1、1连续时间系统分析及 MATLAB 实现张登奇，张 璇(湖南理工学院 信息与通信工程学院，湖南 岳阳 414006)摘 要：创建微分方程是分析线性时不变连续时间系统的基础，时域分析和频域分析是系统分析的重要内容，拉普拉斯变换是分析系统的有效工具。文章介绍了分析连续时间系统的基本流程，阐述了系统模型的创建方法，并用拉普拉斯变换对连续时间系统进行了时域、频域和稳定性分析，实例列举了 MATLAB 实现的程序。关键词：M ATLAB； 连 续 时 间 系 统 ； 系 统 分 析 ； 拉 普 拉 斯 变 换 ； 系 统 函 数中国分类号：TN911.6 TP391.75 文献标识码：A 文章编号：An
2、alysis of Continuous-time System and Realization Based on MATLABZHANG Dengqi, ZHANG Xuan(College of Information continuous-time system; systems analysis; Laplace transform; system function引 言系统分析就是已知系统结构和参数，研究系统的特性或计算给定激励下系统的输出。分析系统首先要根据系统结构建立描述系统的数学模型，再采用适当的数学方法分析这个模型，找出反映系统基本性能的特征量，或求解给定激励下系统的输出。在
3、连续时间系统中，线性时不变连续时间系统是最基本的连续时间系统，电路网络或结构框图是常见的系统结构描述形式。下面以线性时不变连续时间因果稳定系统为例，介绍系统分析的基本流程，阐述创建电路网络或结构框图数学模型的基本方法，并用拉普拉斯变换法对连续时间系统进行时域分析、频域分析和稳定性分析，结合实例列出 MATLAB 在系统分析过程中的应用程序。1 系统分析流程系统分析实质上是根据系统模型进行数学运算的过程。分析系统首先要根据系统结构，建立一个描述系统的数学模型。微分方程只与连续系统的自身结构有关，反映了系统的自身特性，是最基本的系统模型。在零状态条件下，将微分方程两边进行拉普拉斯变换很容易得出系统
4、函数。系统函数的拉氏反变换就是描述系统时间特性的特征参数单位冲激响应；将系统函数的 变量用 代入即可sj得到描述系统频率特性的特征参数频率响应。对系统进行时域分析，主要是求解微分方程，也可通过计算系统输入与单位冲激响应的卷积，在时域直接求解系统的零状态响应；对系统进行频域分析，主要是寻求系统输出随频率变化的规律，也可根据卷积性质把时域中的卷积计算变换成频域中的乘法运算。无论是时域分析还是频域分析，拉普拉斯变换是简化运算的有力工具 1，系统函数是时域与频2域联系的桥梁，根据其极点位置也可方便判断系统的稳定性。分析系统的主要流程如图1所示。 2 系统模型的创建系统模型的创建过程，就是根据系统结构建
5、立描述系统的微分方程或系统函数的过程。实际系统可能是多输入多输出系统，但根据系统的线性特性，多输入多输出系统可分解成多个单输入单输出分别计算，再进行叠加处理，故这里只分析单输入单输出系统模型的创建。创建系统模型可以有不同方法，本文介绍一种借助状态变量，通过建立状态方程和输出方程，再将其转换成系统函数或微分方程的方法。状态方程是一组一阶的状态微分方程： ，输出方程描述了输出与xBA状态和输入的关系： 。因微分方程都是一阶的，创建容易，方程建好后，转换计算可xDCy调用 MATLAB 函数实现。现以电路网络和结构框图为例，分别介绍系统模型的创建方法 1。2.1 电路网络系统模型的创建一般地，由电路
6、网络建立状态方程的步骤如下：（1）选择电容的电压和电感的电流作为状态变量；（2）对每个电容，应用 KCL 写出该电容的电流 与其它状态变量和输入量的关系式；dtuCc/（3）对每个电感，应用 KVL 写出该电感的电压 与其它状态变量和输入量的关系式；iL（4）对步骤（2）、（3）所建立的方程式，两边分别除以 C 或 L 就得到状态方程；（5）用 KCL、KVL 写出用状态变量和输入量表示的输出，即得输出方程。实例 1: 电路网络如图 2 所示，试求该电路的系统函数并写出系统的微分方程。选择电容的电压和电感的电流作为状态变量，根据电路列写 KCL 和 KVL 方程，整理得到状态方程和输出方程：
7、CCCC uyiLRudtixLiRuLdtiidtu 1 11 1 222将电路参数代入即可得到状态矩阵。将状态矩阵转换成系统函数的MATLAB程序如下：clc;close all;clear;A=0,1,-1;-2,-4,0;5,0,-2;B=0;2;0;C=1,0,0;D=0;b,a=ss2tf(A,B,C,D),%计算并显示系数向量sys=tf(b,a),%创建并显示系统函数计算结果：b = 0 0 2.0000 4.0000a = 1.0000 6.0000 15.0000 24.0000系统函数为： 24+s156s23H由系统函数可直接写出微分方程： txtyttyt 42415
8、6 2.2 结构框图系统模型的创建结构框图是描述系统更通用的一般形式。由 123x ( t )y ( t )- 6- 1 5- 2 424图 3 系统框图图 1 连续系统的分析流程结 构 框 图电 路 网 络微 分 方 程 或 系 统 函 数时 域分 析状 态 方 程 和 输 出 方 程频 域分 析 稳 定分 析图 2 电路网络3结构框图建立状态方程的一般规律是：（1）选取积分器的输出（或微分器的输入）作为状态变量；（2）围绕加法器列写状态方程和输出方程。实例 2: 系统的结构框图如图 3 所示，试求系统函数并写出系统的微分方程。根据系统框图列写状态方程和输出方程如下：322312321 4
9、456 yx由状态方程和输出方程可直接写出状态矩阵。转换成系统函数的MATLAB程序如下：clc;close all;clear;A=-6,-15,-24;1,0,0;0,1,0;B=1;0;0;C=0,2,4;D=0;b,a=ss2tf(A,B,C,D),%计算并显示系数向量sys=tf(b,a),%创建并显示系统函数得到的结果与实例 1 相同。3 连续系统的时域分析连续系统的时域分析主要是求解系统在连续信号激励下的输出。一个线性时不变连续时间系统可以用线性常系数微分方程描述，对系统的时域分析可归结为如何利用数学方法对该方程求解。早期的经典法就是直接求解微分方程 2，得到与齐次解对应的自由响
10、应和与特解对应的强迫响应。这种方法计算复杂、花时费力。利用拉氏变换可简化运算，间接求解微分方程。设 LTI 因果系统的微分方程一般式为： )()()()()()( 011011 txbttxbtxtyattyaty mmnn 一般从激励信号的加入时刻开始计时，起始状态（简称 0- 状态）包含了计算未来响应的全部过去信息。对微分方程两边进行下限为 0- 的单边带拉氏变换，利用拉氏变换的微分性质，并考虑到及其各阶导数都为 0，得：)0(x )()()( )(0() 011 1(2)(0 sXbsXsbs sYaysYayYayYamm rnrnrnrn 整理成 形式，有：CBA011aann)(
11、bssbsmmnkrrkyC1)(01根据系统的微分方程，可直接写出 和 ，由系统的起始状态可算出 ，将系统输入 )(sA B )(sC进行拉氏变换可得到 。 系统函数 ，将系统函数进行拉氏反变换就是单位冲激 )(sX)(/sH响应；将 进行拉氏反变换得到零输入响应；将 进行拉氏反变换得到零状态/)(As )(/sAX响应；零输入响应与零状态响应的和即为全响应。整个分析过程均可用MATLAB实现，这里仅讨论特征根为单根情形，如遇重根可人为适当拉开，再按单根处理，只要拉开距离适当，这种处理在工程上是完全可行的。实例 3: 在实例 2 所描述的系统中，设输入为： ，起始状态为：0 15.0tetx
12、，试利用拉氏变换法计算并图示系统的单位冲激响应、零输入响应、10,10 yy零状态响应和全响应。4利用 MATLAB 实现时域分析的 m 程序如下：clc;close all;clear;syms s t %定义符号对象a=1,6,15,24;b=0,0,2,4; %系数向量，不足可在前面补 0 对齐As=poly2sym(a,s),Bs=poly2sym(b,s),%将系数向量变为符号多项式xt=10*exp(-0.5*t)*heaviside(t),Xs=laplace(xt),%定义系统输入并计算其拉氏变换y0=1,0,-12;%定义起始状态%求 Cs，注意系数标号与变量下标的关系n=l
13、ength(a)-1;Cs=0;for k=1:n;for r=0:(k-1);Cs = Cs+a(n-k+1)*y0(r+1)*s(k-1-r); endendCs,%显示 Cs 符号多项式ht=ilaplace(Bs/As);ht1=vpa(ht,4),pretty(ht1),%求冲激响应,保留 4 位有效数字,输出便读式 yzit=ilaplace(Cs/As);yzit1=vpa(yzit,4),pretty(yzit1),%求零输入响应,保留 4 位有效数字,输出便读式 yzst=ilaplace(Bs*Xs/As);yzst1=vpa(yzst,4),pretty(yzst1),%
14、求零状态响应,保留 4 位有效数字,输出便读式 yt=yzit1+yzst1,pretty(yt), %计算并显示系统全响应的解析解,输出便读式%绘图程序：t1=linspace(0,5,100);%在 0 到 5 秒范围内取 100 个时点ht2=subs(ht1,t,t1);%利用置换函数求冲激响应各时点的数值解subplot(2,1,1);plot(t1,ht2),%绘制冲激响应曲线xlabel(时间(秒),ylabel(幅度),%加标签grid,title(系统冲激响应),%加网格和标题yzit2=subs(yzit1,t,t1);%利用置换函数求零输入响应各时点的数值解subplot
15、(2,1,2);plot(t1,yzit2,k:),%黑虚线绘制零输入响应曲线yzst2=subs(yzst1,t,t1);%利用置换函数求零状态响应各时点的数值解hold on;plot(t1,yzst2,r-.),%在同一窗用红点划线绘制零状态响应曲线yt2=subs(yt,t,t1);%利用置换函数求全响应各时点的数值解plot(t1,yt2,b-),%在同一窗用蓝实线绘制全响应曲线legend(零输入,零状态,全响应,0),%加响应图例，位置自动最佳xlabel(时间(秒),ylabel(幅度),%加标签grid,title(系统响应),%加网格和标题程序运行结果及图示略，注意利用 i
16、laplace 函数计算各响应时域解析式时，输出结果一般还要进行手工合并处理。拉氏反变换也可用部分分式展开法计算 3 ，大致包括三步：首先将相函数化简成有理分式形式；然后用 residue 函数求出留数和极点；最后再通过查表得到原函数的解析式。如果只需计算系统响应的数值解或图示系统响应，则调用 impulse 函数或 lsim 函数更简单，关于这些函数的应用实例可参考文4。4 连续系统的频域分析连续系统的频域分析是寻求系统在不同输入信号激励下，系统输出随频率变化的规律。为此，必5须求出反映系统频率特性的频率响应函数，进而对系统进行频域分析。一个稳定的连续时间系统，其频率响应就是系统函数在S平面
17、虚轴上的取值，计算系统的频率响应，可将系统函数的 变量用 代sj入得到。频率响应是一个复函数，其模叫幅度响应，其相角叫相位响应，它反映了输入信号的频谱经系统后所发生的变化规律。从幅频曲线上可直观看到各频率分量的幅度变化情况，从相频曲线上可直观看到各频率分量的相移情况。根据频响曲线分析系统对信号频谱的影响，概念清楚、简单直观。但要将一个较复杂的频率响应复函数手工转化成幅度响应和相位响应并图示，计算量大且容易出错，图示结果也不一定精确。利用MATLAB函数这些问题都迎刃而解。实例 4：计算并图示实例 2 所示系统的频率响应。利用 MATLAB 实现频域分析的 m 程序如下：clc;close al
18、l;clear;syms s w %定义符号对象a=1,6,15,24;b=0,0,2,4; %系数向量，不足可在前面补 0 对齐As=poly2sym(a,s),Bs=poly2sym(b,s),%将系数向量变为符号多项式Hs=Bs/As,s=j*w,%计算系统函数，令 s=j*wHjw=compose(Hs,s), %利用复合函数计算并显示频率响应解析解w_num=linspace(0,10,100);%在 0 到 10 rad/s 范围内取 100 个频点Hjw_num=subs(Hjw,w,w_num);%利用置换函数求频率响应各频点的数值解mag=abs(Hjw_num);pha=a
19、ngle(Hjw_num);%计算各频点的幅度和相位subplot(2,1,1);plot(w_num,mag),%绘幅频特性曲线xlabel(频率(rad/s),ylabel(幅度),%加标签grid,title(幅频特性曲线),%加网格和标题subplot(2,1,2),plot(w_num,pha),%绘相频特性曲线xlabel(频率(rad/s),ylabel(相位),%加标签grid,title(相频特性曲线),%加网格和标题该程序过程清晰、容易理解，绘制的频响曲线如图 4 所示。由图可知该系统是一个非线性相位的低通系统。如果只需绘制系统的频响曲线，直接调用 freqs 函数则更简便
20、。有关函数的详细应用可参见 help 命令或参见帮助系统了解。5 系统的稳定性分析时域分析和频域分析是连续时间系统分析的主要内容。一个物理可实现的连续系统一般都是因果系统，系统的稳定性会影响系统能否正常工作。判断系统是否稳定最简单直观的方法是调用 pzmap 函数绘制系统的零极点图，如果系统的全部极点都在 S 平面的左边，则系统是稳定的。如利用 pzmap 函数判断实例 2 中系统的稳定性程序如下：a=1,6,15,24;b=0,0,2,4; pzmap(b,a); %绘制系统的零极点图绘制的零极点图如图 5 所示，由图可知系统极点全在 S 平面的左边，系统稳定的。 图 4 系统的频响曲线66
21、 结束语严格地说，只有符号运算才能实现连续时间系统的计算机分析。将MATLAB的数值计算、符号运算和连续系统的拉氏变换分析法有机结合，不仅使大量的手工计算得以简化，也能得到系统分析的解析解，使得系统分析更为简便和高效。当样本点足够密时，各样本点的数据可近似表示连续信号，故用MATLAB的绘图功能，也可直观图示分析结果，有利于深入理解分析内容。参考文献：1 吴湘淇.信号与系统(第 3 版)M.北京:电子工业出版社, 20092 郑君里，应启珩，杨为理.信号与系统(第二版) M.北京：高等教育出版社，2000:42-523 陈从颜,翟军勇.信号与系统基础M.北京：机械工业出版社，2009:85-8
22、94 吴湘淇等.信号、系统与信号处理的软硬件实现M.北京:电子工业出版社, 2002:365-3795 陈怀琛等.MATLAB 及在电子信息课程中的应用M.北京:电子工业出版社, 20046 林梓等.信号与线性系统分析基础M.北京：北京邮电大学出版社,20057 岳振军.信号与系统M.北京:机械工业出版社, 20088 张志勇.精通 MATLAB6.5M.北京：北京航空航天大学出版社，20039 龙飞，刘桥.MATLAB 在 LTI 连续系统响应分析中的应用 J.四川理工学院学报,2006,19(3)：102-10410 王丹琦,李娟,黄晓俊.LTI 连续系统的系统分析法J.新疆师范大学学报,
23、2008,27(3)：46-4811 梁虹，梁洁，陈跃斌.信号与系统分析及 MATLAB 实现M.北京：电子工业出版社，200612 刘泉.信号与系统M.北京：高等教育出版社，2005作者简介：张登奇(1968- )，男，湖南临湘人，硕士，湖南理工学院信息与通信工程学院副教授。主要研究方向：信号与信息处理地 址：414006 湖南省岳阳市湖南理工学院信息与通信工程学院 张登奇电 话：13873099252 Email: 图 5 系统的零极点分布图7 123x ( t )y ( t )- 6- 1 5- 2 424结 构 框 图电 路 网 络微 分 方 程 或 系 统 函 数时 域分 析状 态 方 程 和 输 出 方 程频 域分 析 稳 定分 析
