1、非线性系统混沌现象综述汪赛(北京信息科技大学 自动化学院，北京 100192)摘要：混沌现象是非线性系统所特有的一种复杂现象，已经引起了广泛的关注。本文综述了非线性系统中的混沌现象，从非线性系统混沌的概念阐述了非线性系统中混沌现象的特征和混沌运动的识别方法，并简述了混沌吸引子的定义。此外，用一种混沌神经网络模型通过 matlab 仿真观察到其状态方程所描述的图像，即混沌现象，让读者能更清楚的了解混沌。最后，指出混沌运动在实际工程中的一些应用和进一步的研究方向。关键词：混沌现象，非线性系统，混沌神经网络，matlab 仿真，混沌吸引子The Summarization of Chaos in N
2、onlinear SystemAbstract：Chaos is a complex unique phenomenon of a nonlinear system,has draw much attentions.This paper reviews the chaos in nonlinear system.From the concept of chaos in nonlinear system elaborated the feature of chaotic phenomena in nonlinear system and identification method of chao
3、tic motion,and describe the definition of a chaotic attractor.In addition.Using MATLAB simulations view the image of the equation of State in a chaotic neural network model.Allowing readers to fully understand chaos.Finally,the practical engineering application and further research directions of the
4、 chaos have been proposed.Key words：Chaos,Nonlinear System,Chaotic Neural Network,MATLAB Simulation，Chaotic Attractor0 引言混沌是一种貌似无规则的运动，指在确定性非线性系统中，不需附加任何随机因素亦可出现类似随机的行为（内在随机性）。混沌系统的最大特点就在于系统的演化对初始条件十分敏感，因此从长期意义上讲，系统的未来行为是不可预测的。早在本世纪初在研究复杂系统时就已经涉及到牛顿力学应用的第三个局限性问题，即牛顿力学在研究复杂系统时遇到了困难。当时美国数学家庞加莱（Poincar
5、）就发现，力学无法精确地处理“三体问题”。直到1963年，洛伦兹发现 ，一个确定的含有3个变量的自治方程，却能导出混沌解，说明天气从原则上讲不可能作出精确的预报。因此，在复杂性面前，牛顿力是无能为力的，从此就拉开了对混沌研究的序幕。混沌现象是非线性系统所特有的一种复杂现象，它是一种由确定性系统产生的对于初始条件极为敏感的具有内禀随机性、局部不稳定而整体的非周期运动。混沌运动模糊了确定新运动和随机运动的界限，为分析各种自然现象提供了一种全新的思路，甚至对人类认识自然界的一些基本观念如因果性、决定论等也有深刻的启示。近年来，混沌现象及其应用成为一个研究热点。1 非线性系统混沌的概念141.1 混沌
6、的基本特征考虑函数12),1(0,)xxf所决定的离散动力系统，由于f（x）的图像类似于帐篷，故称帐篷映射。下面要对每一个点 ，弄清楚 的性态，显见 ，1,0x)(0x 0,)(，对于 ，将它表为2进制小数：0,1)( )(1,0,.023110 kkaax有定义可知，如果记 ，则k1,).0(0)24325axf 由此表达式可知 的轨道有下列几种情况：1,0（1） 若 或 ，即 为有理232).( kax 2210).( kax0x数，且用真分数表示时，其分母是 ，则至多经过m+1次迭代后为零，即m。)(0mnx（2） 若 ，即 的二进制展开中，除前221210 ).( kkmaabx0x面
7、有限项外，后面的项呈周期出现，亦即 是有理数，且其真分数表示中，分0x母含有非2的因子，则经过有限次迭代后，迭代序列也将出现循环。（3） 若 的二进制展开中永远不产生循环，即 为无理数，则 的轨道0x 0x0x永远不会趋于零，也永远不会产生循环，而貌似无规则的序列。由此例可以看出，即使这样一个简单的映射所确定的动力系统，其动力学特征却并不简单，它有许多有规律的轨道，也有许多无规律可循的轨道。事实上：1.周期点无穷多，在0,1 上稠密。显见对任意自然数n，均有n_周期点，从而有无穷多个周期点，此外，在0,1上任取一点 ，选择m，使得 充分小，另取2321).0( kam21,2212121210
8、 , ).( ax则 中至少有一个周期不超过m的周期点，而且,即周期点在0,1 上稠。,20x,20mx2.帐蓬映射在0,1 中有一条稠轨道。考虑列出所有0和1的长度为 ， ， ， ， ， ， 的可能块,构造12345 n则 的轨道在0,1上是稠密的。),00.( 32* 块块块s *s3.对初值敏感依赖。取 ，即3_周期点，则 ，再取70x 72,6,74,23030230130 xx显见 十分接近，但由于),21(30x（由于 有7这个因子，故M 为奇数），从293007Mx 18030而 即两个初始值虽然非常接近，但经迭代后，它们的偏差却,3030不小于 。这种对初值敏感依赖，表达了轨道
9、的不可预测性。对于 0,1 上的一7个点 ，除非已经知道它是周期点，或者已经在理论上证明经过多少次迭代后0x周期循环，否则要想通过计算方法来预测它的未来是不可能的，因为在计算过程中，由于各种因素，必定要造成误差，迭代若干步后，所算得的 与 的实0xn际轨道相差很远，根本不能代表 确定的真实轨道。0x1.2 混沌的定义虽然混沌现象已经引起学术界的普遍关注，但是从Michael Crichton对混沌现象给出的定性描述开始混沌仍然没有一个公认的普遍适用的数学定义。下面介绍几种与混沌相关的定义：定义一：设 是一紧致的度量空间， 是连续映射，称 在X),(x Xf: f上是混沌的。如果：（1） 具有对
10、初值敏感依赖性；（2） 在X上拓扑传递；f f（3） 的周期点在X中稠密。f其中， 具有对初值敏感依赖性是指 ，使 ，及x的领域N（x），0总 及 ，使 ；而f在X 上拓扑传递是指： 和)(xNy0n)(,(yfxn UV为开集，且U和V ，使 。,kXVUk上述定义重要特征：因为对初值具有敏感依赖性，所以混沌的系统是不可以预测的。因为拓扑传递性，系统不能被细分或不能被分解为两个在f下不相互影响的子系统（两个不变的开子集合）。然而，在这混乱形态当中毕竟有规律性成分，即稠密的周期点。特别注意的是：在定义中已经证明了后面两条，即拓扑传递性和周期点的稠密性便蕴涵了对初值的敏感依赖性，因而现在有的文献
11、便利用后面两条作为混沌的定义。定义二：对闭区间上连续函数f（x），若满足：（1）周期点的最小周期无上界；（2）定义域包含有不可数子集S，使得对于任意两点x和y，当xy时，有 ；当x，yS ，有0)(suplimfxfnnn；当xS和的任一周期点y，有0)(inflmfnsupxn时，则称其有混沌现象。该定义刻画了混沌现象的3个重要特征，即：存在可数无穷多个稳定的周期轨道；存在不可数无穷多个稳定的非周期轨道；至少存在一个不稳定的非周期轨道。定义三：设 为一连续映射，若f有3_周期点，那么，对于任意If:，f 有n_ 周期点。*Nn1.3 吸引子如果A是一个闭的不变集，且渐进稳定的，则称A为吸引集
12、。如果在吸引集中包含一条稠密的轨线，我们也称为吸引子。吸引子具有以下特征：.终极性。吸引子代表系统演化行为要达到的终极状态，因此，吸引子一般为定态或稳态，一切暂态点不属于吸引子。.稳定性。吸引子是稳定不变集的一个子集合，是系统自身性质的体现，具有稳定性。因此，一切不稳定的焦点、结点，不稳的极限环和环面都不可能成为吸引子，鞍点也不可能成为吸引子。.吸引性。吸引子对其附近的流具有吸引性，牵引着系统的流向吸引子运动。稳定的而无吸引性的定态不能成为吸引子。吸引性是系统演化目的性的根本体现。常见的吸引子有普通吸引子（代表系统的拟周期运动）和奇怪吸引子（代表系统的混沌运动）。本文主要研究第二种，其特点是吸
13、引子内的流被吸引在一个有限的空间内往复缠绕而永不相交。典型的有Lorenz吸引子见附录。2 混沌运动的识别方法为了研究混沌运动，我们可以采用直接观察状态变量随时间的变化这种直观的方法和在相空间（或相平面）观察其轨迹。但是很明显，混沌运动是很复杂的，有时直接观察状态随时间变化，即使时间极长，也不一定能看出一点头绪。即如果不对它做进一步的加工分析，是不易了解混沌运动的性质和有关频谱成分等方面的信息的，从而难于区分混沌和其他形式的运动。直接观察相空间（或相平面）中的轨线固然不失为一种有效方法，但是运动复杂时，轨线可能是混乱一片，甚至很可能充满某一区域而看不出什么规律。由于以上的局限性，为了研究混沌运
14、动还必须有其他有效方法。下面介绍几种方法。2.1 Poincar截面法 4一个复杂的多变量（ ）连续动力系统的轨道是很复杂的，很难直接nx,1进行分析与研究，法国数学家庞加莱截面将这个复杂问题简单化，在多维相空间（ ）中适当选取一个截面，这个截面可以是平面也可以是曲面 , nx,1然后考虑连续的动力学系统与截面的相交的交点变化规律，根据变化规律的计算机辅助画出的截面上的点来判断动力系统的特点:(1) 截面上留下有限个离散点则系统是周期运动;(2) 截面上留下一条闭合曲线则系统是准周期运动的;(3) 对于混沌运动，其庞加莱截面上是沿一条线段或一条曲线弧分布的点集，而且具有自相似的分形结构。对于离
15、散系统, 人们在观察和度量一个系统时, 大多是采用的离散方法或只能观察到系统的一维离散表示。这在采用庞加莱映射来处理时，Poincar映射是一个经典的分析动力系统的技术。他是用n- 1阶的离散系统替换n 阶连续系统的流, 他的定义保证了他的极限集是对应于相应流的极限集，他的作用在于降低的系统的阶并且成为联接连续系统和离散系统的桥梁。然而对于任意一个常微分方程还没有一般的方法来构造相应的Poincar映射，因为Poincar映射的构造需要对常微分方程的相空间的几何结构有一个事先的了解，构造一个Poincar映射需要针对具体的问题采用具体的方法并需要一定的技巧，这也是他的制约之处。文献5中，给出了
16、 Poincar映射的一个数值算法，并应用Poincar 映射分析了永磁同步电机（PMSM）的混沌现象，从几个特定参数下选择PMSM 的状态空间图形用Poincar映射仿真可以看到混沌系统的稳定Poincar轨道是与众不同的，证实了混沌运动的存在。首先了解微分方程的相空间几何结构通过试错法选择超平面，然后确定轨道与超平面的交叉点，具体算法见文献5。2.2 功率谱分析法4研究复杂非线性系统的运动常用到功率谱，它是由相空间中坐标的傅里叶变换求得的。这里介绍welch 所提出的平均周期图方法来计算标量信号的自功率谱估值。该方法要点如下：设序列x(n)(M 0，1， ，N一1)的功率谱为 ，把x(n)
17、序列分成长度)(xP为L的K 个重叠段，就可以求得修正的周期图谱估计。在实现过程中，诸序列段重量L/2 个样点，诸序列段的总数目为K(NL/2)/(L/2)。第i 段的数值定义为(k=0,1,.,M-1;i=0,1,.,K-1)(2/()mwLxmdi 其中 为L个点的数据窗函数(如：矩形窗函数，汉明窗函数等)。经过处理wd后序列段 的M点(M L)离散傅里叶变换：xi (k=0,1,.,M-1;t=0,1,.,K-1)kmjmtt ek210)()(是用FFT算法计算的(如果 LM，序列入 要用M 一L 个零值加以补零)。对)(xt修正周期图(k=0,1,.,M-1;t=0,1,.,K-1)
18、2)(kXStt求平均以产生归一化角频率2 /M处的功率谱估值(k=0,1,.,M-1)10)()/2(ktxSKUMk其中 。则用分贝表示的功率涪估值 为102)(LmdwU)(wPx(dB)Px)/2(lgMKSX根据采样定理，当采样的时间间隔为 、采样频率为 时，时间序列能够反应tf的最大频率为21maxftf这样，对于FFT长度为M的时间序列，其频率间隔(分辨率)为ftf频率为 的周期系统的功率诺在频率 及其高次谐波2 ，3 .处有 函数形ff式的尖峰。每个尖蜂的高度指示了相应频率的振动强度。特别是当发生分岔时，功率谱将改变它的特征。基频为 ， ，.， 的准周期系统的功率谱在 ， ，.
19、，1f2kf 1f2及其线性组合处有 函数形式的尖峰。对于混油系统，尽管其功率谱仍可能kf有尖蜂，但它们多少会增宽一些（不再相应于分辨率），而且功率谱上会出现宽带的噪声背景。可见功率谱分析对周期和准周期现象的识别及研究它们与混沌态的转化过程是非常有力的。2.3 Lyapunov 指数法2Lyapunov指数是混沌系统中重要统计特征量之一。混沌运动的重要特征之一就是系统对初始条件的极度敏感性，而这种敏感性实际上是相空间中两个非常邻近的点出发的轨线指数分离特性的体现。下面引入Lyapunov指数的概念。先考虑映射情形。设一维映射为)(1nnxf令 ， 是相空间R中离得很近的两点，则 ， ，如果0x
20、y )(01xfn )(01yfn这两个轨道随n增加而指数分离，即有nnceyx其中， ， ，则当n很大时，有 。对于在有界区0cyx0 cyxnnl1域内运动的轨道，当 时，只有当 时才可观测到指数分离的现0象。故可定义00ln1imlyxnyxn当系统由微分方程描述时，同样可以用Lyapunov指数来表示流的散开程度。设系统的微分方程为)(xfdtnR选系统两条起始点无限接近的轨线 ， ，我们称 为基准轨0t)(0xt)(0xt线， 为邻近轨线。记 = - ,则当 充分)(0xt),(xwt (t ,w小时， 满足线性化方程,wxDfdt)(0此时两条邻近轨线沿w方向的平均指数发散率为)0
21、,(ln1),(0),(0imlxwttwxxwn在相空间中，W 的全体张成一个随轨线运动的 n维空间，称为切空间。选择该空间的一组基底 ，对每个基底矢量 ，可以确定n个数值,21,ieie，并将这些数值由大到小排列为)(,0nixn21称为系统的Lyapunov指数。Lyapunov指数为正数时，表示轨线在对应方向上具有发散的趋势，而Lyapunov指数为负时，表示轨线在对应方向上是收缩的。如果所有的Lyapunov指数均为负数，轨线在各个方向上都是收缩的，则轨线将趋近于一个平衡点。如果有一个Lyapunov指数为0，而其余的Lyapunov指数均为负，则轨线将趋于一个极限环。如果存在正的L
22、yapunov指数，则系统有可能做混沌运动（如果还能断定轨线在有界范围内运动，并且在某些方向上具有收缩的特性，则可以断定系统在做混沌运动）。文献6中，提出了一种利用周期轨道不同权重计算Lyapunov指数的算法，对混沌序列的周期轨道进行统计并计算不同的周期轨道的Lyapunov指数，依据周期轨道的权重加权求和得到整个混沌吸引子的平均Lyapunov指数。其指数算法原理：（1）先设定误差上限和步长。如取 =0.005,步长h=0.1 ；（2）寻找各周期轨道及其概率 ，其概率即为最后计算平均 Lyapunov指数时mp各周期的权重；（3）计算每个周期m对应的Lyapunov 指数 。每个周期m对应
23、着 与 ，kikxiLyapunov指数计算公式为：mlki ixkll12)(og其中： 是在轨道上演化进行的次数；l（4）计算第m周期对应的平均Lyapunov 指数 。对于个 第m 周期, 个mpmpLyapunov指数求平均得到第m周期的Lyapunov指数 ；（5）依据不同周期的Lyapunov指数，分别乘以各自的权重，即为整个混沌吸引子的平均Lyapunov指数 ；mp（6）改变误差上限或步长重复步骤（1）（5）。3 一种混沌神经网络模型文献8中给出了一种混沌神经网络模型 （1） Nj iiijMjjiii ktyfgtxhwtAvtkyt 11 )()()()()(1( （2）t
24、ftxii Mji ,2,2,其中 M-外部输入数；N-网络中神经元个数； -神经元的内部状态；)1(tyi-神经元输出；h-内部状态反馈作用函数； -外部输入； -权值矩)1(txi jAijW阵； -外部输入连接权值； g-神经元的不应性函数； -神经元的阈值；k-不ijv 应性衰减率；f-内部状态作用函数； -自反馈系数。其神经元结构图如下图所示：考虑了如下一些情况：（1）来自神经网络内部各神经元的反馈项 为作用函数，它通过权值htxj),(ijW作用于 。典型的Hopfield 网络包含这一项；)(txi（2）来自神经网络外部的输入项 ，它通过权系数 作用于 。典型的)(tAj ijv
25、)(txiBP算法主要考虑这些项；（3）来自神经元本身的不应性影响 ；)(txgi（4）神经元的阈值 。为了简单起见9，假定函数h和g均为恒等函数（即 ），xgxh)(,)(系陡度参数为 的sigmoid函数，外部输入不随时间变化，即fjjAt)(ijMjji akv)11这样，（1）式和（2）式简化为（3） iiNjjiii atxtwtkyt )()(1(1（4） /(exp/ttxii Nji ,21,混沌神经网络结构如下：其网络由大量混沌神经元相互连接构成的复杂网络，通过对每个神经元进行迭代算法，最终得到理想结果。在神经网络结构中包括输出层和隐层，其中隐层的每个神经元都受到外部输人和网
26、络的内部反馈的作用，通过不断调节神经元权值和阈值，得到理想的混沌神经网络模型。对于上述神经网络，其能量函数为（5）iiijjii TxwE21其中 -网络的节点i和j之间的权值； -各神经元输出； -节点的阈值。wji, iT为了利用混沌神经网络，考察（3）式和（5）式。对（5）式求偏导iNijji TxwxE,12由此（3）式可化为 iiii iiiNjjiii TxEtkyatxttt2)( 2)(11)/(ep1tytxii Nji,21,这样，就可以使该网络很容易与工程实际相联系，因为能量函数（也是目标函数）的引入使混沌神经网络成为寻优空间的载体。根据（3）和（4）式可以写出matla
27、b 程序，观看二元混沌神经网络的输出吸引子情况： （e1 代表式中的 ）for i=1:20000 x(1)=1/(1+exp(-y(1,1)/e1); x(2)=1/(1+exp(-y(2,1)/e1); y(1,2)=k*y(1,1)+w01*x(2)-x(1)+a0; y(2,2)=k*y(2,1)+w10*x(1)-x(2)+a1; y(1,1)=y(1,2); y(2,1)=y(2,2); plot(y(1,1),y(2,1); hold on; end 当k=0.8;e1=0.03;a0=0.48;a1=0.48;w01=0.5;w10=0.5;y(1,1)=-0.75;y(2,1
28、)=-1.0;时当k=0.8;e1=0.03;a0=0.5;a1=0.5;w01=0.1;w10=0.3;y(1,1)=-0.75;y(2,1)=-1.0;时通过反复试验得出当取值有细微差别时其效果就有很大的落差，有时可能观测不到吸引子的状况而上面二种情况可根据需找吸引子的程序画出其相应的输出轨迹来找到比较清晰的图形，程序如下：k=0.8;e1=0.03;a0=0.48;a1=0.48;w01=0.5;kk=1; for w10=0.2:0.02:0.48 y(1,1)=-0.75; y(2,1)=-1.0; subplot(3,5,kk); for i=1:3000 x(1)=1/(1+ex
29、p(-y(1,1)/e1); x(2)=1/(1+exp(-y(2,1)/e1); y(1,2)=k*y(1,1)+w01*x(2)-x(1)+a0; y(2,2)=k*y(2,1)+w10*x(1)-x(2)+a1; y(1,1)=y(1,2); y(2,1)=y(2,2); plot(y(1,1),y(2,1); hold on; end kk=kk+1; end 从图形看出这种二元神经网络模型能体现混沌的运动，其吸引子为奇怪吸引子。可以说明通过不断调节神经元权值和阈值，得到理想的混沌神经网络模型。3 总结：综上所述，通过对混沌的研究，极大地扩展了人们的视野，活跃了人们的思维。过去被人们认
30、为是确定论的和可逆的某些力学方程，却具有内在的随机性和不可逆性。而现代的物质世界中，混沌现象无处不有，大至宇宙，小至基本粒子，无不受混沌理论的支配。如气候变化会出现混沌，数学、物理、化学、生物、哲学、经济学、社会学、音乐、体育中也存在混沌现象。因此，科学家认为，在现代的科学中普遍存在着混沌现象（确定论的方程可以得出不确定的结果），它打破了不同学科之间的界线，打破了确定论和随机论这两套描述体系之间的鸿沟，在某种意义上使传统科学被改造，这必将促进其他学科的进一步发展。混沌作为上世纪末非线性学科发展的一个重要分支,在很多领域都得到了广泛的关注和应用, 在应用之前需要很好地对其行为进行详细了解, 文章
31、中提到的几混沌现象的判据方法对不同的状态有不同的要求, 要根据系统中具体系统的维数和可以掌握的信息来决定, 同时可以采取多种方法来验证混沌现象的特征。随着研究混沌现象和混沌应用研究的进一步发展, 文章中提到的几种判据方法会得到不断的休整和完善，使得得到的特征更加接近实际过程，同时针对混沌控制问题的研究7并不是十分的成熟等，这都需要我们更进一步的去研究。（由于水平有限，时间仓促，难免有谬误之处，恳请老师指正。）附录：Lorenz吸引子的MATLAB仿真模型及示意图：参考文献：1 黄润生，黄浩 .混沌及其应用 M.武汉：武汉大学出版社，2008.2 刘小河.非线性电路理论 M.北京：机械工业出版社
32、，2009.8.3 陈士华，陆君安.混沌动力学初步 M.武汉：武汉水利电力大学出版社，2009.84 王兴文.复杂非线性系统中的混沌 M.北京：电子工业出版社，2003.5 张波，等 .Poincar映射的数值算法及其在永磁同步电机混沌分析中的应用J.控制理论与应用，2001，18(5)：796-800.6 冯明库，丘水生，晋建秀.一种Lyapunov指数算法及其实现J.计算机应用，2007(1)：50-51.7 刘秉正，彭建华 .非线性动力学M.北京：高等教育出版社，2004.8 张学义，胡仕诚.一种混沌神经网络及其在优化计算中的应用J.系统工程与电子技术，2000，22 (7)：6971.9 聂益文，施伟锋，等.混沌神经网络建模及仿真应用研究J.光电技术应用，2005，2(20)： 4043.
