1、1,刘晓华,形 式 语 言 与 自 动 机 (),2,第四章 正则语言的性质 1 正则语言的封闭性性质1 两个正则语言的并、连接、星号所得语言仍是正则语言。证：第三章第2节已证。性质2 两个正则语言的交、差、补所得语言仍是正则语言。证: (1)先证：若L是正则语言，则其补*L也是正则语言。设A1是接受L的一台DFA，则将A1的非接受状态改为接受状态、接受状态改为非接受状态，所得自动机即为A1的补A。,3,(2)交( L(A) = L(A1)L(A2) )：L(A) = *(*L(A1)(*L(A2)）.(3)差( L(A) = L(A1)L(A2) )L(A) = L(A1) (*L(A2)）
2、. 定义1: 语言L的反转(转置)为LR wR: wL .性质3 正则语言L的反转LR仍是正则语言。证：设接受L的DFA为A。将A的全部弧反向，将原初始状态改为接受状态，将原接受状态改为普通状态；引入一个新初始状态s，并分别从s引边到原各接受状态。设所得DFA为A，则L(A)= LR ，故LR仍是正则的。,4,定义2 对于字母表1和2, 函数h: 12 称为1上的一个同态, 若w=a1a2an(ai1), 则 h(w)=h(a1) h(a2) h(an).例如，h(0)=ab,h(1)=aa,则h(010)=abaaab,h(10)*10*)=(aaab)*aa(ab)*.性质4 若L是上的正
3、则语言，h为上的一个同态，则L在h下的像h(L)也是正则语言。证：因为L是正则语言，故有正则表达式R满足L(R)=L.在R中出现的每个字母c用h(c) 替换，这样得到一个新正则表达式R。易知L(h(L)=L(R), 故h(L)也是正则语言。,5,定义3 语言L1和L2 的右商定义为 L1/L2=x: xyL1, yL2 . 例如，若 L1=bbaab,babab,aaabb, L2=ab,aab,则 L1/L2 =bbaa,bb,bab.性质5 若L1和L2是上的正则语言，则L1/L2也是正则语言。证：设接受L1的DFA为A1= (Q1,1, q10, F1),接受L2的DFA为A2= (Q2
4、,2, q20, F2), 定义一个新的DFA B= (Q1,1, q10, F) (注意B与A仅终态集合不同), 其中F以下列方式定义:,6,考察Q1的每一个状态q。将A1作一修改，初始状态由q10改为q (其余一切不变)，所得的DFA记为Dq。记 L = L(Dq)L(A2), 则L仍为正则语言。若L=，则让q作为B的非终态，即qF; 若L ，则让q作为B的终态，即qF。可以验证，这样定义的DFA B 接受的语言就是L1/L2 ，故L1/L2是一个正则语言。,7,2 正则语言的基本问题1. 正则语言的标准表示法:正则语言表示成有穷自动机、正则表达式或正则文法2. 正则语言的基本问题问题1：
5、对于任意正则语言L和任一字符串w,判断w是否属于L。定理1 对于用标准表示法给出的正则语言L和任一字符串w, 有算法可判断w是否属于L。证：标准表示法总可以归结为用DFA给出，而DFA是否接受w很容易判断。,8,问题2 正则语言是有穷的还是无穷的？定理2 对于用标准表示法给出的正则语言L, 有算法可判断L是否是空的、有穷的，还是无穷的。证：标准表示法总可以归结为用DFA给出。用图论的可达算法(Warshall算法)可知L是否为空。如果DFA中存在有向回路C，从C的结点可到某终态，则L是无穷的；如果DFA中所有的有向回路上的结点均不能到任何终态，则L是有穷的。,9,问题3 对于正则语言L1和L2
6、, 是否成立L1=L2？定理3 对于用标准表示法给出的正则语言L1和L2, 有算法可判断是否L1=L2 。证：标准表示法总可以归结为用DFA给出。在第二章的补充内容中，可用填表算法判断两个DFA是否等价。,10,3 证明语言为非正则的方法用反证法: 只需证明L 不满足正则语言所需的下列必要条件。泵引理 若L 是一个正则语言，则必存在与L相关的正整数N, 对任一w L, 只要|w|N, 就有分解 w= xyz, 满足|xy|N, y 且 xyiz L, i = 0, 1, 2, 3 ,。这个定理的含义是: 若将一个可接受的串等同于一条由初始状态到接受状态的路线，则这样长于N的任意一条路线必包含一
7、个回路。,11,证：因为L是正则的，故L为某确定型自动机A接受的语言。设A共有状态N 个，若wL且|w|N，则由初始状态到接受状态的路线所经节点个数N, 故其中必有两个节点q, q”相同。,记w中初始状态至q这部分为x, 由q至q”的部分为y , 由q”至接受状态的部分为z, 则w=xyz 即为所求：xyizL, i = 0, 1, 2, 3, ,12,例1 证明 L = 0i1i: i0 不是正则的。 证： 若L 是正则的，则泵引理成立。设N为泵引理中的正整数。考虑w= 0N1N L, 则由w=xyz, |xy|N及y 知x=0k, y=0k (k0)，从而xz= 0k 0N-k-k1N =
8、 0N-k1N L , 矛盾。使用泵引理时，选用合适的w是关键：选择得好，则证明过程较为简单；选择不合适，则讨论的情形可能比较复杂，甚至得不到需要的结果。,13,例2 证明 L = wwR: w a,b* 不是正则的。 证：若L 是正则的，则泵引理成立。设N为泵引理中的正整数。考虑w= aNbN bNaNL, 则w满足泵引理中条件, 于是由w=xyz, |xy|N及y 知x=ak, y=ak (k0)，从而xz = ak aN-k-kbN bNaN= aN-k bN bNaN L , 矛盾。,14,例2 证明L= w a,b* : na(w)0)，从而xz = bk bN-k-kaN= bN+
9、1-k aN L , 矛盾。所以, L 不是正则的。,15,例3 证明L= (ab)nak : nk, k0不是正则的。证：若L 是正则的, 则LR= ak(ba)n : nk, k0 也是正则的，从而对LR泵引理成立。设N为定理中的正整数。考虑w= aN(ba)N+1LR, 则w满足泵引理中条件, 于是由w=xyz, y知x=ak, y=ak (k0)，从而xy2z = ak a2kaN-k-k (ba)N+1= aN+k (ba)N+1 L , 矛盾。所以, L 不是正则的。,16,例4 证明L= an! : n 0不是正则的。证：若L 是正则的，则泵引理成立。设N为定理中的正整数。考虑w
10、= aN!L, 则w满足泵引理中条件, 于是w=xyz, y, 且对于k0, 有xykzL. 设x=ap, y=aq (q0), z=ar , 则xykzL ，即 p+kq+r =nk!， k=0,1,2, 。易知nk+1nk。由于nk+1和nk均为正整数, 故由上式q= nk+1! nk! (nk+1)! nk! nk! ,令k得q , 矛盾。所以, L 不是正则的。,17,例5 证明L= anbkcn+k : n0, k0不是正则的。证：若L 是正则的，则L的任一同态也是正则的。考虑下列同态h： h(a)=a, h(b)=a, h(c)=c, 则h(L) = an+kcn+k : n0, k0 = aici : i0。前面已证h(L)不是正则的，矛盾。所以, L 不是正则的。 例6 证明L= anbk: nk不是正则的。证：若L 是正则的，由于两正则语言的差是正则的，故aici : i0 =L(a*b*)L也是正则的，矛盾。,
