1、 4-1 间接平差原理 2 学时间接平差法（参数平差法）是通过选定 t 个与观测值有一定关系的独立未知量作为参数，将每个观测值都分别表达成这 t 个参数的函数，建立函数模型，按最小二乘原理，用求自由极值的方法解出参数的最或然值，从而求得各观测值的平差值。 例如，在一个三角形中，等精度独立观测了三个角，观测值分别为 L1、 L2和 L3。求此三角形各内角的最或然值。若能选取两个内角的最或然值作为参数 、 ，则可以建立参数与观测值之间的函数关系式 （4-1-1） 可得 （4-1-2） 为了计算方便和计算数值的稳定性，通常引入未知参数的近似值，这一点在实际计算中是非常重要的，令 ，则（4-1-2）式
2、可写成如下形式：（4-1-3） 式（4-1-2）叫做误差方程，也可以称为某种意义上的条件方程（包含改正数、观测值和参数，“条件个数=观测值个数”），每个条件方程中仅只含有一个观测值，且系数为 1。单纯为消除矛盾， 、 、 可有多组解，为此引入最小二乘原则： 可求得唯一解。因此，间接平差是选取与观测值有一定关系的独立未知量作为参数，建立参数与观测值之间的函数关系，按最小二乘原则，求解未知参数的最或然值，再根据观测值与参数间的函数关系，求出观测值的最或然值，故又称为参数平差。对上述三角形，引入最小二乘原则，要求： ，设观测值为等精度独立观测，则有： 按数学上求自由极值的方法对上式分别求偏导数并令等
3、于零，可得 代入误差方程式，得到观测值的最或然值 此结果显然与采用条件平差方法解算的结果一致，说明只要遵循相同的平差原则、定权方法相同，平差结果与具体平差方法无关。 一般地，间接平差的函数模型为 （4-1-4） 平差时，为了计算方便和计算的数值稳定性，一般对参数 都取近似值 ，令 （4-1-5） 代入（4-1-4）式，并令 （4-1-6） 由此可得误差方程 （4-1-7） 式中 为误差方程的自由项，对于经典间接平差，将未知参数 视为非随机参数，不考虑其先验统计性质，根据（4-1-5）式，可得平差后 ，由（4-1-6）式可得 。 间接平差的随机模型为 （4-1-8） 平差准则为 （4-1-9）
4、间接平差就是在最小二乘准则要求下求出误差方程中的待定参数 ，在数学中是求多元函数的自由极值问题。 一、间接平差一般原理 设平差问题中有 n 个观测值 L，已知其协因数阵 ，必要观测数为t，选定 t 个独立参数 ，其近似值为 ，观测值 L 与改正数 V 之和 ，称为观测量的平差值。按具体平差问题，可列出 n 个平差值方程为 （ i=1，2，3， n） （4-1-10） 令 则平差值方程的矩阵形式为 （4-1-11） 令 （4-1-12） 式中 为参数的充分近似值，于是可得误差方程式为 （4-1-13） 按最小二乘原理，上式的 必须满足 的要求，因为 t 个参数为独立量，故可按数学上求函数自由极值
5、的方法，得 转置后得 （4-1-14） 以上所得的（4-1-13）和（4-1-14）式中的待求量是 个 和 个 ，而方程个数也是 个，有唯一解，称此两式为间接平差的基础方程。 解此基础方程，一般是将（4-1-13）式代入（4-1-14）式，以便先消去 ，得 （4-1-15） 令 上式可简写成 （4-1-16） 式中系数阵 为满秩矩阵，即 ， 有唯一解，上式称为间接平差的法方程。解之，得 （4-1-17） 或 （4-1-18） 将求出的 代入误差方程（4-1-13），即可求得改正数 V，从而平差结果为 （4-1-19） 特别地，当 P 为对角阵时，即观测值之间相互独立，则法方程（4-1-16）的
6、纯量形式为 （4-1-20） 二、按间接平差法求平差值的计算步骤 1根据平差问题的性质，选择 t 个独立量作为参数； 2. 将每一个观测量的平差值分别表达成所选参数的函数，若函数非线性要将其线性化，列出误差方程（4-1-13）； 3由误差方程系数 B 和自由项 组成法方程（4-1-16），法方程个数等于参数的个数 t ； 4. 解算法方程，求出参数 ，计算参数的平差值 ； 5由误差方程计算 V，求出观测量平差值 ； 6.评定精度。 例4-1 在图 4-1 所示的水准网中，A、B、C 为已知水准点，高差观测值及路线长度如下： = +1.003m， = +0.501m， = +0.503m， = +0.505m； =1km， =2km， =2km， =1km。已知 =11.000m， =11.500m， =12.008m，试用间接平差法求 及 点的高程平差值。 图 4-1 解：1.按题意知必要观测数 =2，选取 、 两点高程 、 为参数，取未知参数的近似值为 、 ，令 2km 观测为单位权观测，则 。 2根据图形列平差值条件方程式，计算误差方程式如下 代入具体数值，并将改正数以(mm)为单位，则有 可得 、 和 矩阵如下 、 、 3由误差方程系数 和自由项 组成法方程 得 解得 4. 解算法方程，求出参数 ，计算参数的平差值 ； 5由误差方程计算 ，求出观测量平差值 ；
