1、1近世代数复习提纲群论部分一、基本概念1、群的定义（四个等价定义）2、基本性质（1）单位元的唯一性；（2）逆元的唯一性；（3） ；111(),()aba（4） ；c（5） ； 。1xb1yba3、元素的阶使 成立的最小正整数 叫做元素 的阶，记作 ；若这样的正maem|am整数不存在，则称 的阶是无限的，记作 。|a（1） 。11|,|()|agG（2）若 ，则me ；|a 由 可得 。|n|n（3）当群 是有限群时， ，有 且 。GaG|aG（4） ，其中 。|rand(,)r证明 设 。因为 ，所以 。|rk()nrddaenkd另一方面，因为 ，所以 ，从而 ，又 ，()rkrrr(,)
2、1nd所以 ，故 。nkdnd2注：1 ，但若 ，且 ，则有|abab(|,|)1ab（P70.3） 。|ab2 ；但 。| ,|G,|G例 1 令 ，则 关于普通乘法作成群。显然，|,1naCZa1 是 的单位元，所以 ，有 ，但 。|二、群的几种基本类型1、有限群：元素个数（即阶）有限的群，叫做有限群。2、无限群：元素个数（即阶）无限的群，叫做无限群。3、变换群：集合 上若干一一变换关于变换乘法作成的群，叫做集合 上的变A A换群。（1）变换群的单位元是 的恒等变换。（2） 的所有一一变换的集合关于变换的乘法作成 上最大的变换群。（3）一般地，变换群不是交换群。（4）任一个群都与一个变换群
3、同构。4、置换群：有限集合 上的一一变换叫做置换，若干置换作成的变换群叫做置A换群。即有限集合上的变换群叫做置换群。例 2 设 是 中元素，求 。(13),()245S解 3123451(42)（1） 元集合 的所有置换作成的置换群，叫做 次对称群，记作 。nAnnS（2） 。|!S（3）每个 元置换都可表示为若干个没有公共数字的循环置换的乘积。（4） 。11221()()kkii （5）任一有限群都与一个置换群同构。5、循环群：若群 中存在元素 ，使得 ，则称 是循环群。Ga()|nGaZG3（1）循环群是交换群（P61.1） 。（2）素数阶群是循环群（P70.1） 。（3）循环群的子群是循
4、环群（P65.4） 。（4）当 时， ；|G2102,ZGaea 当 时， 。|n01nne（5） |a（6）当 时， 有且仅有两个生成元 ；|G1,a当 时， 有且仅有 个生成元，这里 表示小于 且与|n()n()n互素的正整数个数。且当 时， 是 的生成元。n(,1mmG（7）若 与 同态，则G1 也是循环群；2 当 时， ；()a()a3 的阶整除 的阶。G例 3（P79、3）三、子群1、定义：设 是群 的非空子集，若 关于 的于是也构成群，则称 是HHGH的子群，记作 。GG2、等价条件（1）群 的非空子集 是子群 ，有,ab1,a ，有H（2）群 的非空有限子集 是子群 ，有 。G,
5、b3、运算（1）若 ，则 （可推广到任意多个情形） 。12,H12G（2）若 ，则 未必是 的子群。H4（3）若 ，则 未必是 的子群。12,HG12112|,HhhHG（4）若 ，则 不是 的子群。G4、陪集设 ，则 的子集 叫做 的包含 的左陪集； 的子|aha集 叫做 的包含 的右陪集。|HahH（1）一般地， 。（2） ；1ba； 。1a()aH（3） 。()HG（4） 。)()()babab（5） 是 的一个分类， 也是 的一个分类。即|HG，且 （当 时）aG()H或，且 （当 时）aG()abab5、指数：群 的子群 的左陪集（右陪集）个数叫做 的指数，记作 。HH:GH当 时，
6、有 。|:6、不变子群设 是群 的子群，若 ，都有 ，则称 是 的不变子群，GaGa记作 。H群 的子群 是不变子群 ，有 1H ，有 。,ah1ah例 4（P74、1）例 5（P74、3）51不变子群的交是不变子群。2交换群的子群是不变子群。3群 的中心 是 的不变子群。G()|,CaGxaxG4设 且有一个是不变子群，则 。12,H12H7、商群 设 ，令 ， ，定义|,b()()ab则它是 的代数运算，叫做陪集的乘法。 关于陪集的乘法作成群，叫GHGH做 关于 的商群。当 时，有 。|四、群同态 设 是群 到 的同态满射，则G1、 也是群；2、 ；()e3、 ；11()a4、 ；|5、
7、；ker|()Gae6、 ；:kr()7、 ；()H8、 ；G9、 ；1()10、 。H注：若 ，则映射 是 到 的同态满射，叫做自G:()aHGH然同态。6环论部分一、基本概念1、环的定义设 是一个非空集合， “”与“。 ”分别是加法与乘法运算，若R（1） 关于“”作成交换群（叫做加群） ；（2） 关于“。 ”封闭；（3） ，有 ；,abc()abcc（4） ，有R()cabcb则称 关于“”与“。 ”作成环。R2、基本性质（1） ， ；()abcac()bac（2） ；00（3） ；()()（4） ；ab（5） ；1111(),()nnnnabbaba （6） ；111)mmnijijij
8、ab（7） ；,()nna（8）当 是交换环时， ，有R,bR。11()nnnnCaab3、环的几种基本类型 设 是环（1）交换环： ，有 。,abRb7例 6（P89.2）（2）有单位元环：存在 ，使得 ，有 。1Ra1a（3）无零因子环： ，当 时， 。,ab0,b0注：无零因子环的特征：无零因子环 中的非零元关于加法的阶，叫做 的特R征。1 无零因子环 的特征，或是 或是素数；R2 当无零因子环 的元素个数 有限时， 的特征整除 。|R|R（4）整环：有单位元无零因子的交换环。（5）除环：有单位元 ，且非零元都有逆元。1(0)（6）域：交换的除环。二、两类特殊的环1、模 剩余类环： 。n
9、0,12,nZn（1） 是有单位元的交换环，且 是 的单位元；Z（2） ， ，则 不是零因子 ；naa(,)1a（3） 无零因子 是素数；Z（4） ， ，则 不是零因子 是可逆元；n0（5） 是域 是素数。2、多项式环： 。1010()|,nnRxfaxaaR 例 7（P109.2）三、理想1、定义：设 是环 的非空子集，若U（1） ，有 ；,abab（2） ，有 。rR,rU则称 是环 的理想子环，简称理想。注：1 理想一定是子环，但子环不一定是理想。82 环的中心是子环，但未必是理想。2、运算（1）若 是环 的理想，则 也是环 的理想（可推广到任意多个12,UR12UR情形） 。（2）若
10、是环 的理想，则 未必是环 的理想。12, 12（3）若 是环 的理想，则 也是环R1212|,uUu的理想。R（4）若 是环 的理想，则 不是环 的理想。12,U12UR3、生成理想：设 环 的一个非空子集，则 的所有包含 的理想的交仍是ARA的理想，这个理想叫做由 的理想，记作 。R()（1） 是 的包含 的最小理想。()（2）当 时，记 ，叫做由 生成的主理想。Aa()Aa1 当 是交换环时， ；R|,rnRZ2 当 是有单位元环时， ；1()|,miiiaxy3 当 是有单位元的交换环环时， 。()|ra（3） ，记 。且有12,nAaa 12(),)nA12(,()(n 例 8（P1
11、13.例 3）例 9（P114.3）4、最大理想：设 是环 的理想，且 。若包含 的环 的理想，只有URURR与 ，则称 是环 的最大理想（极大理想） 。R（1）环 的理想 是最大理想 当 的理想 适合 时，必()U有 或 。（2）环 的理想 是最大理想 商环 只有平凡理想。R()UR9（3）设 是有单位元的交换环，则 的理想 是最大理想 商环RR()U是域。U例 10（P119.1）已知： 。|,RabiZ求证： 是域。(1)证明：因为 是有单位元的交换环，所以 ，存在(1)abi使得()xyiZ()1()abixyixyi所以 ，由此可见，当 奇偶性相同时， 同为偶,axy, ,ab数；当 一奇一偶时， 同为奇数。 , ,反之，当 的奇偶性相同时，取 ，就有,b,2abxy()1()aiyii所以且 奇偶性相同(1)|,ibiZ,abR设 是 的理想，且 ，若 ，则存在 ，但UR()U(1)iabiU，所以 奇偶性不同，从而 奇偶性相同，因而有()abi,a,()()bi于是 ，因而 ，从而 是 的最大理想。故1()()ibiUR1iR是域。Ri
