1、1.3 数值稳定性和要注意的若干原则,1.3.3 减少运算次数,1.3.2 避免有效数字的损失,1.3.1 数值方法的稳定性,1.3 数值稳定性和要注意的若干原则,学习目标： 掌握数值运算中避免大误差产生的若干准则。,解 由于要计算系列的积分值，我们先推导 的一个递推公式。由,1.3.1 数值方法的稳定性,按以上初始值 的取法有 ，事实上 。这样，我们得到 。这个数已经大大超过了 的大小，所以 连一位有效数字也没有了，误差掩盖了真值。,逆向递推公式,对算法 2，有,如果我们能够给出 的一个近似值,则可由算法2计算 的近似值.并且,即使 较大,得到的近似值的误差将较小.,由于,按 和 ，分别按算
2、法1和2计算，计算结果如表 1-1 ，其中 为算法1的计算值， 为算法2的计算值。易知，对于任何自然数 ，都有 ，并且 单调递减。可见，算法1是不稳定的，算法2是稳定的。,用递推关系进行计算时必须注意误差的积累.,当然，数值不稳定的方法一般在实际计算中不能采用。数值不稳定的现象属于误差危害现象。下面讨论误差危害现象的其他表现及如何避免问题。,可见，计算的次序会产生很大的影响。这是因为用计算机计算时，在运算中要“对阶”，对阶引起了大数吃小数的现象。大数吃小数在有些情况下是允许的，但有些情况下则造成谬误。在数值计算中，两个相近数相减会使有效数字严重损失。,例3 求实系数二次方程 的根，其中,准确解是 。这里 所以算法1不稳定，舍入误差对 的影响大。,遇到两相近数相减的情形，可通过变换计算公式来避免或减少有效数字的损失。例如，我们有如下的变换公式：,如果无法改变算法，则采用增加有效位数进行计算，或在计算上采用双精度运算但这要增加机器计算的时间和多占内存单元。,则只需n次乘法和n次加法即可得到一个多项式的值，这就是著名的秦九韶算法 ，可描述为,最后有,
