性，结果并不唯一。现在情况类似，我们用部分对全体作推断，推断可能正确，也可能错误。如果抽取的 339 个调查对象中很多人是吸烟但没患慢性气管炎，而虽不吸烟因身体体质差而患慢性气管炎，能够得出什么结论呢？我们有 95%（或 99%）的把握说事件 与事件有关，是指推断犯错误的可能性为 5%（或 1%），这也常常说成是 “以 95%（或 99%）的概率”是一样的。解：根据列联表中的数据，得。 因为 ，所以我们有 99%的把握说：50 岁以上的人患慢性气管炎与吸烟习惯有关。【例 6】甲乙两个班级进行一
8、门考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计成绩后，得到如下的列联表：4班级与成绩列联表优秀 不优秀 总计甲班 10 35 45乙班 7 38 45总计 17 73 90利用列联表的独立性检验估计，认为“成绩与班级有关系”犯错误的概率是多少 解：由表中数据计算得 K2 的观察值为 k0.6530.455。由下表中数据P（K 2k） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001K 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828得：P(K 20.455)0.50，从而
9、有 50%的把握认为“成绩与班级有关系”，即断言“成绩优秀与班级有关系”犯错误的概率为0.5。【例 7】在一次恶劣气候的飞行航程中调查男女乘客在机上晕机的情况如下表所示，根据此资料你是否认为在恶劣气候中男人比女人更容易晕机？晕机 不晕机 合计男人 24 31 55女人 8 26 34合计 32 57 89分析：这是一个 列联表的独立性检验问题，根据列联表的数据求解。解：由条件中数据，计算得：，因为 ，所以我们没有理由说晕机是否跟男女性别有关，尽管这次航班中男人晕机的比例 比女人晕机的比例 高，但我们不能认为在恶劣的气候飞行中男人比女人更容易晕机。【练习】某工厂有 25 周岁以上(含 25 周岁
10、)工人 300 名，25 周岁以下工人 200 名为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了 100 名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25 周岁以上 (含 25 周岁) ”和“25 周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成 5 组：50,60)、60,70)、70,80)、80,90)、90,100分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图5(1)从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 人，求至少抽到一名“25 周岁以下组”工人的概率；(2)规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手” ，请你根据已知
11、条件完成 22 列联表，并判断是否有 90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附： 2nn11n22 n12n212n1 n2 n 1n 2P(2 k) 0.100 0.050 0.010 0.001k 2.706 3.841 6.635 10.828回归分析两个变量间的相关关系：有关概念：相关关系与函数关系不同函数关系中的两个变量间是一种确定性关系相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系如果一个变量的值由小变大时另一个变量的值由小变大，这种相关称为正相关；如果一个变量的值由小变大时另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关；如果散点图中点的分布从整体
12、上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系回归方程： ybxa是两个具有线性相关关系的变量的一组数据 12()()nyxxy， ， ， ， ， ， 的回归方程，其中 ab、 是待定参数 6ab、 的计算公式 1122()()nniiiii iixyxybayx .2独立性检验：22 列联表B B 合计A n11 n12 n1A n21 n22 n2总计 n1 n2 n构造一个随机变量 1222n，利用随机变量 2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验：若 23.841，则有 95%把握认为 A 与 B 有关；若 26.35，则有 99%把握认为 A 与 B 有关；其中
13、 2.是判断是否有关系的临界值， 2.841应判断为没有充分证据显示 A 与 B 有关，而不能作为小于 95%的量化值来判断【基本技能】1.必备技能：求回归直线，使“离差平方和为最小”的方法叫做最小二乘法，用最小二乘法求得回归方程ybxa是两个具有线性相关关系的变量的一组数据 12()()nxyxy， ， ， ， ， ， 的回归方程，其中 、 是待定参数从 ab、 与 r的计算公式 1122()()niiii ni iibxxay与1 122221 1()()()()n nii iin nii i iiixyxr y 7可以看出：()回归直线必过点 ,xy；() b与 r符号相同。回归【分析】
14、是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，主要判断特定量之间是否有相关关系，如果有就找出它们之间贴近的数学表达式。比如线性回归分析就是分析求出的回归直线是否有意义，而判断的依据就是|r|的大小：|r|1，并且|r|越接近 1，线性相关程度越强；| r|越接近 0，线性相关程度越弱。从散点图来看，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义。线性相关检验的步骤如下： ()作统计假设：x 与 Y 不具有线性相关关系 ;()根据小概率 0.05 与 n2 在附表中查出 r 的一个临界值 0.5r；（）根据样本相关系数计算公式求出 r 的值；（
15、）作统计推断，如果|r| 0.5，表明有 95%的把握认为 x 与 Y 之间具有线性相关关系；如果| r| 0.5，我们没有理由拒绝原来的假设。这时寻找回归直线方程是毫无意义的。【例 8】已知变量 和 满足关系 ，变量 与 正相关. 下列结论中正确的是（ xy0.1yxyz）A 与 负相关， 与 负相关 B 与 正相关， 与 正相关zxxzC 与 正相关， 与 负相关 D 与 负相关， 与 正相关xyx y【例 9】根据如下样本数据：3 4 5 6 7 8y40 25 .005 .203得到的回归方程为 ，则（ ）abxA ， B ， C ， D ，0aaba0b【例 10】一次考试中，5 名学生的数学、物理成绩如下表所示：学生 A1 A2 A3 A4 A5数学 x(分) 89 91 93 95 978物理 y(分) 87 89 89 92 93(1)要从 5 名学生中选 2 名参加一项活动，求选中的学生中至少有一人的物理成绩高于 90 分的概率；(2)请在所给的直角坐标系中画出它们的散点图，并求这些数据的线性回归方程 bxa.y 参考公式：回归直线的方程是 x ，其中y b a ， .b ni 1xi xyi yni 1xi x2 a y b x
