1、数字滤波器(DF)的定义 输入和输出均是数字信号，通过一定运算关系(数值运算)，改变输入数字信号所含频率成份的相对比例或滤除某些频率成份的器件。如何用数字滤波器处理模拟信号？ 通过A/DC和D/AC，用数字滤波器对模拟信号进行处理。,第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计,数字滤波器的数学描述,差分方程,系统函数,1、数字滤波器的分类 (1) 一般分类 经典滤波器（选频滤波器）：适用于信号中有用的频率成分和希望滤除的频率成分占用不同的频带的情况，通过选频滤波器达到滤波的目的。 现代滤波器：适用于信号和干扰的频带相互重叠的情况，通过现代滤波器利用信号的统计分布规律，从干扰中最佳提取信号。如：维纳滤
2、波器、卡尔曼滤波器和自适应滤波器等。本书只讨论选频滤波器的设计。 (2) 从滤波器的功能上来分类分为低通、高通、带通、带阻滤波器,理想滤波器幅度特性,特点：(1)h(n)非因果且无限长，物理不可实现，只能尽可能逼近；(2)DF的频率响应以2为周期，低频区域处于的偶数倍附近，高频区域处于的奇数倍附近。,(3)从滤波器的实现网络结构或从单位脉冲响应来分类 无限脉冲响应(IIR)数字滤波器有限脉冲响应(FIR)数字滤波器：,在数字滤波器中，一般考察其半个周期=0，的频域特性； 在模拟滤波器中，通常考察其=0，范围内频率域的特性。,N阶IIR滤波器系统函数,N1阶FIR滤波器系统函数,2、数字滤波器的
3、技术要求 数字滤波器的传输函数H(ejw)|H(ejw)|系统的幅频特性：表示信号通过该滤波器后各频率成分衰减情况。系统的相频特性：反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况。,p：通带截止频率，通带频率范围：0 p ； S ：阻带截止频率，阻带频率范围：s ； C ：3dB截止频率；P：通带最大衰减；S：阻带最小衰减 1：通带内幅度响应误差范围；2：阻带内幅度响应误差范围；,如将|H(ej0)|归一化为1，上两式则表示成,3. 数字滤波器设计方法IIR滤波器设计方法：(1)先设计模拟滤波器(AF)的系统函数Ha(s)；然后按某种变换，将Ha(s)转换成数字滤波器的系统函数H(z)。(2)
4、借助CAD(计算机辅助设计)在频域或时域直接设计；FIR滤波器设计方法(1)经常采用的是窗函数设计法和频率采样法.(2)用计算机辅助的切比雪夫最佳一致逼近法设计。,6.3 模拟滤波器(AF)的设计,模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型的模拟滤波器可以选择。如：巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭圆(Kllipse)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等，这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用。,AF的表示：,AF的设计：找到ha(t) 或Ha(s)（更多时候）, 即找到典型滤波器公式中的阶和未知参数。,各种
5、理想模拟滤波器的幅度特性,可实现模拟滤波器的幅度特性,滤波器,无源滤波器（由R、L、C等元件组成）,有源滤波器（由运放、R、C等元件组成）,有源滤波器的工作频率难以做得很高,而无源滤波器的工作频率很高,设 为某一频率正弦量,有源低通滤波器,为改善滤波效果，常采用二阶低通滤波器,有源高通滤波器,只需将低通滤波器的 R、C 互换,1.模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法 (1) 设计指标有：p、s、 p、 s 其中：p和s分别称为通带截止频率和阻带截止频率; p是通带 (0p)内允许的最大衰减系数， s是阻带（s）内允许的最小衰减系数，,图中c称为3dB截止频率，因,如果=0处幅度已归一化到1，即:
6、|Ha(j0)|=1,技术指标高指： p越小、s越大、过渡带越小越好。,技术指标可归纳为：,(2) 用模拟滤波器逼近方法设计滤波器步骤： 给出模拟滤波器的技术指标 ； 设计传输函数 Ha(s)：使其幅度平方函数满足给定指标ap和as，|Ha(j)|2 = Ha(j)Ha*(j) = Ha(s)Ha(-s)|S=j 确定Ha(s)：系统Ha(s)应是稳定的系统，因此，极点应位于S 左半平面内。,特点： 单调变化。当=0时，|H(j)|=1； 3dB点必通过。当=c时，|H(j)|= N越大，曲线越陡峭。当N=,就是理想滤波器。,2、Butterworth 低通滤波器的设计方法 巴特沃斯低通滤波器
7、的模方函数|Ha(j)|2用下式表示：,N: 滤波器阶数。,c是3dB截止频率。,Butterworth低通滤波器的幅度函数只由阶数N控制,巴特沃斯滤波器的设计步骤 (1) 根据给出的技术指标P、S、p、S，求N， c,N可能有小数部分，取大于等于N的最小整数。,k=0,1,(2N-1),2N个极点等间隔分布在半径为c的圆上，间隔是/Nrad，其中，一半是Ha(s)的极点，另一半是Ha(-s)的极点。则左半平面的N个极点属于Ha(s) (稳定系统)，右半平面N个极点属于Ha(-s).,N=3,设N=3，极点有6个，它们分别为,取s平面左半平面的极点s0,s1,s2组成Ha(s)：,极点在s平面
8、呈象限对称，分布在Buttterworth圆上，共2N点,极点间的角度间隔为,极点不落在虚轴上,N为奇数，实轴上有极点，N为偶数，实轴上无极点,一半极点在左半平面,一半极点在右半平面,=/c，称为归一化频率，,可知：只要知道阶数N，就可得到极点pk。 查表P120 表6.1可直接得到极点pk和归一化系统函数Ha(p),图表法：为使滤波器能统一设计，将所有的频率对3dB截止频率c归一化，归一化后的Ha(s)表示为 ：,将Ha(p)去归一化，得到系统函数Ha(s),表6. 1 巴特沃斯归一化低通滤波器参数,表示两极点P1、PN-2,阶数N的确定,阶数N的大小主要影响幅度特性下降的速度，它应该由技术
9、指标确定。将=p代入幅度平方函数中:,将=s代入幅度平方函数中:,用上式求出的N可能有小数部分，应取大于等于N的最小整数。,关于3dB截止频率c，如果技术指标中没有给出，可以按照下面两式求出：,通常是用一个算出c，然后用另一个(反过来)来检验。,总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：,根据技术指标p,p,s, s，求出滤波器的阶数N。,(2) 求出归一化极点pk，得到归一化传输函数Ha(p)。,(3) 将Ha(p)去归一化。将p=s/c代入Ha(p)，得到实际的滤波器传输函数Ha(s)。,解：(1) 设计模拟滤波器的指标为p=2fp=104(rad/s)， ap=2dBs=2fs=2.4
10、104(rad/s)， as=30dB(2) 确定阶数N和c,【例】通带截止频率fp=5kHz，最大衰减p=2dB，阻带截止频率fs=12kHz，最小衰减s=30dB，设计巴特沃斯低通滤波器。,(3) 由N，查表确定Ha(p),b0=1.0000、b1=3.2361、b2=5.2361、b3=5.2361、b4=3.2361,N=5,(4) 将p=s/c 代入Ha(p)去归一化，得Ha(s),(3) 为将Ha(p)去归一化，先求3dB截止频率c。,检验：,可以看出，满足s=30dB 的真实fs在10.525kHz处，与12kHz比，还有富裕量。,6.3.4 Chebyshev低通滤波器的设计方
11、法,提出的背景巴特沃斯滤波器的频率特性曲线，无论在通带和阻带都是频率的单调函数。因此当通带边界处满足指标要求时，通带内肯定会有余量。因此，更有效的设计方法应该是将精确度均匀地分布在整个通带内，或者均匀分布在整个阻带内，或者同时分布在两者之内。这样，就可用阶数较低的系统满足要求。这可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来达到。,切比雪夫多项式,当N=0时，C0(x)=1 当N=1时，C1(x)=x 当N=2时，C2(x)=2x2-1 当N=3时，C3(x)=4x3-3x 当N=4时，C3(x)=8x4-8x2+ 1 切比雪夫多项式的递推公式为 C N+1 (x)=2xCN(x)-C N-1 (x),
12、切比雪夫型与巴特沃斯低通的幅度函数平方曲线,通带内：在1和 间等波纹起伏,N为奇数,N为偶数,通带外：迅速单调下降趋向0,Chebyshev滤波器的三个参量：,Wp ：给定; e ; N,滤波器阶数N 的确定,阻带衰减越大所需阶数越高,滤波器的设计步骤:,归一化：,2)根据技术指标求出滤波器阶数N及 ：,计算传函 ： 极点法,计算传函 ：查表法,2. 通带波纹1dB,6.4 用模拟滤波器设计IIR数字滤波器,利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器设计过程：,设计技术成熟 有相当简便的 公式和图表,要求DF特性 模仿AF的特性,实际上是个映射问题 Mapping,若转换后的H(z)稳定且满足技术要求
13、，则设计过程要满足： (1) 因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。 (2) 数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响，s平面的虚轴映射到z平面的单位圆上。,满足上述转换关系的映射方法有：,脉冲响应不变法和双线性变换法,一、脉冲响应不变法的基本思想使h(n)模仿ha(t)，让h(n)正好等于ha(t)的采样值二、变换方法 设模拟滤波器Ha(s)只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，将Ha(s)用部分分式表示：,Ha(s)LT-1Ha(s)ha(t)时域采样h(n)ZTh(n)H(z),所以说脉冲响应不变法是一种时域上的变换方法,si为Ha(s)的单阶极点,LT-
14、1Ha(s),U(t)为单位阶跃函数,对ha(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到：对上式进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数H(z)：结论:(1) S平面的单极点s=si映射到Z平面的极点z=esiT。(2) Ha(s)部分分式的系数与H(z)部分分式的系数相同。（3）左半平面映射到单位圆内，模拟滤波器稳定则数字滤波器稳定,三、S平面和Z平面之间的映射关系 1、采样信号的拉氏变换与相应的序列的Z变换之间的映射关系： (1) 设ha(t)的采样信号表示为: (2) 对 进行拉氏变换，得到,2、模拟信号的拉氏变换与相应的序列的Z变换之间的映射关系： 模拟信号ha(t)的傅里叶变换Ha(j)和其
15、采样信号 的傅里叶变换 之间的关系满足：结论：采样信号的拉氏变换是原模拟信号的拉氏变换在S平面沿虚轴以s=2/T为周期进行的周期延拓；,将s=j代入上式，得：,说明：采用脉冲响应不变法将AF变换为数字DF时Ha(s)沿虚轴以s=2/T为周期进行周期延拓;再经过Z=eST的映射关系映射到Z平面上，从而得到H(z) 上面的这种转换是否满足对转换关系提出的2点要求: 设：S=j，Z=rejw 脉冲响应不变法标准映射关系： Z=eSTrejw=e(j)T=eTe jT 得到：r= eT； w=T,频率域的坐标变换是线性的,因果稳定 模仿频响,由采样信号的拉氏变换与相应的序列的Z变换之间的映射关系：,0
16、时，S平面的右半平面映射到Z平面的单位圆外(r=|z|1) 以上分析结论：若Ha(s)是因果稳定的，则转换后的H(z)也是因果稳定的。,r= eT,因果稳定的分析,当不变，模拟角频率变化2/T整数倍，映射值不变，S平面上每一条宽度为2/T的水平横带都重迭地映射到Z平面的整个全平面上每条水平横带的左半部分映射到Z平面单位圆内；水平横带右半部分映射到Z平面的单位圆外j虚轴上每2/T段都对应着单位圆一周,z=esT是周期函数,由上面分析结果：S平面与Z平面的映射关系满足转换条件；但存在着多值(s)单值(z)映射关系,(3) DF的频响是AF频响的周期延拓,频率混叠,只有AF频响限于/T之内，DF频响
17、才不失真地复现AF频响，否则，设计出来的DF在w=附近产生频率混叠。,(2) 采样信号的拉氏变换是其模拟信号的拉氏变换以2/T为周期，沿虚轴进行周期化。,脉冲响应不变法的应用受限 只适合设计带限滤波器，如：低通、带通滤波器的设计，不适合高通、带阻滤波器的设计。,假设 没有频率混叠现象，即满足：,按照上式，并将关系式s=j代入，=T，代入得到：,数字滤波器的频响可以很好模仿模拟滤波器的频响,四、 脉冲响应不变法的优缺点 优点：1、频率变换是线性关系; w=T ，模数字滤波器可以很好重现模拟滤波器的频响特性；2、数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，时域特性逼近好； 缺点：1.
18、 有频谱混迭失真现象；(S平面到Z平面有多值映射关系) 2. 由于频谱混迭，使应用受到限制。(T失真，但运算量,实现困难),冲激响应不变法将模拟滤波器转换为数字滤波器，采样间隔为0.1s。,S平面极点,Z平面极点,例：已知模拟低通滤波器的系统函数为 ,用脉冲响应不变法将 转换成数字滤波器的系统函数 。,解：首先将 展为部分分式的形式,极点为：,数字滤波器的系统函数为：,设T=1s，得：,设T=0.1s，得：,将 三者的幅度特性用它们的最大值归一化后的 幅度特性如图所示。,AF的幅度特性,DF的幅度特性,【例】 已知模拟滤波器的传输函数Ha(s)为用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成数字滤波器的系
19、统函数H(z) 解：首先将Ha(s)写成部分分式：极点为：根据： ，H(z)的极点为：,按照： ，经过整理，得到当：T=1s时用H1(z)表示，T=0.1s时用H2(z)表示，则：将Ha(j) 、H1(ejw)、 H2(ejw)的幅度特性用它们最大值归一化后，得到它们的幅度特性曲线，如下图所示：,很轻的混叠现象,严重的混叠现象,例：用脉冲响应不变法设计巴特沃思数字低通滤波器，要求在频率小于 的通带内，幅度特性下降小于等于1dB；在频率 到 之间的阻带衰减大于等于15dB。,解：（1）待设计的数字低通滤波器的技术指标为：,查表得到归一化系统函数为,求3dB截止频率,去归一化,（4）求相应的数字滤
20、波器的系统函数,（5）检查设计的数字滤波器是否满足给定的指标要求,脉冲响应不变法的主要缺点:产生频率谱混迭现象。原因：模拟低通的最高频率超过了折叠频率/T，数字化后在w= 形成频谱混叠现象。解决方法：采用非线性压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到/T 之间，而后再用 Z=eST 转换到 Z 平面上。,6.4.4 用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器,一双线性变换法消除频谱混迭的原理 1、非线性压缩：(S平面S1平面映射) 双线性变换法用正切变换实现非线性频率压缩， 设Ha(s)，s=j，经过非线性频率压缩后用Ha(s1)， s1=j1 表示。则：上式表明：当1从/T经过0变化到-/T时，
21、则由经过0变化到-，这样实现了s平面上整个虚轴完全压缩到s1平面上虚轴的/T之间的转换。,T：时域采样间隔；,由上面可得：(-，+)，1(-/T，+/T) ；,2、S1平面到Z平面的映射,将S1平面映射到Z平面上，用标准映射Z=eS1T。代入上式,双曲正切：th(x)=sh(x)/ch(x),3、双线性不变法的映射关系 映射过程：从s平面映射到s1平面，再从s1平面映射到z平面。S平面与Z平面是一一对应的单值映射关系，消除了脉冲响应不变法的多值映射关系，消除了频谱混迭现象。只要模拟滤波器Ha(s)因果稳定，其极点应位于S左半平面，转换成的H(z)也是因果稳定的，位于单位圆内。,0,0,1,j1
22、,j,/T,-/T,2/T tan(1T),Z=es1T,S平面,S1平面,Re(z),jIm(z),0,z平面,二、模拟频率和数字频率之间的关系 将：Z=ej ，S=j，代入SZ平面映射关系式：,说明：s平面上 与z平面的成非线性正切关系，当增加时， 增加得很快，当 趋于 时，趋于，由于这种非线性关系，消除了频率混叠现象。 代价：影响数字滤波器频响逼真模拟滤波器的频响的逼真度，存在幅度失真和相位失真。,频率关系,非线性,三、双线性变换法特点 1、优点消除了频谱混迭失真；频率映射表明S平面与Z平面是一一对应的单值映射关系，避免了脉冲响应不变法的频谱“混迭”现象。 2.缺点以频率变换的非线性为代
23、价，模拟域和数字域进行非线性映射，其瞬时响应不如脉冲响应不变法好。,四、双线性变换法的幅度失真和相位失真情况如果的刻度是均匀的，通过非线性正切关系，映射到z平面的刻度不均匀，随增加越来越密，即边界频率发生畸变。 如果模拟滤波器具有片段常数特性，则转换到z平面仍具有片段常数特性。适于片段常系数滤波器的设计。,幅度特性失真,相位特性失真,例：已知模拟滤波器的系统函数 ，试用双线性变换法将 转换成数字滤波器的系统函数 。,设T=1s，则：,解：,双线性变换法设计的数字滤波器的频响限制在0和之间，不存在频率响应的混叠现象。,例： 已知Ha(s)=a/(a+s)，a=1/(RC)，求H(z)。 解：1、
24、用脉冲响应不变法时，先确定极点：s= a，则2. 用双线性不变法时,T为采样间隔,其中：,设:a1000,T=0.001和T=0.002，H1(z)和H2(z)的归一化幅频特性如图所示,双线性变换法,脉冲响应不变法,模拟滤波器幅频特性,250Hz,500Hz,存在混叠,不存在混叠，曲线形状差别大,五、用模拟滤波器设计IIR数字低通滤波器步骤 (1)确定数字低通滤波器的性能指标；(Wp，ap，Ws，aS) (2)确定相应模拟低通滤波器的性能指标；脉冲响应不变法： = W /T双线性变换法： =2/Ttan(W) (3)设计模拟低通滤波器的传输函数Ha(S)； (4)将Ha(S) 转换成数字滤波器
25、系统函数 H(z)； 利用脉冲响应不变法设计时，应先确定Ha(s)极点，按 Z=eST 映射极点，求出H(z)。若利用双线性变换法，设采样间隔为T，则,例6.5：要求设计一数字低通滤波器，指标为：在通带内频率低于0.2rad/s时，容许幅度误差在1dB以内；在频率0.3之间，阻带衰减大于15dB。指定模拟滤波器采用巴特沃斯低通滤波器。分别用脉冲响应不变法和双线性变换法设计H(z)。,解：采用脉冲响应不变法 (1)数字域指标: P=0.2 rad，p=1dB ，S=0.3 rad，S=15dB (2)模拟域指标：取T=1，则：p=Wp/T=0.2rad/s，s=0.3rad/s，P=1dB， s
26、=15dB。 (3) 设计模拟低通AF：要求采用巴特沃斯低通滤滤器,取N=6，查表，得归一化传输函数Ha(p),去归一化：c =p(100.1ap1)1/2N=0.7032 rad/s 将p=s/c代入Ha(p)得到去归一化传输函数(4)求DF的H(z) 求出Ha(S)的极点Si 由映射Z = esit 确定出相应数字滤波器的传输函数H(z),用脉冲响应不变法设计的数字低通滤波器的幅度特性,用双线性变换法设计数字低通IIR滤波器 (1)数字域指标: P=0.2 rad、p=1dB 、 S=0.3 rad、S=15dB (2)模拟域指标：取T=1P=1dB， s=15dB(3)设计模拟低通AF：
27、要求采用巴特沃斯低通滤滤器,取N=6，查表，得归一化传输函数Ha(p) 去归一化：c =p(100.1ap1)1/2N= 0.7662 rad/s 去归一化传输函数Ha(s)=Ha(p)|p=s/c(4) 求数字Filter的H(z),例：用双线性变换法设计数字低通滤波器，要求在频率小于等于100Hz的通带内，幅度的衰减特性不大于2dB；在频率大于等于300Hz的阻带内，衰减不小于15dB ，采样频率为1000Hz，采用巴特沃思型滤波器。,采样频率为1000Hz，所以T=0.001s，待设计的数字低通滤波器的技术指标为：,解:（1）确定待设计的数字低通滤波器的技术指标：,（2）确定模拟低通滤波
28、器的技术指标：,设T=1s,（3）设计模拟巴特沃思低通滤波器：,取N=2,（4）由求其相应数字滤波器的系统函数：,（5）校核所设计的数字滤波器是否满足给定的指标要求：,所设计的数字滤波器满足给定的指标要求。,6.5 模拟高通、带通、带阻滤波器的设计,1) 高通的设计,为了简单，通带指标通常为：,归一化以 为基准,模拟高通滤波器的设计步骤如下：,A、确定高通滤波器的技术指标：通带下限频率p，阻带上限频率s，通带最大衰减p，阻带最小衰减s。,B、确定相应低通滤波器的设计指标，将高通滤波器的边界频 率转换成低通滤波器的边界频率，各项设计指标为：,低通滤波器通带截止频率p=1/p； 低通滤波器阻带截止
29、频率s=1/s； 通带最大衰减仍为p，阻带最小衰减仍为s。,C、设计归一化低通滤波器G(p)。,D、求模拟高通的H(s)。将G(p) 先转换成归一化高通H(q)，再去归一化，得H(s)：,补充：,高通的设计步骤： 1）确定归一化的高通滤波器技术指标：,2）频率转换成归一化的低通技术指标：,3）由低通指标设计归一化的巴特沃斯低通滤波器：,G(p),4) 频率反变换为高通H(q), 再去归一化求模拟高通的H(s)。,失效,例： 设计高通滤波器，fp=200Hz、fs=100Hz，幅度特性单调下降，fp处最大衰减为3dB，阻带最小衰减s=15dB。,解： 高通技术要求,fp=200Hz p=3dB
30、fs=100Hz, s=15dB,归一化频率,低通技术要求：, 设计归一化低通G(p)。采用巴特沃斯滤波器，故, 求模拟高通H(s)：,2) 模拟带通的设计,归一化基准：,表6.2.2 与的对应关系,频率变换关系：,带通的设计步骤： 1）确定带通滤波器的归一化技术指标：,2）频率转换成归一化低通指标：,归一化基准：,频率变换关系：,s与-s的绝对值可能不相等，一般取绝对值小的s，这样保证在较大的s处更能满足要求。,(3) 设计归一化低通G(p)。,求N,G(p),失效,4) 频率反变换为带通H(q), 再去归一化求模拟带通的H(s)。,(2) 低通到带通的频率变换,低通与带通滤波器的幅度特性如
31、图：,频率变换公式,上式称为低通到带通的频率变换公式。利用该式将带通的边界频率转换成低通的边界频率。,下面推导由归一化低通到带通的转换公式：,将q=j代入上式，得到：,为去归一化，将q=s/B代入 ，得到：,模拟带通的设计步骤,A、 确定模拟带通滤波器的技术指标，即：,带通上限频率u，带通下限频率l,下阻带上限频率s1 ,上阻带下限频率s2,通带中心频率02=lu，通带宽度B=u-l,与以上边界频率对应的归一化边界频率如下：,B、 确定归一化低通技术要求：,s与-s的绝对值可能不相等，一般取绝对值小的s，这样保证在较大的s处更能满足要求。,通带最大衰减仍为p，阻带最小衰减亦为s。,C、设计归一
32、化低通G(p)。,D、 将G(p)转换成带通H(s)。,例：设计模拟带通滤波器，通带带宽B=2200rad/s，中心频率0=21000rad/s，通带内最大衰减p=3dB，阻带s1=2830rad/s,s2=21200rad/s，阻带最小衰减s=15dB。,解 ：(1) 模拟带通的技术要求,0=21000rad/s, p=3dB s1 =2830rad/s,s2=21200rad/s, s=15dBB = 2200rad/s; 0= 0 /B = 5, s1= s1 /B = 4.15, s2 = s2 /B = 6,(2) 模拟归一化低通技术要求：,取s=1.833, p=3dB, s=15
33、dB。,(3)设计模拟归一化低通滤波器G(p)：,取N=3，查表得：,(4) 求模拟带通H(s)：,模拟带阻的设计,归一化基准：,带阻的设计步骤： 1）确定带阻滤波器的归一化技术指标：,2）频率转换成归一化低通指标：,归一化基准：,频率变换关系：,s与-s的绝对值可能不相等，一般取绝对值小的s，这样保证在较大的s处更能满足要求。,(3) 设计归一化低通G(p)。,求N,G(p),失效,4) 频率反变换为带阻H(q), 再去归一化求模拟带阻的H(s)。,(3) 低通到带阻的频率变换,低通与带阻滤波器的幅频特性如图,l和u分别是下通带截止频率和上通带截止频率，s1和s2分别为阻带的下限频率和上限频
34、率，0为阻带中心频率，02=ul，阻带带宽B=u-l，B作为归一化参考频率。相应的归一化边界频率为：,u=u/B, l=l/B, s1=s1/B, s2=s2/B; 02=ul,根据与的对应关系，可得到：,且u -l=1，p=1，上式称为低通到带阻的频率变换公式。将上式代入p=j，并去归一化，可得：,上式就是直接由归一化低通转换成带阻的频率变换公式。,设计带阻滤波器的步骤,A、确定模拟带阻滤波器的技术要求：,下通带截止频率l，上通带截止频率u 阻带下限频率s1，阻带上限频率s2 阻带中心频率02=ul，阻带宽度B=u-l 它们相应的归一化边界频率为l=l/B, u=u/B, s1=s1/B,
35、s2=s2/B, 20=ul 以及通带最大衰减p和阻带最小衰减s。,B、 确定归一化模拟低通技术要求，,取s和-s的绝对值较小的s；通带最大衰减为p，阻带最小衰减为s。,C、设计归一化模拟低通G(p),D、将G(p)转换成带阻滤波器H(s),例：设计模拟带阻滤波器，其技术要求为：l=2905rad/s, s1=2980rad/s,s2= 21020rad/s, u=21105rad/s, p=3dB, s=25dB。试设计巴特沃斯带阻滤波器。,解: (1) 模拟带阻滤波器的技术要求：l=2905,u=21105;s1=2980,s2=21020;02=lu=421000025,B=u-l=22
36、00;,l=l/B=4.525, u=u/B=5.525; s1=s1/B=4.9, s2=5.1; 20=lu=25,(2) 归一化低通的技术要求：,(3)设计归一化低通滤波器G(p)：,(4) 带阻滤波器的H(s)为：,数字高通、带通和带阻滤波器的设计,例如高通数字滤波器等。具体设计步骤如下： (1) 确定所需类型数字滤波器的技术指标。 (2) 将所需类型数字滤波器的技术指标转换成所需类型模拟滤波器的技术指标，转换公式为 (3)将所需类型模拟滤波器技术指标转换成模拟低通滤波器技术指标(4)设计模拟低通滤波器。 (5)将模拟低通通过频率变换，转换成所需类型的模拟滤波器。 (6)采用双线性变换
37、法，将所需类型的模拟滤波器转换成所需类型的数字滤波器。,例6.6 设计数字高通滤波器，通带截止频率p=0.8rad，通带衰减不大于3dB，阻带截止频率s=0.44rad,阻带衰减不小于15dB。采用巴特沃斯型滤波器 解： (1)数字高通的技术指标为p=0.8rad,p=3dB;s=0.44rad,s=15dB (2) 模拟高通的技术指标计算如下，令T=1，则有：,(3)模拟低通滤波器的技术指标计算如下：,将p和s对3dB截止频率c归一化，这里c=p,(4)设计归一化模拟低通滤波器G(p)。模拟低通滤波器的阶数N计算如下：,查表，得到归一化模拟低通传输函数G(p)为,为去归一化，将p=s/c代入
38、上式得到：,(5) 将模拟低通转换成模拟高通。将上式中G(s) 的变量换成1/s，得到模拟高通Ha(s)：,(6)用双线性变换法将模拟高通H (s)转换成数字高通H(z)：,实际上(5)、(6)两步可合并成一步，即,例6.7设计一个数字带通滤波器，通带范围为0.3rad到0.4rad，通带内最大衰减为3dB，0.2rad以下和0.5rad以上为阻带，阻带内最小衰减为18dB。采用巴特沃斯型模拟低通滤波器。解(1)数字带通滤波器技术指标为通带上截止频率u=0.4rad通带下截止频率l=0.3rad 阻带上截止频率s2=0.5rad阻带下截止频率s1=0.2rad通带内最大衰减p=3dB，阻带内最
39、小衰减s=18dB。,(2) 模拟带通滤波器技术指标如下：设T=1，则有,(通带中心频率),(带宽),将以上边界频率对带宽B归一化，得到u=3.348,l=2.348; s2=4.608,s1=1.498; 0=2.804 (3) 模拟归一化低通滤波器技术指标：,归一化通带截止频率,p=1 p=3dB,s=18dB,(4) 设计模拟低通滤波器：,(5) 将归一化模拟低通转换成模拟带通：(6)通过双线性变换法将Ha(s)转换成数字带通滤波器H(z)。 下面将(5)、(6)两步合成一步计算：,将上式代入(5)中的转换公式，得,将上面的p等式代入G(p)中，得,例6.8设计一个数字带阻滤波器，通带下
40、限频率l=0.19,阻带下截止频率s1=0.198，阻带上截止频率s2=0.202，通带上限频率u=0.21，阻带最小衰减s=13dB，l和u处衰减p=3dB。采用巴特沃斯型。解(1) 数字带阻滤波器技术指标：l=0.19rad,u=0.21rad,p=3dB;s1=0.198rad,s2=0.202rad,s=13dB,(2) 模拟带阻滤波器的技术指标：设T=1，则有,阻带中心频率平方为20=lu=0.421 阻带带宽为B=u-l=0.07rad/s,将以上边界频率对B归一化：l=8.786, u=9.786,s1=9.186, s2=9.386;20=lu=85.98(3) 模拟归一化低通
41、滤波器的技术指标：p=1,p=3dB,(4) 设计模拟低通滤波器：,(5) 将G(p)转换成模拟阻带滤波器Ha(s)：,(6) 将Ha(s)通过双线性变换，得到数字阻带滤波器H(z)。,6.6 IIR 数字滤波器的直接设计法,1. 零极点累试法称为零极点累试法。在确定零极点位置时要注意：(1)极点必须位于z平面单位圆内，保证数字滤波器因果稳定；(2)复数零极点必须共轭成对，保证系统函数有理式的系数是实的。,例6.9图 (a)零极点分布； (b)幅度特性,2.在频域利用幅度平方误差最小法直接设计IIR数字滤波器设IIR滤波器由K个二阶网络级联而成，系统函数用H(z)表示，,式中，A是常数；ai,
42、bi,ci,di是待求的系数；Hd(e j) 是希望设计的滤波器频响。如果在(0，)区间取N点数 字频率i,i=1,2,:,N，在这N点频率上，比较|Hd(e j)|和 |H(e j)|，写出两者的幅度平方误差E为,式中共有(4K+1)个待定的系数，求它们的原则是使E最小。下面我们研究如何求出(4K+1)系数。 E是(4K+1)个未知数的函数，用下式表示：,上式表示4K个系数组成的系数向量。为推导公式方便，令,为选择A使E最小，令,设k是 的第k个分量(ak或bk或ck或dk)，,因为 ,式中H*i表示对Hi函数共轭。,将上式具体写成对ak,bk,ck,dk的偏导，得到：,式中，k=1,2,3
43、,:,K；i=1,2,3,:,N。同理求得,由于系统函数是一个有理函数，极、零点均以共轭成对的形式存在，对于极点z1,一定有下面关系：,(a)要求的幅度特性；(b)k=1，2时的幅度特性,例 设计低通数字滤波器，其幅度特性如图 所示。截止频率s=0.1rad。,解 考虑到通带和过渡带的重要，在00.2区间，每隔0.01取一点i值，在0.2区间每隔0.1取一点i值，并增加一点过渡带，在=0.1处|Hd(e j)|=0.5。1.0,=0,0.01,0.02,:,0.09 0.5,=0.1 0.0,=0.11,0.12,:,0.19 0.0,=0.2,0.3,:,N=29，取k=1，系统函数为,待求
44、的参数是A，a1,b1,c1,d1。设初始值=(0000.25)T经过90次迭代，求得E=1.2611，系统函数零、极点位置为零点0.67834430j0.73474418;极点0.75677793j1.3213916 为使滤波器因果稳定，将极点按其倒数搬入单位圆内，再进行62次优化迭代，求得结果为零点0.82191163j0.56961501;极点0.89176390j0.19181084;Ag=0.11733978,E=0.56731,误差函数用下式表示：,3. 在时域直接设计IIR数字滤波器设我们希望设计的IIR数字滤波器的单位脉冲响应为 hd(n)，要求设计一个单位脉冲响应h(n)充分
45、逼近hd(n)。下 面我们介绍这种设计方法。设滤波器是因果性的，系统函数为,式中a0=1，未知系数ai和bi共有N+M+1个，取h(n)的一段，0np-1，使其充分逼近hd(n)，用此原则求解M+N+1个系数。将(6.6.13)式改写为,令p=M+N+1,则,(6.6.14),令上面等式两边z的同幂次项的系数相等，可得到N+M+1个方程：h(0)=b0 h(0)a1+h(1)=b1 h(0)a2+h(1)a1+h(2)=b2 上式表明h(n)是系数ai,bi的非线性函数，考虑到iM时，bi=0，一般表达式为：,设x(n)为给定的输入信号，yd(n)是相应的希望的输出信号，x(n)和yd(n)长
46、度分别为M和N，实际滤波器的输出用y(n)表示，下面我们按照y(n)和yd(n)的最小均方误差求解滤波器的最佳解，设均方误差用E表示：,上式中x(n),0nM1；yd(n)，0nN-1 为选择h(n)使E最小，令,由(6.6.18)式得到,例6.6.2设计数字滤波器，要求在给定输入x(n)=3,1的情况下，输出yd(n)=1,0.25,0.1,0.01,0。解 设h(n)长度为p=4，按照(6.6.20)式，得,列出方程： 10h(0)+3h(1)=3.25 3h(0)+10h(1)+3h(2)=0.85 3h(1)+10h(2)+3h(3)=0.31 3h(2)+9h(3)=0.03,解联立
47、方程，得h(n)=0.3333,0.0278,0.0426,0.0109将h(n)以及M=1,N=2代入(6.6.15),(6.6.16)式中，得a1=0.1824,a2=0.1126b0=0.3333,b1=0.0330滤波器的系统函数为,相应的差分方程为y(n)=0.3333x(n)+0.0330x(n1)0.1824y(n1)+0.1126y(n2)当x(n)=3,1时，输出y(n)为y(n)=0.9999,0.2499,0.1,0.0099,0.0095,0.0006,0.0012:将y(n)与给定yd(n)比较，y(n)的前五项与yd(n)的前五项很相近，y(n)在五项以后幅度值很小。,
