1、频率与概率、统计与概率一. 教学要求1. 会通过试验用频率来估计事情的概率。2. 会用画树状图、列表等方法求一个简单时间的概率。3. 体验通过抽样调查利用事物的部分来推断总体的过程，以及会用频率的平均数和已知量来估算未知量。4. 进一步发展统计意识和数据处理能力，增强数学应用意识和能力，进一步体会如何评判某件事情是否合算，并利用它对一些游戏活动的公平性作出评判。二. 重点及难点1. 会画树状图求事物的概率。2. 用样本的平均数估计总体的数量。3. 从统计图中尽可能多地获取信息并用图表表示，并在此基础上进行数据处理。三. 课堂教学知识要点知识点 1、用频率估计概率频率：在某一不确定事件中，考察对
2、象出现的次数与试验次数的比叫做频率。概率：一般地，在大量重复同一试验时，某事件的频率总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做这一事件的概率。知识点 2、利用树状图、列表法计算概率注意：在利用树状图或列表法求概率时，各种情况出现的可能性必须相同，若把可能性不同的情况当成可能的情况处理，则是错误的。如：抛掷两枚均匀的硬币，同时出现正面的概率。所以同时出现正面的概率是 41知识点 3、估计未知量的方法设已知事物出现的频率为 u，多次试验的频率为平均数 u，已知事物的数量为 u，未知事物的数量为 x，则 xa,例如，布袋里有 6 个白球（已知事物） 、若干个黑球（未知事物） ，随机取出一个
3、球放回再取，在 100 次中，共有 23 次取出的是白球，则 1023u（已知事物出现的频率） ，则x61023（x 表示黑球的个数） ，再做几次这样的试验，如果这几次频率的平均数为x6102， 则 ，求出的 x 就会更准确一些。知识点 4、不恰当的统计图可能引起一些人为误导。例如，如图所给出的是两种品牌的酒近年的价格变化比情况，哪一种酒的价格增长较快？这与图像给你的感觉一致吗，为什么图像给人这样的感觉？分析：如图，左图与右图相比，横坐标被压缩了，而纵坐标被放大了，因此直观上看甲种酒的价格增长快，其实不然。解：事实上，乙种酒的价格增长较快，因为 1993 年到 1997 年这 4 年期间，其价
4、格从40 元增长到 80 元，而甲种酒 1990 年到 1995 年以及 1995 年到 2000 年这两个 5 年间均仅增长了 10 元，这和图像给人的感觉不一致，原因在于两个图像中坐标轴上同一单位长度所表示的意义不一样，左图中价格增长 10 元看起来比右图中的 20 元还多，而年份增长 5 年看起来仅相当于右图的 2 年左右。注意：（1）为了较直观的比较两个统计量的变化速度，在绘制折线统计图时，两个图像中，坐标轴上同一单位长度所表示的意义应一致。（2）为了使所绘制的条形统计图更为直观、清晰，纵轴上的数值应从 0 开始。知识点 5、游戏活动的公平性游戏活动的公平性是指游戏双方获胜的可能性相同
5、。判断一个游戏是否公平，我们可以通过计算游戏双方获胜的概率来判断，如果游戏双方获胜的概率相等，那么这个游戏就是公平的，否则游戏就是不公平的。因为游戏规则是一个游戏公平与否的关键，所以当一个游戏不公平时，我们可以通过修改游戏规则使游戏公平。【典型例题】例 1、 （2006 宁波）同时抛掷两枚 1 元的硬币，菊花图案都朝上的概率是（ ）A. 2B. 3 C. 41D. 51分析：本题考查用树状图或列表法计算概率，分析如下，树状图：列表如下所示：答案：C例 2、 （2006 广东）牛牛和他的爸爸玩“锤子、剪刀、布”游戏，每次可以用一只手出锤子、剪刀、布三种手势之一，规则是锤子赢剪刀，剪刀赢布、布赢锤
6、子，若两人出相同手势，则算打平手。（1）你帮牛牛算算爸爸出“锤子”手势的概率是多少？（2）牛牛决定这次出“布”手势，牛牛赢的概率有多大？（3）牛牛和爸爸出相同手势的概率是多少？分析：（1）因为共有 3 种手势，所以爸爸出“锤子”的概率为 31（2）当牛牛出“布”手势时，爸爸可以出“锤子、剪刀、布”中的一种，根据规则可知只有当爸爸出“锤子”手势时，牛牛才会赢。故概率为1，对于（3）的回答需要画树状图分析：解：（1） 31(爸 爸 出 锤 子 ）P319()2相 同 手 势 ）牛 牛 赢 ）P例 3、盒子里一共有 8 个球，其中只有 3 个红球，随意从中摸出 2 个球，求出下面几种情况的概率：（1
7、）2 个球全是红球；（2）2 个球中至少有 1 个红球（3）2 个球中只有 1 个红球；（4）2 个球全不是红球。分析：如图所示，从 8 个球中取出 2 个球共有 28 种取法，其中全是红球有 3 种取法，所以 2 个球全是红球的概率为3，2 个球中至少有 1 个红球的有 18 种取法，所以至少有1 个红球概率为 1498，2 个球中只有 1 个红球的取法有 15 种，所以只有 1 个红球的概率为 25，2 个球全不是红球的取法有 10 种，所以 2 个球全不是红球的概率为 45280。解：2 个球全是红球的概率是 283，2 个球中至少有 1 个红球的概率是 149282 个球中只有 1 个
8、红球的概率是15，2 个球全不是红球的概率是50。例 4、箱子里有若干张扑克，从中取出 10 张作上记号，然后放回混匀，再随意抽出 10张，记下做标记的扑克的张数，如此反复 20 次，测得做过记号的扑克出现的频率的平均数为 0.25，那么箱内大约有多少张扑克？分析：直接代入： xau，其中 ,10,25.au先求出 x。解：43,0,1025. 所 以解 得所以扑克总数约为 40 张。例 5、 （2004 贵州）下面两幅统计图，反映了某市甲、乙两所中学学生参加课外活动的情况，请你通过图中的信息回答下列问题：图 1 图 2（1）通过对图 1 的分析，写出一条你认为正确的结论（2）通过对图 2 的
9、分析，写出一条你认为正确的结论（3）2003 年甲、乙两所学校参加科技活动的学生人数共有多少人？解：（1）1997-2003 年甲校学生参加课外活动的人数比乙校增长得快。（2）甲校参加文体活动的人数比乙校参加科技活动的人数多。（3）200038+110560=1423（人）例 6、 （2003 广州）如图所示，某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并规定，顾客每购买 100 元的商品，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红、黄或绿色区域，顾客就可以分别获得 100 元、50 元、20 元的购物券（转盘等分为 20 份） 。（1）甲顾客购物元，他获得转动转盘的机会
10、的概率是多少？（2）乙顾客购物 180 元，他获得转动转盘的机会的概率是多少？ 他得到 100 元、50元、20 元购物券的概率是多少？解：（1）因为 80100，所以甲获得转动转盘的机会的概率是 0（2）因为 100180200 所以乙获得转动转盘的机会的概率是 1。即得到一次转动转盘的机会 5120420(P352010(元 购 物 券 ）获 得 元 购 物 券 ）获 得 元 购 物 券 ）获 得【模拟试题】 （答题时间：70 分钟）一、填空题1. 在对 100 个数据进行整理的频率分布表中，各组的频数之和等于_，各组的频率之和等于_.2. 把一组数据分成 5 组，列出频率分布表，其中第
11、1， 2， 3 组的频率之和为 0.61，第5 组的频率为 0.12，那么第 4 组的频率为_.3. 观察图 1，回答下列问题.图 1（1）第_组的频率最小，第_组的频率最大.（2）各小组的频率之和为_.（3）如果第 5 组的频率为 0.1，那么第 4 组的频率为_.4. 设计一个方案，估算从 3 个男生和 4 个女生中选一个人去参加座谈会是男生的概率是_.5. 一个口袋中有 5 粒糖，1 粒红色，2 粒黄色，2 粒白色，今从中任取一粒，是白色的概率为_.6. 有 5 个零件，已知其中混入了一个不合格产品，现取其中一个，是正品的概率是_.7. 如图 2，通过试验估算，指针落在阴影部分的概率是_
12、.（阴影部分的扇形圆心角为 120）图 28. 在一个样本中，50 个数据分别落在 5 个组内，第一、二、三、五组的数据个数分别为2， 8， 15， 5，则第四组的频数为_，频率为_.9. 某车间甲班的 10 名工人加工零件，每人完成的件数分别是 13 13 16 16 19 21 19 17 19 17，求这班工人日产量的中位数和众数是 。10. 已知一个样本数据是 1 2 3 3 6，这个样本的方差是 。11. 绘制条形统计图时，纵轴上的起始值应从 开始。12. 填 写 完 成 下 表 ：年 收 入 （ 万 元 ） 0.6 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 9.7家 庭 户
13、数这 20 个 家 庭 的 年 平 均 收 入 为 _万 元 ；（ 1） 样 本 中 的 中 位 数 是 _万 元 ， 众 数 是 _万 元 ；（ 2） 在 平 均 数 、 中 位 数 两 数 中 ， _更 能 反 映 这 个 地 区 家 庭 的 年 收 入 水 平 .二、选择题1. 下列哪些事件是必然事件（ ）A. 打开电视，它正播放动画片B. 黑暗中从我的一大串钥匙中随便选出一把，用它打开了门C. 气温低于零摄氏度，水会结冰D. 今天下雨，小明上学迟到2. 我们探究概率主要是针对（ ）A. 必然事件B. 不可能事件C. 不确定事件D. 上述事件以外的其他事件3. 某学校有 320 名学生，
14、现对他们的生日进行统计（可以不同年） （ ）A. 至少有两人生日相同B. 不可能有两人生日相同C. 可能有两人生日相同，且可能性较大D. 可能有两人生日相同，但可能性较小4. 要了解全市中学生身高在某一范围内学生所占的比例，需知道相应的（ ）A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 频率分布5. 在统计中，样本的方差可以近似地反映总体的（ ）A. 平均状态 B. 波动大小C. 分布规律 D. 最大值和最小值6. 下图是甲、乙两户居民家庭全年支出费用的扇形统计图。根据统计图，下面对全年食品支出费用判断正确的是（ ）A. 甲户比乙户多 B. 乙户比甲户多 C. 甲、乙两户一样多 D. 无法确定哪
15、一户多三、解答题1. 一次数学竞赛，某校有 400 名学生参加，抽出 20 名学生的数学成绩如下：85 75 89 90 85 78 94 88 83 66 72 71 85 86 96 80 98 87 62 92（1）填写下面的频率分布表分组 频数累计 频数 频率60.570.570.580.580.590.590.5100.5合计（2）根据上表估计：全校 400 名学生中，成绩在 80 分以上的人数约为多少？占多大比例？2. 某鱼塘放养鱼苗 10 万条，根据这几年的经验知道，鱼苗成活率为 95%，一段时间后准备打捞出售，第一网捞出 40 条，称得平均每条鱼重 2.5 千克，第二网捞出 2
16、5 条，称得平均每条鱼重 2.2 千克，第三网捞出 35 条，称得平均每条鱼重 2.8 千克，试估计这塘中鱼的总重量.3. 已知一个样本25， 21， 23， 25， 27， 29， 25， 28， 30， 29， 26， 24， 25， 27， 26， 22， 24， 25， 26， 28， （1）列频率分布表，画频率分布直方图.（2）说明频率分布表中频率之和为什么等于 1？（3）根据频率分布表指出样本数据落在哪个范围内最多，哪个范围内最少？（4）样本数据落在 22.524.5 范围内的约占总数据的百分之几.4. 某班同学参加公民道德知识竞赛，将竞赛所得成绩（得分取整数）进行整理后分成五组，
17、并绘制成频率分布直方图（如图 3 所示） ，请结合直方图提供的信息，解答下列问题：图 3（1）该班共有多少名学生？（2）60.570.5 这一分数段的频数、频率分别是多少？（3）这次竞赛成绩的中位数落在哪个分数段内？（4）根据统计图，提出一个问题，并回答你所提供的问题.5. 每分钟的心跳次数也称为心率，心率与年龄之间有联系吗？和你的同学一起来参加对这个课题的研究吧！你们可以去图书馆或因特网上收集有关的文字资料，也可以去请教医务工作者，但是别忘记依靠自己的力量去做一些抽样调查.在开始抽样之前，先要明确以下几点：（1）将调查对象分哪几个年龄段，在每一年龄段中选取多少人参加调查.（2）对调查对象在健
18、康、性别、职业、生活条件等方面是否有要求？（3）对调查的环境，测量心率的方法等方面有怎样的规定？调查结束后写一份简短的报告，汇报一下你们是怎样开展调查的？得出了怎样的结论？有哪些证据，支持着你们的结论，所作的调查有没有影响结论真实性的地方？6. 甲、乙两人在相同的条件下各射靶 10 次，每次射靶的成绩情况如图所示.（1）请你填写乙的相关数据平均数 方差 中位数 命中 9 环以上的次数甲 7 1.2 7.5 1乙（2）请你从以下四个方面对这次测试结果进行评价.从平均数和方差相结合看（分析谁的成绩稳定些） ；从平均数和中位数相结合看（分析谁的成绩好些） ；从平均数和命中 9 环以上的次数相结合看（
19、分析谁的成绩好些） ；从折线图上两人射击命中环数的走势看（分析谁更有潜力）.7. 在青岛市政府举办的“迎奥运登山活动”中，参加崂山景区登山活动的市民约有12000 人，为统计参加活动人员的年龄情况，我们从中随机抽取了 100 人的年龄作为样本，进行数据处理，制成扇形统计图和条形统计图（部分）如下：（1）根据图提供的信息补全图；（2）参加崂山景区登山活动的 12000 余名市民中，哪个年龄段的人数最多？（3）根据统计图提供的信息，谈谈自己的感想. （不超过 30 字）【试题答案】一、1. 100 1 2. 0.27 3. （1）1 3 （2）1 （3）0.2 4. 735. 526. 47. 8
20、. 20 0.4 9. 17、19 10. 2.8 11. 0 12. 1.6年 收 入 （ 万 元 ） 0.6 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 9.7家 庭 户 数 1 1 2 3 4 5 3 1（1）1.2 ；1.3 （2）中位数二、1. C 2. C 3. C 4. D 5. B 6. D三、1.分组 频数累计 频数 频率60.570.5 2 0.1070.580.5 正 5 0.2580.590.5 正 9 0.4590.5100.5 4 0.20合计 20 20 1.00（2）成绩 80 分以上的人数约为 260 人，占全校的 65%2. 240 吨 3. （1）略 （2）频率= 数 据 总 数频 数频率之和= 20348203=1 （3）数据落在 24.526.5 最多，为 8 个，落在 20.522.5 最少，为 2 个 （4）15%4. （1）48 人（ 2）频数为 12，频率为 0.25 （3）70.580.5 （4）只要符合题意，合理即可5. 略6. （1）平均数 方差 中位数 命中 9 环以上的次数甲 7 1.2 7.5 1乙 7 5.4 7.5 1（2）甲两人一样两人一样乙图比甲图的折线逐渐升高，所以乙更有潜力7. （1）如图（2）6069 岁的人最多（3）略
