1、球面三角学球面三角学是球面几何学的一部分，主要处理、发现和解释多边形 (特别是三角形) 在球面上的角与边的联系和关联。在天文学上的重要性是用於计算天体轨道和地球表面与太空航行时的天文导航。通俗地讲， “球面三角”即研究球面三角形的边、角关系的一门学科。它大约从十六世纪起，逐渐发展为一门独立的学科。球面上的线及多边形（三角形）在球壳的表面，最短的距离是大圆上接近直线的弧线，也就是圆弧的圆心与球壳的球心是同一点。例如：地球上的子午线和赤道都是大圆。所谓行星表面的直线，就是球面上两点之间最近距离的大圆弧线(如果你把自己拘束在球面上的直线上)。(参看：大地测量学)在球面上，由大圆的弧所包围的区域称为球
2、面多边形，但要注意，不同於平面上的情形，在球面上双角是可能存在的。(两个弧夹出两个角的三角形类似物)(可由剥橘子时剥下来的橘子皮想像)（一）球面多边形的边长这些多边形的边长(弧长)，可以利用球心角很方便的来测定，将弧的两端所对应的球心角乘上半径便是边长。要注意的是，这些角都必须用径度量来量度（苏注：“”在数学中有两个含义：一表示圆周率 3.14。二表示角度中的 180度。这两个 之间是可以进行换算的，当将圆心角从“第二意义”的数值换算成“第一意义”的数值时，那么用“球心角乘上半径”就得边长了。而这种算法，其实就是由我们昨天讲的球面上两点间距离的算法，进一步推导来的。 ）.因此，对一个球面三角形
3、而言，是由他的弧长与球心角来具体描述的，只是弧的长度是用径度量来标示。（二）球面三角形的面积值得注意的是，球面三角形的三个内角的和总是大於 180，但在平面上只有 180。超过 180的数值称为球面剩馀 E：E = + + - 180，这些结馀给出了球面三角形的面积。确定这个值，球面剩馀必须以径度量来测定，表面积 A依据球面的半径和球面剩馀来测量：（）A = R E这是 高斯-邦奈定理（苏注 ：这个定理通常翻作“高斯博内定理” ，我国当代的著名数学家“陈省身”先生，对这个定理的“内蕴”证明作出过重要贡献。这个定理的用途非常大，是“黎曼几何”的重要内容。但黎曼的老师“高斯”对这个定理的发现起了重
4、要作用，这也就是说，在黎曼几何诞生前，这个定理已被“部分发现”并运用，但完全的发现和证明，以及广泛运用，是在黎曼几何诞生之后的事。因此以上算法基本算黎曼几何的内容。 ）这很明显的显示没有相似的球面三角形(三角形有相同的角，但边长和面积不同)。而在特殊的情况下，球的半径为 1，则球面三角形的面积 A = E。 （球面多边形面积=R2）()(2)（三）纳皮尔对球面三角计算的贡献要解球面几何的问题，要点是能剖析出其中的直角三角形(三个角中有一个是 90)，因为这样就可以利用纳皮尔的多边形求解。纳皮尔的圆周显示直角三角形的部份关联性利用纳皮尔多边形(也称为纳皮尔圆周)的口诀可以很轻易的记住球面直角三角
5、形的所有关联性：以他们出现於球面三角形的顺序，依照相邻的边角关系，依序将三角形的六个角写在一个圈子内，也就是开始以一个角度开始，然後在它旁边写上相邻的边的弧角度，继续再写下下一个角度，最後结束成一个圆。然後删除 90的角角度并且将它相邻的弧角度替换成他们补角的数值(与原角弧度之和为 90) (也就是将 a 换成 90 a)。现在，这五个数组成了我们需要的纳皮尔多边形(纳皮尔圆周)，从这儿，可以得到每个角度的馀弦值等於：相邻两角度的馀切的乘积相对两角度的正弦的乘积可以参考半正矢(Haversine formula)，能在球面三角上解析弧长与角度，为航海学提供了稳定的模式。约翰奈（纳）皮尔（Joh
6、n Napier，15501617） ，苏格兰数学家、神学家，对数的发明者。他一生研究数学，以发明对数运算而著称。1594 年，他为了寻求一种球面三角计算的简便方法，运用了独特的方法构造出对数方法，这将大大简化“三角函数表”的制作。发明对数让纳皮尔在数学史上被重重地记上一笔，然而完成此对数却整整花了他 20年的工夫！纳皮尔对数字计算特别有研究，他的兴趣在于球面三角学的运算，而球面三角学乃因应天文学的活动而兴起的。他重新建立了用于解球面直角三角形的 10个公式的巧妙记法圆的部分法则（“纳皮尔圆部法则“）和解球面非直角三角形的两个公式“纳皮尔比拟式“，以及做乘除法用的“纳皮尔算筹“。此外，他还发明
7、了纳皮尔尺，这种尺子可以机械地进行数的乘除运算和求数的平方根。 （B4）七、球面幾何和球面三角學項武義 單位球面的基本性質 球面三角學 球面乃是空間中最完美勻稱的曲面。兩個半徑相等的球面可以用一個平移把它們疊合起來，而兩個半徑不相等的球面所相差者就是放大或縮小這種相似變換，由此可見本質性的球面幾何可以歸納到單位半徑的球面來研討。再者，在古典天文學的研討中，觀察星星的方向可以用單位球面上的一個點來標記它，而兩個方向之間的角度（亦即方向差）則相應于單位球面上兩點之間的球面距離 (spherical distance) 。這也就是為什麼古希臘天文學和幾何學總是合為一體的，而且古希臘的幾何學家對于球面
8、三角學 (spherical trigonometry) 的投入程度要遠遠超過他們對于平面測量學的興趣，因為量天的學問才是他們所致力去理解者；它的確比丈量土地、計量財產等更引人入勝，是不？從現代的觀點來看，球面幾何乃是空間幾何中蘊含在正交子群的部分，而向量幾何則是空間幾何中蘊含在平移子群的部分，而且兩者又密切相關、相輔相成，例如向量運算都是正交協變的 (orthogonal covariant)，所以向量代數又是研討球面幾何的簡明有力的利器。 單位球面的基本性質設 O 為球面的心，而單位球面 S2(1) 則是空間 中所有和 O 點的距離為 1 的點所成的點集，即： 它是以 O 為其定點的正交子
9、群的一個軌道 (orbit) 。 (i) 反射對稱性：設 是一個過球心 O 點的平面，則顯然有 保持 O 點不動。由 的保長性可見它把和 O 點相距為 1 的點變換成和 O 點相距為 1 之點，所以 。再者， 在 S2(1) 上的定點子集就是 這一個大圓 (great circle)，我們將把 限制在 S2(1) 上的變換叫做以大圓 為定點子集的球面反射對稱。 (ii) 旋轉對稱性：設 是一條過球心 O 點的直線，它和球面 S2(1) 的交點是球面上的兩個互為對頂的點 A, A （一如南、北兩極）；換言之，球面上兩點 A, A 互為對頂 (antipodal) 的條件是 以球心為其中點。在空間
10、以 為軸的旋轉之下，球心 是固定不動的；同理可見 S2(1) 也是它的一個不變子集，而它限制在球面上的變換乃是一個以對頂點 A,A 為其定點子集的球面旋轉對稱（如日常地球所作者就是一個以南北極為其定點子集的旋轉）。 球面極坐標： 設 N,S 是單位球面上給定的兩個互相對頂之點，在以 N,S 為定點子集的球面旋轉之下，每點的緯度保持不變，而其經度則隨著轉角而增加，如 圖 7-1 所示。設 P 是球面上相異于兩個極點者，令 是過 P 點的那條經線 (longitude arc)， 是選定的基準經線。設 r 為 N 到 P 的球面距離，亦即 這一段經弧的弧長， 是 轉到 的（有向）轉角，則稱 為 P
11、 點對于以 N 為基點的球面極坐標 (spherical polar coordinates) 。 圖 7-1 若在空間選取正交坐標系，以球心為原點，以 為 z-軸的方向，以 為 x-軸的方向，其中 E 點乃是基準經線 的中點，則有： 註：由直接的微分計算可得 用上述弧長的微分式，不難証明經弧 乃是球面上連結 N, P 兩點的最短曲線（亦稱測地線 (geodesics)）。 【阿基米德定理】：半徑為 R 的球面面積等于 註：阿基米德 (Archimedes, 287-212 B.C.) 是公認的古希臘時代偉大的科學家和幾何學家，他一生有很多卓越的貢獻；而他最引以自豪者，首推上述定理及其簡潔的証
12、明，這也就是遵照他本人的遺囑刻在他的墓碑上者。 証明：其証明的要點在于論証一個半徑為 R 的球面面積和一個高為 2R，半徑為 R 的圓柱面面積相等。而在他的墓碑上所刻劃的，就是如 圖 7-2 所示把兩者放在相切同高的位置。 圖 7-2 設想用一系列和柱面正交的平行平面，把兩個面都細分成很窄很窄的一圈圈。設相鄰兩個平行面之間的距離是 ，則柱面上的窄條（或圈）的面積等于 ，而在球面上的相應窄圈，雖然其寬度和長度會隨著 而改變，但在 非常、非常小的時候，它可以看成如 圖 7-3 所示的圓台之側面： 圖 7-3 其中環長度是 ，亦即其環長的平均值是 ，而側面的寬度則為 ，所以其面積的高度近似值也是 （
13、亦即可能的誤差肯定在 這種量級）。由此他就用 Eudoxus 所創的逼近原理証明了兩者的面積必然相等，而後者的面積顯然等于高為 2R，長為 的長方形面積，亦即 。 球面三角形面積公式： 設 A, B, C 是球面上任取三點但不含對頂者，令 , , 為連結于點與點之間的測地線，稱之為球面三角形 的三個邊。我們將採用和平面三角學中相同的符號體系，以 A, B, C 表示 在三個頂點的內角，及以 a, b, c 表示 的各角對邊邊長。在平面幾何中，一個三角形的三個內角和恆等于一個平角，這是邏輯等價于平行公理的基本事實，也是平面的平直性的一種基本表達；在球面三角形的情形下，三內角之和則恆大于一個平角，
14、而下述定理 7.1証明在單位球面上的球面三角形，其內角和與 的差額（稱之為角盈）其實恰好等于其面積。 【定理 7.1】：在單位球面上，一個球面三角形 的面積就是 証明：如 圖 7-1 所示，由二個夾角為 的經線所圍成的球面部分，其面積顯然和 成正比（這是球面對以 N, S 為定點的旋轉對稱性的直接推論）。再者，當 時，其面積等于 （阿基米德定理）！所以上述以 為夾角者（稱之為 spherical lune）的面積等于 。 圖 7-4 如 圖 7-4 所示，令 A, B, C 分別是 A, B, C 的對頂者。用上述 spherical lune 的面積公式即得： 由此可得 亦即 註：上述具有基
15、本重要性的球面三角形面積公式其實就是阿基米德球面面積公式的局部化和精細化。 球面三角形的疊合條件（疊合即全等的概念）及等腰三角形定理： 設 A, B 是球面上任給兩點。在空間中和 A, B 等距的點集是直線段 的垂直平分面 ，它當然包含球心 O，所以和 A, B 等距的球面上之點乃是 這個大圓，而球面對于這個大圓的反射對稱將 A, B 互換。用上述球面上的反射對稱即可推導出： (i) S.A.S. 也是球面三角形的疊合條件； (ii) 球面等腰三角形的兩底角相等；反之，兩底角相等的球面三角形亦必為等腰。由上述兩點還可以同樣地推導出球面三角形也具有其他如 S.S.S. 和 A.S.A. 等疊合條
16、件。在此值得一提的是 A.A.A. 也是球面三角形的一個疊合條件，我們可以用球面三角形中所特有的對偶關係來推導它也是一個疊合條件。設 A, A 互為對頂，則和 A, A 等距的球面上的點集就是和 A, A 的距離是 的那個大圓，將以 記之。設 是一個任給球面三角形，在下述三對對頂點偶（即 , , ）之中，分別取其靠近 A, B, C 者，以 A*, B*, C* 記之，則稱 為 的對偶球面三角形（ 也是 的對偶球面三角形）。 【引理 7.1】：令 a, b, c 和 a*, b*, c* 分別是 和 的各角對邊邊長，則有： 圖 7-5 証明：我們只需要証明其中之一，其餘各式皆可同理類推。由 圖
17、 7-5 所示，在大圓 上 , ，故有 【推論】： A.A.A. 也是一種球面三角形的疊合條件。 証明：設 和 的三角內角對應相等，由引理 7.1得知它們的對偶球面三角形 和 的三個邊長對應等長，所以是全等的，因此當然有三個對應內角相等。再用引理 7.1，即得 和 滿足 S.S.S. 全等條件。 【引理 7.2】：設 和 的頂點共圓,而且 A, A 同在 的一側，則 再者，上述之逆命題也成立。 圖 7-6 証明：如 圖 7-6(i) 所示， , , 皆為等腰，所以其底角相等，設其分別是 , , 。則有 同理亦有 圖 7-6(ii) 的情況和逆命題的証明留作習題。 【定理 7.2】(Lexell
18、)：設球面三角形 和 具有相等的定向面積，而 B, C 分別是 B, C 的對頂點，則 B, C, A1, A2 四點共圓。 圖 7-7 証明：如 圖 7-7 所示： 所以 分別取 A=A1 和 A2，再對 和 運用引理 7.2的逆命題，即得 B, C, A1, A2 共圓。 【習題】： (1) 設 P1, P2 的球面極坐標分別是 (r1,0) 和 (r2,0)，而 是一條一階可微曲線，, , 。試証其長度至少等于 |r1-r2| 。 (2) 若 是一個半徑為 R 的球面三角形，試問 和其面積之間的關係是什麼？並試証你的主張。 (3) 設 和 是滿足 S.A.S. 條件的兩個球面三角形，例如
19、 A1=A2, b1=b2, c1=c2 。試構造一系列球面上的反射對稱，它們的組合恰好把 變換到 。 (4) 試用球面的反射對稱性証明等腰三角形的底角相等，而頂角平分線垂直平分底邊。 (5) 試用上述 (3), (4) 所証得者，証明 S.S.S. 也是球面三角形的一種全等條件。 (6) 設 O 為一個球面的心，A 為球面上任給一點， 為過 A 點而且和 垂直的平面。試証 和球面僅僅交于 A 點。 (7) 設 是極坐標下r = 常數所構成的緯圓。試求 上任一點 P 的切平面和直線 ON 的交點 V （亦即確定 的長度）球面三角學球面三角學研討球面三角形的各種各樣幾何量如邊長、角度、面積、外接
20、圓和內切圓的半徑等等的相互關係。遠在古希臘時代，球面三角學即已倍加重視。Menelous 所著的 Sphaerica 和 Ptolemy 所著的 Almagest 總結了當年在球面三角學上的研究成果和它們在天文學上的應用。大體上，他們已經充分理解了直角球面三角形的各種幾何量之間的相互關系；然後一直到十八世紀，球面三角學的研究才又得以蓬勃開展。 在本節的討論中，將以 , , 等等表示單位球面上給定點 A, B, C 等等的位置向量，亦即 , , 等等，它們當然都是單位長的向量。由此可見，從向量幾何的觀點來看，球面幾何其實也就是單位長向量的幾何。 由向量運算的幾何內含，即有（參看 圖 7-8 ）：
21、 (i) , , ；（向量的数量积） (ii) , , 的面積(平行四边形)，亦即 |b x c|, |c x a|, |a x b|，分別等于 , , ；（向量的向量积） (iii) 球面三角形 的三個內角 A,B,C 等于 和 ， 和 ， 和 之間的兩面角； (iv) 設 ，以後將以 D（混合积） 表示之。由行列式的乘法公式即有： 圖 7-8 【定理 7.3】（球面三角正弦定律）： 証明：令 為過球心 O 點而和 垂直的平面， b 和 c 是 , 在 上的垂直投影，亦即： 圖 7-9 其中 , 和 a 垂直而 和 則為 a 的倍積，所以由內積和 -積的分配律，得： 上述所作的垂直投影其實是
22、把由 , , 所張的平行六面體沿 的方向滑動，最後得出由 , , 所張的長方體，如下圖所示： 因為體積是斜移不變的，由此亦可以看到 由此易見 【定理 7.4】（球面三角餘弦定律）： 証明：由面積的勾股定理，即有： 再者，由內積 -積的幾何意義，以及 A 等于 和 之間的兩面角，即有： 球面三角餘弦定律的另一証法： 【推論 1】：在 （亦即直角球面三角形）時，則有： (i) (ii) 圖 7-11 証明：由所設 即有 , 。所以 (i)-式乃是正、餘弦定律的直接結論。再者， 所以 其他三式的証明留作習題。 半角公式： 在平面三角學中，我們有下述易算好用的半角公式，即令 ，則有： 在球面三角學中，
23、也有類似的半角公式，即： 【推論 2】（球面三角半角公式）： 証明：以 （或 ）代入餘弦定律，即得： 或 這也就証明了 (i) 和 (ii)，而 (iii) 則是 (i), (ii) 的直接推論。茲証 (iv)-式如下： 如 圖 7-12 所示， 是直角球面三角形， , ，所以 圖 7-12 阿基米德定理以及它的局部化球面三角形面積公式： 是球面幾何中至關重要的基本定理。從純幾何的觀點，上述面積公式已經是十分簡潔完美的了；但是從向量代數的不變量理論來看，我們還需要把三角形面積和 a,b,c 的基本正交不變量，亦即 之間整理出一個簡潔、整體的關係式。當然，我們可以用球面三角餘弦定律，即 得出 所
24、以這個用向量內積的面積公式當然就可以寫成： 但是這樣一個繁複的表式顯然不好用，因此有必要去探討上述球面三角形面積的內積表達式背後的精簡形式。這種精益求精的所得就是： 【定理 7.5】： , , . 証明：由球面三角正弦、餘弦定律（亦即定理 7.3、定理 7.4）即有 等等直接代換和代數計算可得： 上式之分母為 而一個令人驚喜的事實是括號內 的代數表式可以簡化成 。所以即得： 同樣的代數計算可得 所以 註：在直角球面三角形，即 時，尚有下述特殊公式，即： 【推論 1】：若將 的兩邊 a, b 固定而讓第三邊 c 變動，令 則有 証明：由上所設， 將 對于 x 求微分，即 在這裡，有趣的是分子也含
25、有 (1+c 1)(1+c2) 因式。約分後即得 再者，將下述餘弦定律 對于 x 微分，即有 所以 註：當 從 0 變到 ， 的變化有下述三種情形，即： (i) 若 ，則 c 1+c20，而其對邊 c 則從 |a-b| 變到 a+b，函數值 由 0 增加到其在 x= c1+c2 時的唯一極大值，然後再遞減到 0。 註：x=c 1+c2，即 的幾何意義乃是 的外接圓圓心位于 之上，如 圖 7-13 所示。其証明在討論球面四邊形時便會詳細說明。 圖 7-13 (ii) 若 ，則 c 1+c20；其第三邊 則由 |a-b| 增加到 。因為 一直是正的， 由 0 遞增到 ，亦即 以半個球面為其上限。
26、(iii) 若 ，則 c 1+c2=0；其第三邊 則由 |a-b| 增加到 ，而 則由 0 遞增到 ，亦即 以四分之一球面為其上限。 【推論 2】：設球面三角形 的三邊邊長中 c 和 a+b 保持不變，則 的面積是 |a-b| 的遞減函數。 証明：令 , , ，則有： 上式中 是因為 由此可見，面積 是 t 的遞增函數，亦即是 |a-b| 的遞減函數。 球面三角形的外接圓： 一個球面三角形 的外接圓是由 A, B, C 三點所定的平面 和球面的交集，而它也是平面三角形 在平面 中的外接圓，如 圖 7-14 所示： 圖 7-14 令 M 為在 上 的圓心， N 為在球面上 的圓心， 。易証 OM
27、 和 垂直，而且 。 証明留作習題 由此可見，平面 和圓 是在以 為軸的旋轉之下的不變子集 (invariant subsets)，設球面在 A 點的切面 T A 交 于 V 點，由上述旋轉不變性可見球面在 上任給一點 P 的切面 T P 也過 V 點。 【定理 7.6】： 証明：設 。由所設 過球心 O 而且和 正交，所以 S 2(1) 和 在以 為軸的旋轉下都是不變子集，因此 也當然是不變子集。設 P 為 上任給一點，則有一個 -軸旋轉 ，它把 A 點移動到 P 點，易見 ，而 是保持 每一點固定不動的，所以 。 再者， 只含有一個點，所以 V 其實就是 的共交點。由此可見： 而且 是唯一
28、能夠滿足上述三個等式的向量。由直接驗算可知： 所以它必然是 。 【推論 1】：單位球面上四點 共圓的充要條件是它們的位置向量 滿足 証明：由上述討論，D 位于 的外接圓的充要條件乃是 TD 也過 V 的，即 ，亦即： 【推論 2】：設 R 為球面上 的外接圓半徑，亦即 圖 7-14 中之 的弧長，則有： 証明：如 圖 7-14 所示， 其中 。 球面四邊形 (spherical quadrilaterals)： 一如在平面的情形，兩個三角形若其三邊對應等長則為全等，但是兩個四邊形若其四邊對應等長仍然是可能不全等的；即使在凸的情況，還是需要加上其一個對應對角線等長，才能完全確定其疊合性。設 是一
29、個球面四邊形的頂點的位置向量，它們共有六個交叉內積，亦即是其四個邊長和兩個對角線長的餘弦，它們之間具有一個函數關係，由此可以從給定其中五個之值去確定其第六個之值。我們可以用平行六面體定向體積（亦即行列式）的乘法公式來求得這種函數關係式，即： 兩邊分別用行列式乘法公式計算，即得： 若以 代入即為： 上述是一般情形的普遍關係式，若在 ，亦即二對對邊各別等長的特殊情形，則上述關係式可以大為簡化，其結果為 註：在平面幾何中，兩對對邊各別等長的四邊形就是平行四邊形，因此這種球面四邊形也可以看成平行四邊形在球面幾何中的推廣（雖然平行這個名稱實在已經名不符實的了！ ）。其實，這種球面四邊形除了沒有兩對對邊互
30、相平行這個性質之外，也具有平行四邊形的其他性質，例如其對角線互相平分、兩對對角各別相等 証明留作習題 。再者，我們也可以用對角線互相平分來直接驗証上述關係式： 圖 7-15 如 圖 7-15 所示，即有餘弦定律公式： 兩式相加，即得 亦即 再者，上述四邊形頂點共圓的充要條件是 d 1=d2=d，亦即 由此可見，定理 7.5的推論 1中 的條件式： 其幾何意義是 的外接圓圓心位于 之上。 在平面幾何中， 是外接圓的直徑和 是等價的，顯然也是 a, b 邊固定時 面積的極大。在此值得一提者是：二邊邊長給定的三角形，在第三邊為其外接圓的直徑時面積極大在非歐幾何中亦成立。 球面四邊形的面積： 在歐氏平
31、面幾何中，矩形面積公式扮演著重要的角色。再者，矩形乃是平行四邊形的特例，亦即對角線等長的平行四邊形（或者說，是四頂點共圓的平行四邊形）。所以，在球面幾何中，矩形的自然推廣就是上述球面平行四邊形在四頂點共圓（或對角線等長）的情形。由 定理 7.5 的 推論 1 可見，給定兩對對邊邊長（設為 a, b）的平行四邊形之中，其面積以矩形為極大。【定理 7.7】：（球面矩形面積公式）在單位球面上以 a, b 為其兩對對邊長的矩形，其面積公式為 証明：令其對角線長為 c（兩者等長）。則有 亦即 其實，頂點共圓時面積為極大並不只限于平行四邊形，詳見下述定理 7.8：【定理 7.8】：在四邊邊長給定為 而且總長少于 的四邊形中，其面積以頂點共圓時為唯一的極大值，而且遠離共圓的變形使得面積愈來愈小。 証明：令 , ，其中 （在 非凸時，我們選定 是位于內部的那條對角線），以 , 分別表示 和 的面積，則有： 其中 選取頂點之順序使得 和 都是正的。 由定理 7.5 推論 1的微分計算，即有 現在讓我們用向量代數來分析一下上式右側的幾何意義：令 ，則有 是 的線性組合而且 ，所以 再者，設 P 是 上任給一點，則由 可見 乃是 a x c 的一個倍積，所以 令 V 1, V2 分別是 T B, TD 和 的交點，亦即
