1、专题四 数 列 第1讲 等差数列与等比数列,高考导航,热点突破,备选例题,阅卷评析,真题体验,1.(2015全国卷,文5)设Sn是等差数列an的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5等于( ) (A)5 (B)7 (C)9 (D)11,A,高考导航 演真题明备考,C,B,A,答案:6,5.(2015全国卷,文13)在数列an中,a1=2,an+1=2an,Sn为an的前n项和.若Sn=126,则n= .,7.(2018全国卷,文17)记Sn为等差数列an的前n项和,已知a1=-7,S3=-15. (1)求an的通项公式; (2)求Sn,并求Sn的最小值.,解:(1)设an的公差为d,由题意得
2、3a1+3d=-15. 由a1=-7得d=2. 所以an的通项公式为an=2n-9. (2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16. 所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.,考情分析,1.考查角度 考查等差数列、等比数列基本量的计算,考查等差数列、等比数列性质的应用,考查等差数列、等比数列的判断与证明等.,2.题型及难易度 选择题、填空题、解答题均有,难度中等偏下.,热点突破 剖典例促迁移,热点一,等差、等比数列的基本运算,【例1】 (1)(2018山东济南二模)已知an是公差为2的等差数列,Sn为数列an的前n项和,若S5=15,则a5等于( ) (A)3 (B)5 (C)
3、7 (D)9,(3)(2018福建百校高三临考冲刺)若干个连续奇数的和3+5+7+(4n-1)等于( ) (A)2n2+n (B)n2+2n (C)4n2+2n (D)4n2-1,方法技巧,解等差数列、等比数列基本运算问题的基本思想是方程思想,即通过等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式得出基本量(等差数列的首项和公差、等比数列的首项和公比),然后再通过相关公式求得结果.,热点训练1:(1)(2018广西三校联考)已知等差数列an满足:a3=13,a13=33,则a7等于( ) (A)19 (B)20 (C)21 (D)22,(3)(2018山东潍坊青州三模)已知等差数列an的前n项和为S
4、n,若a3+a4+a11=18,则S11等于( ) (A)9 (B)22 (C)36 (D)66,解析:(3)因为a3+a4+a11=18, 所以3a1+15d=18a1+5d=6, 所以S11=11(a1+5d)=116=66,故选D.,热点二,等差、等比数列的性质,【例2】 (1)(2018山东青岛二模)已知等差数列an中,若a4=15,则它的前7项和为( ) (A)120 (B)115 (C)110 (D)105,解析:(2)等差数列的公差为正数, 则a11=-a6, 所以a6+a11=a8+a9=0, 据此可得a80,故其前n项和取最小值时的n的值为8.选C.,(2)(2018东北四市
5、一模)等差数列an中,已知|a6|=|a11|,且公差d0,则其前n项和取最小值时的n的值为( ) (A)6 (B)7 (C)8 (D)9,解析:(4)因为an是公差不为0的等差数列, 所以bn是公比不为1的等比数列,由等比数列的性质,可得A,B-A,C-B成等比数列, 所以可得(B-A)2=A(C-B).故选D.,方法技巧,热点训练2:(1)(2018辽宁沈阳育才学校一模)在等差数列an中,Sn为其前n项和,若a3+a4+a8=25,则S9等于( ) (A)60 (B)75 (C)90 (D)105 (2)若等差数列an满足a7+a8+a90,a7+a100,则当n= 时,an的前n项和最大
6、.,(2)因为a7+a8+a9=3a80,a7+a10=a8+a90,a90, 所以n=8时,数列an的前n项和最大. 答案:(1)B (2)8,热点三,等差数列、等比数列的判定,(2)(2018云南玉溪高三适应训练)已知数列an满足Sn=2an-n(nN*). 证明:an+1是等比数列;求a1+a3+a5+a2n+1(nN*).,方法技巧,热点训练3:(1)(2018山东寿光期末)若数列an的前n项和Sn满足:Sn=2an- (0,nN*). 证明:数列an为等比数列,并求an; 若=4,bn=an+log2an(nN*),求数列bn的前n项和Tn.,(1)解:因为Sn=2an-,当n=1时
7、,得a1=0, 当n2时,Sn-1=2an-1-, 故Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-2an-1, 所以an=2an-1,所以an是以为首项,2为公比的等比数列, 所以an=2n-1(0).,热点四,等差、等比数列的综合,【例4】 (2018山东潍坊三模)已知数列an的前n项和为Sn,且1,an,Sn成等差数列. (1)求数列an的通项公式;,(2)若数列bn满足anbn=1+2nan,求数列bn的前n项和Tn.,方法技巧,解等差数列、等比数列综合题的基本思想是方程思想,即列出等差数列、等比数列基本量的方程或者方程组,解方程或者方程组求得基本量,求出等差数列、等比数列的通项
8、公式,在此基础上求解其他问题.,备选例题 挖内涵寻思路,(2)求an+bn的前n项和.,【例3】 (2018湖南岳阳一中一模)已知数列an的首项a1=1,其前n项和为Sn,且对任意正整数n,有n,an,Sn成等差数列. (1)求证:数列Sn+n+2成等比数列;,(1)证明:因为n,an,Sn成等差数列,所以2an=n+Sn, 又an=Sn-Sn-1(n2),所以2(Sn-Sn-1)=n+Sn, 即Sn=2Sn-1+n, 所以Sn+n+2=2Sn-1+2n+2, 即Sn+n+2=2Sn-1+(n-1)+2. 又因为S1+1+2=40, 所以Sn+n+2是首项为4,公比为2的等比数列.,(2)设bn=nan,求数列bn前n项和Tn.,阅卷评析 抓关键练规范,(2)判断数列bn是否为等比数列,并说明理由; (3)求an的通项公式.,【答题启示】 (1)以递推关系给出的数列可以利用初始值和递推式逐次求得数列的各项(一般求出前几项). (2)证明数列an为等比数列只需证明an+1=qan(q为常数)且a10.,
