1、第六章 无限脉冲响应数字滤波器的设计6.1 数字滤波器的基本概念6.2 模拟滤波器的设计6.3 用脉冲响应不变法设计 IIR 数字低通滤波器6.4 用双线性变换法设计 IIR 数字低通滤波器6.5 数字高通、带通和带阻滤波器的设计6.6 IIR 数字滤波器的直接设计法6.1 数字滤波器的基本概念1. 数字滤波器的分类数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应分类，可以分成无限脉冲响应(IIR)滤波器和有限脉冲响应(FIR)滤波器。它们的系统函数分别为：(6.1.1)(6.1.2)图 6.1.1 理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性010()()()MrrNkknnbzHzazhzejH)
2、(ej)(ejH)(ej0低 通 0高 通0带 通0带 阻222222222 数字滤波器的技术要求我们通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假设数字滤波器的传输函数 H(e j) 用下式表示： 通带内和阻带内允许的衰减一般用 dB 数表示，通带内允许的最大衰减用 p表示，阻带内允许的最小衰减用 s 表示，p 和 s 分别定义为：(6.1.3)(6.1.4)如将|H(ej0)|归一化为 1，(6.1.3)和(6.1.4) 式则表示成：(6.1.5)(6.1.6)3. 数字滤波器设计方法概述IIR 滤波器和 FIR 滤波器的设计方法是很不相同的。 IIR 滤波器设计方法有两类，经常用的一类设计方法
3、是借助于模拟滤波器的设计方法进行的。其设计步骤是：先设计模拟滤波器得到传输函数 Ha(s)，然后将 Ha(s)按某种方法转换成数字滤波器的系统函数 H(z)。 6.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型的模拟滤波器供我们选择，如巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭圆(Cauer)滤波器、贝塞尔(Bessel) 滤波器等，这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用。 图 6.2.1 各种理想滤波器的幅频特性 ()()jjjHee00()2lg()lpsjjsHedBe20lg()psjpjsHd
4、Be)(ja H低 通带 通 带 阻高 通)(ja H)(ja H)(ja H0 00c1.模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法模拟低通滤波器的设计指标有 p, p,s 和 s。其中 p 和 s 分别称为通带截止频率和阻带截止频率，p 是通带 (=0 p)中的最大衰减系数，s 是阻带 s 的最小衰减系数，p 和 s 一般用 dB 数表示。对于单调下降的幅度特性，可表示成：(6.2.1)(6.2.2)如果 =0 处幅度已归一化到 1，即|Ha(j0)|=1,p 和 s 表示为(6.2.3)(6.2.4)以上技术指标用图 6.2.2 表示。图中 c 称为 3dB 截止频率，因 图 6.2.2 低通滤
5、波器的幅度特性滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函数 Ha(s)，希望其幅度平方函数满足给定的指标 p 和 s，一般滤波器的单位冲激响应为实数，因此(6.2.5)2.巴特沃斯低通滤波器的设计方法巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数|Ha(j)|2 用下式表示：(6.2.6)22()10lg()lappasHjj20lg()apssHj()1/2,0lg()3acacHj jdB2()()aasjHjGj221()()aNcHj图 6.2.3 巴特沃斯幅度特性和 N 的关系将幅度平方函数|Ha(j)|2 写成 s 的函数： (6.2.7)此式表明幅度平方函数有 2N 个极点，极点 sk 用下式
6、表示：(6.2.8)图6.2.4 三阶巴特沃斯滤波器极点分布为形成稳定的滤波器，2N 个极点中只取 s 平面左半平面的 N 个极点构成 Ha(s)，21()()a NcHsj112()2()kjNNkcsje而右半平面的 N 个极点构成 Ha(s)。 Ha(s)的表示式为设 N=3，极点有 6 个，它们分别为取 s 平面左半平面的极点 s0,s1,s2 组成 Ha(s)： (6.2.9)由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，将所有的频率归一化。这里采用对 3dB 截止频率 c 归一化，归一化后的 Ha(s)表示为 (6.2.10)式中，s/ c=j/c 。 令 = /c， 称为归一化频率；
7、令 p=j，p 称为归一化复变量，这样归一化巴特沃斯的传输函数为(6.2.11)式中，pk 为归一化极点，用下式表示：(6.2.12)将极点表示式(6.2.12) 代入(6.2.11) 式，得到的 Ha(p)的分母是 p 的 N 阶多项式，用下式表示：(6.2.14)将 =s 代入(6.2.6) 式中，再将|Ha(js)|2 代入(6.2.4)式中，得到：(6.2.15)由(6.2.14)和(6.2.15)式得到：10()()NcakkHss2301232134135jcjcjcjsese2233()()()aajjcccHss10()()aNkkcHss10()()aNkkp12(),1kj
8、Nkpe/10/10221()1()psapNcaNsc令 则 N 由下式表示： (6.2.16)用上式求出的 N 可能有小数部分，应取大于等于 N 的最小整数。关于 3dB 截止频率 c，如果技术指标中没有给出，可以按照(6.2.14)式或(6.2.15)式求出，由(6.2.14)式得到： (6.2.17)由(6.2.15)式得到： (6.2.18)总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：(1)根据技术指标 p,p,s 和 s，用(6.2.16)式求出滤波器的阶数 N。(2)按照(6.2.12)式，求出归一化极点 pk，将 pk 代入(6.2.11)式，得到归一化传输函数 Ha(p)。
9、(3)将 Ha(p)去归一化。将 p=s/c 代入 Ha(p)，得到实际的滤波器传输函数Ha(s)。 例 6.2.1 已知通带截止频率 fp=5kHz，通带最大衰减 p=2dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减 s=30dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。解 (1) 确定阶数 N。 (2) 按照(6.2.12)式，其极点为按照(6.2.11)式，归一化传输函数为/10/()psaps10/,psaspspsklgspk10.1210.12()()psaNcacs0.1.242.lg04.25,.psaspspkfNN345501623754,j jjjjsesese401(
10、)()akkHpp表 6.2.1 巴特沃斯归一化低通滤波器参数上式分母可以展开成为五阶多项式，或者将共轭极点放在一起，形成因式分解形式。这里不如直接查表 6.2.1 简单，由 N=5，直接查表得到：极点：-0.3090j0.9511,-0.8090j0.5878;-1.0000式 b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361(3) 为将 Ha(p)去归一化，先求 3dB 截止频率 c。 按照(6.2.17) 式，得到：将 c 代入(6.2.18)式，得到：将 p=s/c 代入 Ha(p)中得到：我们这里仅介绍切比雪夫型滤波器的设计方法。图
11、6.2.5 分别画出阶数 N 为奇数与偶数时的切比雪夫型滤波器幅频特性。其幅度平方函数用 A2()表示：(6.2.19)图 6.2.5 切比雪夫型滤波器幅频特性式中， 为小于 1 的正数，表示通带内幅度波动的程度， 愈大，波动幅度也愈大。p 称为通带截止频率。令 =/p，称为对 p 的归一化频率。CN(x) 称为 N 阶切比雪夫多项式，定义为543210()aHpbpbp10.1210.12()5.7/()0./psaNcasc kradsA55423245() 10caccccHsbsbsb22 21()()()aNpAHjCcos(ar),1()NxCxhA当 N=0 时，C0(x)=1；
12、当 N=1 时，C1(x)=x；当 N=2 时，C2(x)=2x 21；当 N=3 时，C3(x)=4x 33x。由此可归纳出高阶切比雪夫多项式的递推公式为CN+1(x)=2xCN(x)CN-1(x) (6.2.20)图 6.2.6 示出了阶数 N=0,4,5 时的切比雪夫多项式特性。由图可见：(1)切比雪夫多项式的过零点在|x|1 的范围内；(2)当|x|1 时，CN(x)是双曲线函数，随 x 单调上升。 图 6.2.6 N=0,4,5 切比雪夫多项式曲线按照(6.2.19)式，平方幅度函数与三个参数即 ,p 和 N 有关。其中 与通带内允许的波动大小有关，定义允许的通带波纹 用下式表示：
13、(6.2.21)图6.2.6 N=0,4,5切比雪夫多项式曲线2maxin2axi2()10lg1(),A因此(6.2.22)图 6.2.7 切比雪夫型与巴特沃斯低通的 A2()曲线设阻带的起始点频率(阻带截止频率)用 s 表示，在 s 处的 A2(s) 用(6.2.19)式确定：(6.2.23)令 s=s/p，由 s1，有可以解出 (6.2.24)(6.2.25)3dB 截止频率用 c 表示，按照(6.2.19)式，有通常取 c1，因此220.1lg()221()()ssNPAC222()()1()1()1()NssssspsCchrAArchNA222()1,()()ccNcpNc cCh
14、Ar上式中仅取正号，得到 3dB 截止频率计算公式： (6.2.26)以上 p, 和 N 确定后，可以求出滤波器的极点，并确定 Ha(p)，p=s/p。求解的过程请参考有关资料。下面仅介绍一些有用的结果。设 Ha(s)的极点为 si=i+j i ，可以证明： (6.2.27)式中 (6.2.28)(6.2.28)式是一个椭圆方程，长半轴为 pch (在虚轴上)，短半轴为 psh(在实轴上)。令 bp 和 ap 分别表示长半轴和短半轴，可推导出： (6.2.29)(6.2.30)(6.2.31)图6.2.8 三阶切比雪夫滤波器的极点分布1()cphArc21sin(),3coipihiN221(
15、)1iippArsh12()1Na设 N=3，平方幅度函数的极点分布如图 6.2.8 所示 (极点用 X 表示)。为稳定，用左半平面的极点构成 Ha(p)，即(6.2.32)式中 c 是待定系数。根据幅度平方函数(6.2.19) 式可导出：c=2 N-1，代入(6.2.32)式，得到归一化的传输函数为(6.2.33a)去归一化后的传输函数为(6.2.33b)按照以上分析，下面介绍切比雪夫型滤波器设计步骤。1) 确定技术要求 p,p,s 和 sp 是 =p 时的衰减系数，s 是 =s 时的衰减系数，它们为 (6.2.34)(6.2.35)这里 p 就是前面定义的通带波纹 ，见(6.2.21)式。
16、归一化频率2) 求滤波器阶数 N 和参数 由(6.2.19)式，得到： 将以上两式代入(6.2.34) 式和(6.2.35) 式，得到： 1()()aNiiHpcp1()2()aNiiHpp1()2()Npaipis2210lg()lppssA1,spp221()()NppssCA0.122 2.0.12()1cos(ar1)()pspNps sCnhAchAr令(6.2.36)(6.2.37)这样，先由(6.2.36) 式求出 k-11，代入(6.2.37) 式，求出阶数 N，最后取大于等于N 的最小整数。按照(6.2.22) 式求 ，这里 p= 。+2=100.13) 求归一化传输函数 H
17、a(p)为求 Ha(p)，先按照(6.2.27)式求出归一化极点 pk, k=1,2,:,N。(6.2.38)将极点 pk 代入(6.2.33) 式，得到： 4) 将 Ha(p)去归一化，得到实际的 Ha(s)，即 (6.2.39)例 6.2.2 设计低通切比雪夫滤波器，要求通带截止频率 fp=3kHz，通带最大衰减p=0.1dB，阻带截止频率 fs=12kHz，阻带最小衰减 s=60dB。 解：(1) 滤波器的技术要求： (2) 求阶数 N 和 ：0.111()spasskchNArk1/(21)(21)sincos()2()()pkaNiiaaskpchjhNHss0.1,26,4ppps
18、sppdBff10.110.10.1()653()9.47,52.26sppaaArchkrchNNA(3) 求 Ha(p):由(6.2.38)式求出 N=5 时的极点 pi，代入上式，得到：(4)将 Ha(p)去归一化，得到：4.模拟滤波器的频率变换模拟高通、带通、带阻滤波器的设计图 6.2.9 低通与高通滤波器的幅度特性为了防止符号混淆，先规定一些符号如下：5(1)()0.26)a iiHpp2 21()2.4(0.5389)(0.31.94)0.87.6359appp / 726142 14()(1.058)(.80.2590).643.59paasHs ssA1) 低通到高通的频率变换
19、 和 之间的关系为(6.2.40)上式即是低通到高通的频率变换公式，如果已知低通 G(j)，高通 H(j)则用下式转换：(6.2.41)模拟高通滤波器的设计步骤如下：(1)确定高通滤波器的技术指标：通带下限频率 p，阻带上限频率s，通带最大衰减 p，阻带最小衰减 s。(2)确定相应低通滤波器的设计指标：按照(6.2.40)式，将高通滤波器的边界频率转换成低通滤波器的边界频率，各项设计指标为：低通滤波器通带截止频率 p=1/p；低通滤波器阻带截止频率 s=1/s；通带最大衰减仍为 p，阻带最小衰减仍为 s。(3)设计归一化低通滤波器 G(p)。(4)求模拟高通的 H(s)。将 G(p)按照(6.
20、2.40)式，转换成归一化高通 H(q)，为去归一化，将 q=s/c 代入 H(q)中，得(6.2.42)例 6.2.3 设计高通滤波器 ,fp=200Hz,fs=100Hz，幅度特性单调下降，fp 处最大衰减为 3dB，阻带最小衰减 s=15dB。解高通技术要求：fp=200Hz,p=3dB;fs=100Hz,s=15dB归一化频率低通技术要求： 设计归一化低通 G(p)。采用巴特沃斯滤波器，故11()HjGj()cpsHsG1,0.5psccff,2315psdB0.132.82lg.47,31()psspspspkkNNG 求模拟高通 H(s)：2) 低通到带通的频率变换低通与带通滤波器
21、的幅度特性如图 6.2.10 所示。 图6.2.10 带通与低通滤波器的幅度特性表 6.2.2 与 的对应关系由 与 的对应关系，得到：由表 6.2.2 知 p 对应 u，代入上式中，有(6.2.43)式称为低通到带通的频率变换公式。利用该式将带通的边界频率转换成低通的边界频率。下面推导由归一化低通到带通的转换公式。由于 将(6.2.43)式代入上式，得到：3323()2cpccsc sHsGf1220/,/ssslluB20201pulpj2020pjq将 q=j 代入上式，得到：为去归一化，将 q=s/B 代入上式，得到：(6.2.44)(6.2.45)上式就是由归一化低通直接转换成带通的
22、计算公式。下面总结模拟带通的设计步骤。(1)确定模拟带通滤波器的技术指标，即：带通上限频率 u，带通下限频率 l下阻带上限频率 s1 ,上阻带下限频率 s2 通带中心频率 20=l u，通带宽度 B=ul与以上边界频率对应的归一化边界频率如下：(2) 确定归一化低通技术要求：s 与- s 的绝对值可能不相等，一般取绝对值小的 s，这样保证在较大的 s 处更能满足要求。 通带最大衰减仍为 p，阻带最小衰减亦为 s。(3) 设计归一化低通 G(p)。(4) 由(6.2.45)式直接将 G(p)转换成带通 H(s)。 例 6.2.4 设计模拟带通滤波器，通带带宽 B=2200rad/s ，中心频率0
23、=2 1000rad/s，通带内最大衰减 p=3dB ，阻带s1=2830rad/s,s2=21200rad/s，阻带最小衰减 s=15dB 。 解 (1) 模拟带通的技术要求： 0=21000rad/s,p=3dB s1 =2 830rad/s,s2=2 1200rad/s, s=15dBB=2200rad/s;22()()luluspspHG1220,ssls luluBB220101,ssp0=5,s1=4.15,s2=6(2) 模拟归一化低通技术要求：取 s=1.833,p=3dB,s=15dB。(3)设计模拟归一化低通滤波器 G(p)：采用巴特沃斯型，有取 N=3，查表 6.2.1，
24、得(4) 求模拟带通 H(s)： 3) 低通到带阻的频率变换低通与带阻滤波器的幅频特性如图 6.2.11 所示。 图6.2.11 低通与带阻滤波器的幅频特性图中，l 和 u 分别是下通带截止频率和上通带截止频率， s1 和 s2 分别为阻带的下限频率和上限频率，0 为阻带中心频率，20=ul ，阻带带宽B=ul，B 作为归一化参考频率。相应的归一化边界频率为u=u/B, l= l/B, s1= s1/B, s2=s2/B; 20=ul 表 6.2.3 与 的对应关系2201031,1.83,.874s sp0.1.8.3lg2.8psspspspkkN232()1()()luspGpHs236
25、52423004 610() ()SsBBBss根据 与 的对应关系，可得到：(6.2.46)且 ul=1，p=1 ，(6.2.46)式称为低通到带阻的频率变换公式。将(6.2.46)式代入 p=j，并去归一化，可得(6.2.47)上式就是直接由归一化低通转换成带阻的频率变换公式。 (6.2.48)下面总结设计带阻滤波器的步骤：(1)确定模拟带阻滤波器的技术要求，即：下通带截止频率 l,上通带截止频率 u阻带下限频率 s1，阻带上限频率 s2阻带中心频率 +20=ul，阻带宽度 B=ul它们相应的归一化边界频率为l=l/B,u=u/B,s1= s1/B;s2=s2/B,20=ul以及通带最大衰
26、减 p 和阻带最小衰减 s。 (2) 确定归一化模拟低通技术要求，即：取 s 和 s 的绝对值较小的 s；通带最大衰减为 p，阻带最小衰减为s。(3) 设计归一化模拟低通 G(p)。(4) 按照(6.2.48)式直接将 G(p)转换成带阻滤波器 H(s)。例 6.2.5 设计模拟带阻滤波器，其技术要求为：l=2 905rad/s, s1=2980rad/s,s2= 21020rad/s,u=2 1105rad/s,p=3dB,s=25dB。试设计巴特沃斯带阻滤波器。解(1) 模拟带阻滤波器的技术要求：20220()ulsBp20()sBpHsG12200,sspssl=2905, u=2 11
27、05;s1=2980,s2=21020;20=l u=4+21000025,B=ul=2200;l= l/B=4.525,u=u/B=5.525;s1=s1/B=4.9, s2=5.1;20=l u=25(2) 归一化低通的技术要求：(3) 设计归一化低通滤波器 G(p):(4) 带阻滤波器的 H(s)为6.3 用脉冲响应不变法设计 IIR 数字低通滤波器为了保证转换后的 H(z)稳定且满足技术要求，对转换关系提出两点要求：(1) 因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。 (2)数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响，s 平面的虚轴映射 z 平面的单位圆，相应的频率之间成线性关
28、系。设模拟滤波器的传输函数为 Ha(s),相应的单位冲激响应是 ha(t) 设模拟滤波器 Ha(s)只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，将 Ha(s)用部分分式表示： (6.3.1)210,4.95,.3sps sdB0.12.5624.9lg1.8,2()psspspspkkNNG20 424042 240() ()sBpssHs BBs()()aaHsLTht1()NiaiAss式中 si 为 Ha(s)的单阶极点。将 Ha(s)进行逆拉氏变换得到 ha(t)：(6.3.2)式中 u(t)是单位阶跃函数。对 ha(t)进行等间隔采样，采样间隔为 T，得到： (6.3.3)
29、对上式进行 Z 变换，得到数字滤波器的系统函数 H(z)： (6.3.4)设 ha(t)的采样信号用 ha(t)表示，对 进行拉氏变换，得到: 式中 ha(nT)是 ha(t)在采样点 t=nT 时的幅度值，它与序列 h(n)的幅度值相等，即h(n)=ha(nT)，因此得到 : (6.3.5)上式表示采样信号的拉氏变换与相应的序列的 Z 变换之间的映射关系可用下式表示： (6.3.6)我们知道模拟信号 ha(t)的傅里叶变换 Ha(j)和其采样信号的傅里叶变换 之间的关系满足(1.5.5) 式，重写如下：(6.3.7)将 s=j 代入上式，得(6.3.8)由(6.3.5)式和 (6.3.8)式
30、得到 :(6.3.9)上式表明将模拟信号 ha(t)的拉氏变换在 s 平面上沿虚轴按照周期 s=2 /T 延拓后，再按照(6.3.6) 式映射关系，映射到 z 平面上，就得到 H(z)。(6.3.6)式可称为标准映射关系。下面进一步分析这种映射关系。设1()()iNsntaihtAeu1()()iNsnTaihn11()iNsTiAHzez()()aanhttn()aht()()()staastnsTHsedhte()()()()sTsTsnTna zezenHshehHsTz1()()()1()()sTaaskaaskazekHjjksjHjjszre按照(6.3.6)式，得到 :因此得到:
31、(6.3.10)那么 =0,r=1 0,r1另外，注意到 z=esT 是一个周期函数，可写成为任意整数图6.3.1 z=esT,s平面与z平面之间的映射关系jTjre2(),jMTsTjTee图6.3.2 脉冲响应不变法的频率混叠现象假设 没有频率混叠现象，即满足按照(6.3.9)式，并将关系式 s=j 代入，=T ，代入得到：令一般 Ha(s)的极点 si 是一个复数，且以共轭成对的形式出现，在(6.3.1)式中将一对复数共轭极点放在一起，形成一个二阶基本节。如果模拟滤波器的二阶基本节的形式为极点为 (6.3.11)可以推导出相应的数字滤波器二阶基本节(只有实数乘法)的形式为 (6.3.12
32、)如果模拟滤波器二阶基本节的形式为 极点为例 6.3.1 已知模拟滤波器的传输函数 Ha(s)为()aHj()0,/aj1()(),jaeHj11()(/),iNsTijahnAzezej112()sj1121cos2TTzeze11122,()sincoTTjszeze用脉冲响应不变法将 Ha(s)转换成数字滤波器的系统函数 H(z)。 解 首先将 Ha(s)写成部分分式：极点为那么 H(z)的极点为按照(6.3.4)式，并经过整理，得到设 T=1s 时用 H1(z)表示，T=0.1s 时用 H2(z)表示，则转换时，也可以直接按照(6.3.13),(6.3.14) 式进行转换。首先将 Ha
33、(s)写成(6.3.13)式的形式，如极点 s1,2=1j 1,则再按照(6.3.14) 式，H(z)为图6.3.3 例6.3.1的幅度特性20.51()649.7aHss0.320.324()477aj jss1 2(),()j j12,sTsTze11 2210.376()28.4.59.zHzzz1 12 210.5() 0.649()()aHsss112sin()0.64912coTTzez ze6.4 用双线性变换法设计 IIR 数字低通滤波器正切变换实现频率压缩： (6.4.1)式中 T 仍是采样间隔，当 1 从 /T 经过 0 变化到 /T 时， 则由经过 0变化到+，实现了 s
34、 平面上整个虚轴完全压缩到 s1 平面上虚轴的/T 之间的转换。这样便有(6.4.2)再通过 转换到 z 平面上，得到：(6.4.3)(6.4.4)下面分析模拟频率 和数字频率 之间的关系。 图6.4.1 双线性变换法的映射关系令 s=j,z=e j，并代入(6.4.3)式中，有(6.4.5)12tan()T1122()sTethT1sTze12zsTzs21tanjejT图6.4.2 双线性变换法的频率变换关系图 6.4.3 双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射设 1201201(),() kaazs kAsAsHsBBzCTazbb表 6.4.1 系数关系表例 6.4.1 试分别用脉冲响
35、应不变法和双线性不变法将图 6.4.4 所示的 RC 低通滤波器转换成数字滤波器。解 首先按照图 6.4.4 写出该滤波器的传输函数 Ha(s)为利用脉冲响应不变法转换，数字滤波器的系统函数 H1(z)为 利用双线性变换法转换，数字滤波器的系统函数 H2(z)为 H1(z)和 H2(z)的网络结构分别如图 6.4.5(a),(b)所示。图6.4.5 例6.4.1图H1(z)和H2(z)的网络结构(a)H1(z); (b)H2(z)下面我们总结利用模拟滤波器设计 IIR 数字低通滤波器的步骤。(1)确定数字低通滤波器的技术指标：通带截止频率 p、通带衰减 p、阻带截止频率 s、阻带衰减 s。(2
36、)将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标。 如果采用双线性变换法，边界频率的转换关系为1(),aHsRC11()THzez112221 ()(),azsTzHza21tan()T图6.4.6例6.4.1 图数字滤波器H 1(z)和H 2(z)的幅频特性(3)按照模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器。 (4)将模拟滤波器 Ha(s)，从 s 平面转换到 z 平面，得到数字低通滤波器系统函数 H(z)。 例 6.4.2 设计低通数字滤波器，要求在通带内频率低于 0.2rad 时，容许幅度误差在 1dB 以内；在频率 0.3 到 之间的阻带衰减大于 15dB。指定模拟滤波器采
37、用巴特沃斯低通滤波器。试分别用脉冲响应不变法和双线性变换法设计滤波器。解(1) 用脉冲响应不变法设计数字低通滤波器。 数字低通的技术指标为 p=0.2rad,p=1dB;s=0.3rad, s=15dB 模拟低通的技术指标为T=1s,p=0.2 rad/s,p=1dB;s=0.3rad/s,s=15dB设计巴特沃斯低通滤波器。先计算阶数 N 及 3dB 截止频率 c。 取 N=6。为求 3dB 截止频率 c,将 p 和 p 代入(6.2.17)式，得到c=0.7032rad/s，显然此值满足通带技术要求，同时给阻带衰减留一定余量，这对防止频率混叠有一定好处。根据阶数 N=6，查表 6.2.1，
38、得到归一化传输函数为为去归一化，将 p=s/c 代入 Ha(p)中，得到实际的传输函数 Ha(s), 用脉冲响应不变法将 Ha(s)转换成 H(z)。首先将 Ha(s)进行部分分式，并按照(6.3.11)式、 (6.3.12)式，或者 (6.3.13)式和(6.3.14) 式，得到：0.1lg.3.52.9lg.5.84psspsspspkNkN234561()13.867.49.67.3.87aHpppp62652434256432()3.87.619.7.13.870.2.1.97.8509acccccHssssss1 112120.287.46.48.5()990693.5.307zzHzzz
