1、1.1.7 柱、锥、台和球的体积,目标导航,新知探求,课堂探究,新知探求素养养成,点击进入 情境导学,知识探究,1.祖暅原理:幂势既同,则积不容异 这就是说,夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.应用祖暅原理可说明: 、 的两个柱体或锥体的体积相等. 2.长方体的体积 长方体的长、宽和高分别为a,b,c,长方体的体积V长方体= .,等底面积,等高,abc,3.棱柱和圆柱的体积 (1)柱体(棱柱、圆柱)的体积等于它的底面积S和高h的积,即V柱体= . (2)底面半径是r,高是h的圆柱体的体积计算公式是V圆柱=
2、 . 4.棱锥和圆锥的体积 (1)如果一个锥体(棱锥、圆锥)的底面积为S,高是h,那么它的体积V锥体= .(2)如果圆锥的底面半径是r,高是h,则它的体积是V圆锥= .,Sh,r2h,5.棱台和圆台的体积 (1)如果台体的上、下底面面积分别为S,S,高是h,则它的体积是V台体=.,(2)如果圆台的上、下底面半径分别是r,r,高是h,则它的体积是V圆台=.,6.球的体积 如果球的半径为R,那么球的体积V球= .,【拓展延伸】 1.球的体积 球的体积公式也可以用祖暅原理推导. 如图所示,从一个底面半径和高都是R的圆柱中,挖出一个以圆柱的上底面为底,下底面中心为顶点的圆锥,所得到的几何体被与圆柱下底
3、面平行且相距为l的平面所截,截得的截面是圆环,其面积为(R2-l2).,2.柱、锥、台体与球体的体积公式之间的关系,自我检测,(A)6 (B)12 (C)24 (D)48,D,2.若球的大圆面积扩大为原来的3倍,则它的体积扩大为原来的( ) (A)3倍 (B)9倍 (C)27倍 (D)3 倍,D,3.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=3 cm,AA1=2 cm,则四棱锥A-BB1D1D的体积为 cm3.,答案:6,4.一正六棱台的上、下底面边长分别为2和4,高为2,则其体积为 .,类型一,柱体的体积,课堂探究素养提升,【例1】 已知直四棱柱的底面是菱形,两个对角面的面积分
4、别为2 cm2, 2 cm2,侧棱长为2 cm,求其体积.,方法技巧 求柱体的体积关键是求底面积和高,而底面积的求解要根据平面图形的性质灵活处理.熟记常见平面图形的面积的求法是解决此类问题的关键.,变式训练1-1:已知等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱)的全面积为S,求其内接正四棱柱的体积.,类型二,锥体的体积,【例2】 求棱长为a的正四棱锥的体积.,方法技巧 利用锥体内直角三角形,寻求各量之间的关系,从而求出底面积和高,进而求出锥体体积.,变式训练2-1:若ABC的三边长分别为AC=3,BC=4,AB=2,以AB所在直线为旋转轴,将此三角形旋转一周,求所得旋转体的体积.,类型三,台体的体积,【例
5、3】 已知正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm,侧面积是780 cm2.求正四棱台的体积.,方法技巧 在求台体的体积时,关键是根据题设条件,分析得出所求问题需要哪些量,现在已知哪些量,然后归纳到正棱台的直角梯形中列式求解,最后代入体积公式求解体积.,变式训练3-1:体积为52 cm3的圆台,一个底面面积是另一个底面面积的9倍,那么截得这个圆台的圆锥的体积为( ) (A)54 cm3 (B)54 cm3 (C)58 cm3 (D)58 cm3,解析:由底面面积之比为19知,体积之比为127,截得小圆锥与圆台体积比为126,所以小圆锥体积为2 cm3,故原来圆锥的体积为54 cm3,故选
6、A.,类型四,球的体积,【例4】 一个正方体的顶点都在球面上,且棱长为a,那么这个球的体积是多少?,方法技巧 (1)有关球面“内接”问题,要通过作截面找出球的半径与几何体的棱长、体对角线长、母线、底面半径之间的数量关系; (2)正方体、长方体的外接球直径即是其体对角线; (3)正四面体,三条棱两两垂直的三棱锥问题一般转化为求其所在正方体或长方体的外接球的直径.,变式训练4-1:已知棱长为a的正四面体,求其内切球的体积和外接球的体积.,类型五,组合体的体积,【例5】 如图在多面体ABCDEF中,已知面ABCD是边长为4的正方形,EFAB, EF=2,EF与平面AC的距离为3,求该多面体的体积.,方法技巧 不规则几何体的体积可通过对几何体分割,使每部分能够易求得其体积,或者使所求体积等于整体几何体体积减去部分几何体体积.,变式训练5-1:三棱台ABC-A1B1C1中,ABA1B1=12,则三棱锥A1-ABC,B-A1B1C, C-A1B1C1的体积之比为( ) (A)111 (B)112 (C)124 (D)144,谢谢观赏！,
