1、创造适合每一个孩子的教育 地址：罗湖区太白路松泉山庄松泉阁裙楼三楼 1证明（二）1你能证明它们吗一、主要知识点1、 证明三角形全等的判定方法(SSS,SAS,ASA,AAS,证直角三角形全等除上述外还有HL)及全等三角形的性质是对应边相等，对应角相等。2、 等腰三角形的有关知识点。等边对等角；等角对等边；等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 （三线合一）3、 等边三角形的有关知识点。判定：有一个角等于 60的等腰三角形是等边三角形；三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都是 60的三角形是等边三角形；有两个叫是 60的三角形是等边三角形。性质：等边三角形的三边相等，三个
2、角都是 60。4、反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出 与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法二、重点例题分析例 1: 如下图，在ABC 中，B=90，M 是 AC 上任意一点（M 与 A 不重合）MDBC ，交ABC 的平分线于点 D，求证：MD=MA.例 2 如右图，已知ABC 和BDE 都是等边三角形，求证：AE=CD.例 3： 如图：已知 AB=AE，BCED，BE，AFCD，F 为垂足, 2 创造适合每一个孩子的教育 地址：罗湖区太白路松泉山庄松泉阁裙楼三楼21ABCDOODCBA求证: ACAD； CFDF。例 4 如
3、图 1、图 2，AOB，COD 均是等腰直角三角形，AOB COD90，（1）在图 1 中，AC 与 BD 相等吗？请说明理由（4 分）（2）若COD 绕点 O 顺时针旋转一定角度后，到达力 2 的位置，请问 AC 与 BD 还相等吗？为什么？（8 分）例 5 如图，在ABC 中，AB=AC、D 是 AB 上一点，E 是 AC 延长线上一点，且 CE=BD，连结DE 交 BC 于 F。 （1）猜想 DF 与 EF 的大小关系；（2）请证明你的猜想 。例 6 证明：在一个三角形中至少有两个角是锐角.创造适合每一个孩子的教育 地址：罗湖区太白路松泉山庄松泉阁裙楼三楼 32直角三角形一、主要知识点1
4、、直角三角形的有关知识。直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。2、互逆命题、互逆定理在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.二、典型例题分析例 1 ：说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：（1
5、）四边形是多边形；（2）两直线平行，同旁内角互补；（3）如果 ab=0,那么 a=0,b=0；（4）在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边相等例 2：如图， 中， ，求 的长。ABC3590,12,2CDBAC例 3 ：如图所示的一块地，ADC=90，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积。CADB4 创造适合每一个孩子的教育 地址：罗湖区太白路松泉山庄松泉阁裙楼三楼例 4：如图，一架 2.5 米长的梯子 AB，斜靠在一竖直的墙 AC 上，这时梯足 B 到墙底端 C 的距离为 0.7 米，如果梯子的顶端沿墙下滑 0.4 米，那么梯足将向外移多少米？CA1
6、B1AB例 5 ：如图 2-5 所示在等边三角形 ABC 中，AE=CD，AD，BE 交于 P 点，BQAD 于 Q求证：BP=2PQ3.线段的垂直平分线 4.角平分线一、主要知识点1、 线段的垂直平分线。线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。2、 角平分线。角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。创造适合每一个孩子的教育 地址：罗湖区太
7、白路松泉山庄松泉阁裙楼三楼 53、 逆命题、互逆命题的概念，及反证法如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。二、重点例题分析例 1：（1）在ABC 中，ABAC，AB 的垂直平分线交 AB 于 N，交 BC 的延长线于M，A ，求NMB 的大小04（2）如果将（1）中A 的度数改为 ，其余条件不变，再求NMB 的大小 07（3）你发现有什么样的规律性？试证明之.（4）将（1）中的A 改为钝角，对这个问题规律性的认识是否需要加以修改例 2：在ABC 中，AB 的中垂线 DE 交 AC 于 F，垂足为 D，若 AC=6，
8、BC=4，求BCF的周长。 E C F A D B 例 3：如图所示，AC=AD ，BC=BD ，AB 与 CD 相交于点 E。求证：直线 AB 是线段 CD的垂直平分线。 A C D E B AB CNMAB CNMAB CNM6 创造适合每一个孩子的教育 地址：罗湖区太白路松泉山庄松泉阁裙楼三楼例 4：如图所示，在ABC 中，AB=AC ，BAC=120 0，D、F 分别为 AB、AC 的中点，DEABFGC，E、G 在 BC 上，BC=15cm，求 EG 的长度。 A D F B E G C 例 5:：如图所示，RtABC 中，D 是 AB 上一点，BD=BC，过 D 作 AB 的垂线交
9、 AC于点 E，CD 交 BE 于点 F。求证：BE 垂直平分 CD。 C E A D B F 例 6:：在ABC 中，点 O 是 AC 边上一动点，过点 O 作直线 MNBC，与ACB 的角平分线交于点 E，与ACB 的外角平分线交于点 F，求证：OE=OF例 7、如图所示，ABAC， A的平分线与 BC 的垂直平分线相交于 D，自 D 作DEAB于 E， FC于 ，求证：BE=CF 。 A E B M C F D 21AO FECBM N创造适合每一个孩子的教育 地址：罗湖区太白路松泉山庄松泉阁裙楼三楼 7相应练习1、 如图，在ABC 中，AB=AC=BC，AE= CD，AD、BE 相交于
10、点 P，B QAD 于 Q。求证：BP=2PQ2、 如图，ABC 中，AB= AC，P、Q、R 分别在 AB、BC、AC 上，且 BP=CQ，BQ=CR。求证：点 Q 在 PR 的垂直平分线上。3、 如图，ABC 中，AD 为BAC 的平分线，AD 的垂直平分线 EF 交 BC 的延长线于点 F，连接 AF。求证：B=CAF4、 已知：如图，ABCD，BAC 的角平分线与DCA 的角平分线交于点 M，经过 M 的直线 EF 与 AB 垂直，垂足为 F，且 EF 与 CD 交于 E求证：点 M 为 EF 的中点ED FCBAPQEDCBAQRPB CAECMADF B8 创造适合每一个孩子的教育
11、 地址：罗湖区太白路松泉山庄松泉阁裙楼三楼单元训练题一、精心选一选，慧眼识金（每小题 3 分，共 30 分）1如图 1,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃.那么最省事的办法是带（ ）去配. A. B. C. D. 和2下列说法中，正确的是（ ）.A两腰对应相等的两个等腰三角形全等B两角及其夹边对应相等的两个三角形全等C两锐角对应相等的两个直角三角形全等D面积相等的两个三角形全等3如图 2，ABCD，ABD、BCE 都是等腰三角形，如果 CD=8cm，BE=3cm，那么AC 长为（ ）.A4cm B5cm C8cm D cm344如图 3，在等边 中，
12、 分别是 上的点，且 ，AD 与 BE 相C,DE,BABCE交于点 P，则 的度数是（ ）.12A B C D0505060755如图 4，在 中，AB=AC， ，BD 和 CE 分别是 和 的平分3AAB线，且相交于点 P. 在图 4 中，等腰三角形（不再添加线段和字母）的个数为（ ）.A9 个 B8 个 C7 个 D6 个6如图 5， 表示三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的123,l距离相等，则可供选择的地址有（ ）.A1 处 B2 处 C3 处 D4 处7如图 6，A、C、E 三点在同一条直线上，DAC 和EBC 都是等边三角形，AE、BD 分别与 CD、CE
13、交于点 M、N，有如下结论： ACEDCB ； CMCN ； ACDN. 其中，正确结论的个数是（ ）.创造适合每一个孩子的教育 地址：罗湖区太白路松泉山庄松泉阁裙楼三楼 9A3 个 B2 个 C 1 个 D0 个 8要测量河两岸相对的两点 A、B 的距离，先在 AB 的垂线 BF 上取两点 C，D，使CD=BC，再作出 BF 的垂线 DE，使 A，C ，E 在同一条直线上（如图 7） ，可以证明 ，得 ED=AB. 因此，测得 DE 的长就是 AB 的长，在这里判定 的条件D是( ).AASA BSAS CSSS DHL9如图 8，将长方形 ABCD 沿对角线 BD 翻折，点 C 落在点 E
14、 的位置，BE 交 AD 于点 F.求证：重叠部分（即 ）是等腰三角形.DF证明：四边形 ABCD 是长方形，ADBC又 与 关于 BD 对称，BEC . 是等腰三角形.23DF请思考：以上证明过程中，涂黑部分正确的应该依次是以下四项中的哪两项？（ ）. ； ； ；1134BDCEA B C D10.如图 9，已知线段 a，h 作等腰ABC，使 ABAC ，且BCa，BC 边上的高 ADh. 张红的作法是：（1）作线段 BCa；（2）作线段 BC 的垂直平分线 MN，MN 与 BC 相交于点 D；（3）在直线 MN 上截取线段 h；（4）连结 AB，AC，则ABC 为所求的等腰三角形. 上述作
15、法的四个步骤中，有错误的一步你认为是（ ）.A. （1） B. （2） C. （3） D. （4）二、细心填一填，一锤定音（每小题 3 分，共 30 分）1如图 10，已知，在ABC 和DCB 中，AC=DB ，若不增加任何字母与辅助线，要使ABCDCB，则还需增加一个条件是_.2如图 11，在 中， ，分别过点 作经过点 A 的直Rt09,BAC,BC线的垂线段 BD，CE，若 BD=3 厘米，CE=4 厘米，则 DE 的长为_.图 810 创造适合每一个孩子的教育 地址：罗湖区太白路松泉山庄松泉阁裙楼三楼3如图 12，P，Q 是ABC 的边 BC 上的两点，且 BPPQQCAPAQ ，则A
16、BC等于_度. 4如图 13，在等腰 中，AB=27，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，ABC若 的周长为 50，则底边 BC 的长为_.E5在 中，AB=AC，AB 的垂直平分线与 AC 所在的直线相交所得的锐角为 ，则05底角 B 的大小为_.6在证明二一章中，我们学习了很多定理，例如：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；全等三角形的对应角相等；等腰三角形的两个底角相等；线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；角平分线上的点到这个角两边的距离相等.在上述定理中，存在逆定理的是_.( 填序号)7如图 14，有一张直角三角形纸片，两直角边 AC=5cm
17、，BC=10cm，将ABC 折叠，点B与点 A 重合，折痕为 DE，则 CD 的长为_.8如图 15，在 中，AB=AC， ，D 是 BC 上任意一点，分别做 DEABBC012A于 E，DF AC 于 F，如果 BC=20cm，那么 DE+DF= _cm.9如图 16，在 RtABC 中，C=90,B=15，DE 是 AB 的中垂线，垂足为 D，交 BC于点 ，若 ，则 _ .E4BA10如图 17，有一块边长为 24m 的长方形绿地，在绿地旁边 B 处有健身器材， 由于居住在 A 处的居民践踏了绿地，小颖想在 A 处立一个标牌“少走_步，踏之何忍？”但小颖不知在“_”处应填什么数字，请你帮
18、助她填上好吗？（假设两步为 1 米）？三、耐心做一做，马到成功（本大题共 48 分）1 （7 分）如图 18，在 中， ，CD 是 AB 边上的高，ABC09创造适合每一个孩子的教育 地址：罗湖区太白路松泉山庄松泉阁裙楼三楼 11. 求证：AB= 4BD.03A2 （7 分）如图 19，在 中， ，AC=BC，AD 平分ABC09CAB交 BC 于点 D，DEAB 于点 E，若 AB=6cm. 你能否求出的E周长？若能，请求出；若不能，请说明理由.3 （10 分）如图 20，D、E 分别为 ABC 的边 AB、AC 上的点，BE 与 CD 相交于 O 点. 现有四个条件： ABAC；OBOC；
19、ABE ACD；BECD.(1)请你选出两个条件作为题设，余下的两个作为结论，写出一个正确的命题：命题的条件是 和 ，命题的结论是 和 (均填序号).(2)证明你写出的命题.已知：求证：证明：4 （8 分）如图 21，在 中， ，AB=AC， 的ABC09ABC平分线 BD 交 AC 于 D，CEBD 的延长线于点 E.求证： .12E5 （8 分）如图 22，在 中， .ABC09图 2112 创造适合每一个孩子的教育 地址：罗湖区太白路松泉山庄松泉阁裙楼三楼（1）用圆规和直尺在 AC 上作点 P，使点 P 到 A、B 的距离相等.（保留作图痕迹，不写作法和 证明） ；（2）当满足（1）的点
20、 P 到 AB、BC 的距离相等时，求 A 的度数.6 （8 分）如图 23， ，OM 平分 ，将直角三角板的顶09AOBAOB点 P 在射线 OM 上移动，两直角边分别与 OA、OB 相交于点 C、D ，问PC 与 PD 相等吗？试说明理由.四、拓广探索（本大题 12 分）如图 24，在 中，AB=AC，AB 的垂直平分线交 AB 于点 N，ABC交 BC 的延长线于点 M，若 .04（1）求 的度数；N（2）如果将（1）中 的度数改为 ，其余条件不变，再求07的度数；B（3）你发现有什么样的规律性，试证明之；（4）若将（1）中的 改为钝角，你对这个规律性的认识是否需要加以修改？A 图 23图 24
