1、 宁波大学第八届大学生数学建模竞赛 2012 年 5 月 11 日 5 月 14 日参赛题目 A B（在所选题目上打勾）参赛队员 1 参赛队员 2 参赛队员 3 姓名学号学院专业年级电话 短号Email 宁波大学教务处宁波大学数学建模实践基地1规划模型解决医院手术室的分配问题摘要本文针对医院分配手术室的问题，主要研究了医院在满足各科室手术时间的情况下，为保证各科室时间均匀分配保证每科室每天都可以对患者进行治疗，院方能够提供最少的时间时，手术室的合理分配问题。模型建立从简单的整数规划入手，循序渐进，延伸到一般的线性规划，使模型逐步得到完善，并进行了相应的推广。对简单模型的不断完善和优化是通过不断
2、改变和限制约束条件来实现的。求解过程主要使用lingo 软件，运用了一般线性规划和整数规划的思想来解决问题。最终构建的数学模型基本上实现了既满足了医院手术室的最大化利用，又满足了患者可以每天都有一定的就医治疗的时间和不同类型的病人得到相应治疗条件。关键字:分配问题 规划模型 lingo2问题重述（引言）宁波市某医院有 12 个安排值班的手术室，为 7 个科室（外科、妇科、眼科、耳鼻喉科、骨科、急诊科和口腔外科）提供服务，其中有 9 个主手术室和 3 个临时性手术室。 根据手术室使用的小时数，分为”短时使用” 和” 长时使用”。手术均安排在周一到周五。表 1 汇总了不同类型手术室每天的可用情况，
3、表 2 给出了每周手术室时间的需求情况，其中的可允许的分配不足的小时数是可以拒绝一个科室的最多小时数(相对于其一周手术室时间请求)。表格 1 手术室可用时间可用小时数星期主手术室”短时使用”主手术室”长时使用”临时手术室”短时使用”临时手术室”长时使用”星期一 08:00-15:30 08:00-17:00 08:00-15:30 08:00-16:00星期二 08:00-15:30 08:00-17:00 08:00-15:30 08:00-16:00星期三 08:30-15:30 08:00-16:30 08:30-15:30 08:00-16:30星期四 08:00-15:30 08:0
4、0-17:00 08:00-15:30 08:00-16:00星期五 09:00-15:30 09:00-17:00 09:00-15:30 09:00-17:00手术室数量 9 3表格 2 手术室时间的每周需求小时数科室 每周需求小时 可允许的分配不足的小时数外科 194.00 11.0妇科 121 10.0眼科 43.00 9.00口腔外科 23.00 9.00耳鼻喉科 34.00 8.00骨科 47 8.00急诊科 8 3.00要求建立数学模型解决以下问题：问题 1. 利用表 1，表 2 所给数据为每天手术室安排确定一个你认为合理的分配方案。问题 2. 若表 1 数据不变，但表 2 中各
5、科室每周需求小时数都增加 10%，而可允许的分配不足的小时数不变，这时请你给出新的合理的分配方案。符号说明表格 3 符号说明符号 符号所表示的意义 备注星期 i，用作 k 的主手术室的个数 i:1,2,3,4,5；k:0 表示短时,1 表示长时3星期 i，用作 k 的临时手术室的个数 i:1,2,3,4,5；k:0 表示短时,1 表示长时星期 i，j 科的手术时间 i:1,2,3,4,5；j:1,2,3,4,5,6,7;星期 i，j 科使用主手术室作短时使用的个数i:1,2,3,4,5；j:1,2,3,4,5,6,7;星期 i，j 科使用主手术室作长时使用的个数i:1,2,3,4,5；j:1,
6、2,3,4,5,6,7;星期 i，j 科使用临时手术室作短时使用的个数i:1,2,3,4,5；j:1,2,3,4,5,6,7;星期 i，j 科使用临时手术室作长时使用的个数i:1,2,3,4,5；j:1,2,3,4,5,6,7;主短N主手术室“短时使用 ”的个数 N N 可以为整数，也可以为小数，小数时表示使用手术室的一部分时间主长N主手术室“长时使用 ”的个数 N N 可以为整数，也可以为小数，小数时表示使用手术室的一部分时间临短N临时手术室“短时使用 ”的个数 N N 可以为整数，也可以为小数，小数时表示使用手术室的一部分时间临长N临时手术室“短时使用 ”的个数 N N 可以为整数，也可以
7、为小数，小数时表示使用手术室的一部分时间基本假设1、各科室所进行的每一个手术的时间均不会超过所在手术室能够提供的最大时间；2、一旦手术室分配给某科室，该科室必须使用完当天手术室提供的全部时间（整数规划时） ；3、手术室之间除使用时间长短外无其他差异，临时手术室与主手术室资源配置相同，即临时手术室可以当作主手术室来使用；4、7 个科室在手术室的分配问题上不分主次，按照同等位置来处理；注：后两条假设均在初步建模过程中使用。4问题分析手术室的合理分配方案目标是：在满足手术时间需求的情况下，使总体时间尽可能的短，提高手术室的利用效率，优化资源的配置。题中已经给出的是手术室的可用时间（表 1）和需求的时
8、间（表二） ，因此，可根据两者之间的关系，结合一些必要的限制，构成约束条件，利用线性规划和整数规划的模型加以处理，而这也是该模型的关键所在。模型建立模型一：设 , 为医院在星期 i 提供给 j 科室的不同种类手术室的数量（i 表示星期，1= , j=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7;7.5 +9 +7.5 +8 = , j=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7;7 +8.5 +7 +8.5 = , j=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7;57.5 +9 +7.5 +8 = , j=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7;6.5 +8 +6.5 +8 = , j=1, 2, 3, 4
9、, 5, 6, 7;2、一周（五天）医院分配给每个科室的手术时间要大于等于该科室的需求时间：=194;=121;=43;=23;=34;=47;=8;3、各科室每天需求的手术室总数量不超过医院提供的手术室总数量：+ =194*1.1;=121*1.1;=43*1.1;=23*1.1;=34*1.1;外科 妇科 眼科 口腔外科耳鼻喉科骨科 急诊科星期一 主长 2临短 2主短 3 主短 3 临长 1 主长 1星期二 主短 1主长 7临长 1主长 1 临长 1星期三 主长 9临短 1临长 1临短 1星期四 主短 1主长 4主短 1 临短 1 主长 1 主长 2临长 1星期五 主短 4临短 2临短 1
10、 主短 2 主短 2主长 17=47*1.1;=8*1.1;使用 lingo 软件求解，未找到全局最优解，仔细对比数据，并通过简单的计算不难发现，由于各科室每周的需求时间增加了 10%，导致在现有条件下不能够完全满足各科室的手术时间要求，简单的讲，就是说当前医院各手术室能够提供的总时间已经小于各科室手术的需求总时间，因此需要进一步考虑各科室可允许的分配不足的小时数。为简化模型，可先直接用需求时间减去可允许分配不足的小时数来替代需求时间，这样再次修改约束条件如下所示：=194*1.1-11;=121*1.1-10;=43*1.1-9;=23*1.1-9;=34*1.1-8;=47*1.1-8;=
11、8*1.1-3;调用 lingo 可求得全局最优解（程序见附录一程序二）：Feasible solution found.Objective value: 465.5000Extended solver steps: 10090Total solver iterations: 63757仿照第 1 小题，将各变量的数值经整理后可归纳为表格 5（具体分配方案）：表格 5外科 妇科 眼科 口腔外科耳鼻喉科骨科 急诊科星期一 主短 3主长 5主短 1 临长 2 临长 1星期二 主长 7 主长 2 临长 3星期三 主短 1主长 4主短 2主长 2临短 1 临长 2星期四 主短 9临长 28星期五 主短
12、 8 临短 3 主短 1模型二：问题一、考虑到在做手术时，不一定要每个科室每天分配到的手术室个数必须为整数（如 0.5 表示使用手术室能够提供的时间的一半） ，因此，在模型一中的约束条件有些局限性，并不是很合适，在此模型中做出进一步的优化。去掉每科室每天分配到的手术时间个数必须为整数这一约束条件，其他与模型一基本保持不变，很容易得到模型二，使用 lingo 求解，Global optimal solution found.Objective value: 470.0000Total solver iterations: 56根据所得数据，整理后可得到如下分配方案：表格 6 一般非线性规划分配方
13、案外科 妇科 眼科 口腔外科耳鼻喉科骨科 急诊科星期一 主长1.38主长1.61主长1.22临长 2临长 1星期二 主长 9临长 3星期三 临长 3星期四 主长 9 临长 2 临长 1星期五 主长2.88主长4.25主长1.88临长 3问题二、参考上一问和模型一中问题二处理方法，很容易构建此处的模型，方法类似，故不再细述。注意：在实际问题中，往往不是每个手术都会用去整个手术室的全部时间，大多数情况下，还是只用去一部分时间， ， ， 的取值使用小数更加合理一些。因此，在下面的问题讨论中，除特殊说明， ， ， 均可使用小数形式。模型结果分析及改进结果分析：在上述两种模型的求解过程中，我们会得到大量
14、的有关各个手术室在科室分配中的数据，为分析方便，我们以模型一的问题一为例，将数据进行整理，绘制成柱形图表如下：9图表 1：星期一 图表 2：星期二图表 3：星期三 图表 4：星期四图表 5：星期五10显然，五个图表清楚、直观的体现出各个手术室在分配时的具体使用情况，同样，也暴露出在分配时存在的一些问题（以模型一的问题一为例）：1、对于某一科室来说，手术室的分配过于集中，时间分配不均匀，譬如只在星期二的时候分配给急诊科一个临时手术室做“长时使用” ，就已经满足急诊科每周（五天）8 小时的需求，而在其他时间医院不为急诊科提供手术室，这显然与医院的实际情况不相符；对于患者来说，不可能都集中到星期二到
15、医院看病，尤其作为急诊，患病具有随机性，不能人为控制，上述两种模型均存在这一不足。2、假设缺漏：建模过程中将 7 个科室在手术室的分配问题上不分主次，按照同等位置来处理；而实际上，这七个科室之间在做手术时还是有一定的差别的。如某些科室由于手术要求条件较高，只能在主手术室做手术；再比如，某些科室由于手术时间较长，只能安排的长时手术室。下面我们会对某些方面进行简单的改进。模型改进一：针对第一处不足，在分配手术室时应尽可能使每个科室每天都能分配到一定的时间来进行相关手术，这就需要我们增加约束条件来控制 在某个范围之内，同样以急诊科为例，急诊科每周需求的最大时间为 8 小时，如果满足急诊科每天都能分配
16、到一定时间，那么不妨让 1=t(1,j);for(keshi(j):7.5*a(2,j)+9*b(2,j)+7.5*c(2,j)+8*d(2,j)=t(2,j);for(keshi(j):7*a(3,j)+8.5*b(3,j)+7*c(3,j)+8.5*d(3,j)=t(3,j);for(keshi(j):7.5*a(4,j)+9*b(4,j)+7.5*c(4,j)+8*d(4,j)=t(4,j);for(keshi(j):6.5*a(5,j)+8*b(5,j)+6.5*c(5,j)+8*d(5,j)=t(5,j);!一周（五天）医院分配给每个科室的手术时间要大于等于该科室的需求时间;sum(
17、week(i):t(i,1)=194;sum(week(i):t(i,2)=121;sum(week(i):t(i,3)=43;17sum(week(i):t(i,4)=23;sum(week(i):t(i,5)=34;sum(week(i):t(i,6)=47;sum(week(i):t(i,7)=8;!a,b,c,d与x,y之间的等量转换关系;sum(keshi(j):a(1,j)=x10;sum(keshi(j):a(2,j)=x20;sum(keshi(j):a(3,j)=x30;sum(keshi(j):a(4,j)=x40;sum(keshi(j):a(5,j)=x50;sum(k
18、eshi(j):b(1,j)=x11;sum(keshi(j):b(2,j)=x21;sum(keshi(j):b(3,j)=x31;sum(keshi(j):b(4,j)=x41;sum(keshi(j):b(5,j)=x51;sum(keshi(j):c(1,j)=y10;sum(keshi(j):c(2,j)=y20;sum(keshi(j):c(3,j)=y30;sum(keshi(j):c(4,j)=y40;sum(keshi(j):c(5,j)=y50;sum(keshi(j):d(1,j)=y11;sum(keshi(j):d(2,j)=y21;sum(keshi(j):d(3,
19、j)=y31;sum(keshi(j):d(4,j)=y41;sum(keshi(j):d(5,j)=y51;!各科室每天需求的手术室总数量不超过医院提供的手术室总数量;for(week(i):sum(keshi(j):a(i,j)+b(i,j)=194*1.1-11;sum(week(i):t(i,2)=121*1.1-10;sum(week(i):t(i,3)=43*1.1-9;sum(week(i):t(i,4)=23*1.1-9;sum(week(i):t(i,5)=34*1.1-8;sum(week(i):t(i,6)=47*1.1-8;sum(week(i):t(i,7)=8*1.
20、1-3;程序三：!在程序一的基础上增加约束条件，并去掉整数限制;for(week(i):t(i,7)=1);程序四：!在程序三的基础上增加约束条件：for(week(i):c(i,7)=0);for(week(i):d(i,7)=0);for(week(i):c(i,6)=0);for(week(i):d(i,6)=0);for(week(i):c(i,1)=0);for(week(i):d(i,1)=0);程序五：!在程序四的基础上增加约束条件：for(week(i):a(i,2)=0);for(week(i):a(i,4)=0);for(week(i):c(i,2)=0);for(week(i):c(i,4)=0);
