1、 1 / 82018 北京市合格性考练习题（一）数 学第一部分 选择题（每小题 3 分，共 75 分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的1. 设全集 ，集合 ， ，则 （ ）I0,1230,12M0,NIMN.A.B.C12.D2. 函数 的最小正周期是 （ ）5cos()6yx.2.43. 下列四个函数中，在区间 上是减函数的是 （ ）(0,).A3logyx.B3xy.C12yx.D1yx4. 若 ，且 为锐角，则 的值等于 （ ）54sinsin2.12.15.425.2455. 不等式 的解集是 （ ）x.A(0)， .B(0)， .C(1)， .D(,0)(1,
2、)6. 在 中， , , ,则 （ ）BC2ab4AB或 或.3.6.65.327. 如果函数 的图象经过点 ，则 = （ ）2xyc(2,5)c1 0 .A.B.C1.D28. 已知过点 ， 的直线与直线 平行，则 的值为 （ ）(,)m(,4) 0xym10.0.2.8.9. 已知二次函数 ，那么 （ ）()1fx.A230f.B(0)2(3)ffC(0)(2)f D10.实数 的值为 （ ）5lg4l11 2 3 4B.C.D2 / 811.已知向量 , ，则 （ (31)a(2,5)b32ab）.A(2,7).B(,).C(,7).D(13,7)12.若函数 ，则 的最大值为 （ ）3
3、519xffx6 7 8 9. .13.直线 , 是不同的直线，平面 , 是不同的平面，下列命题正确的是 （ ab）直线 平面 ，直线 平面 ，则直线 直线.A ba b直线 平面 ，直线 平面 ，则直线 直线Ba 直线 直线 ,直线 平面 ，直线 平面 ,则平面.C a直线 直线 ,直线 平面 ，直线 平面 ,则直线 平面D bba14过点 并且与直线 垂直的直线方程是 （ ）(0,1)23yx.A2xy.B20xyCD15. 某单位有职工 750 人，其中青年职工 350 人，中年职工 250 人，老年职工 150 人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本
4、中的青年职工为 7 人，则样本容量为 （ ）35 25 15 7.A.B.C.D16. 从 这 4 个数中，不放回地任意取两个数，两个数都是奇数的概率是 （ 1,23）13.14.1617. 已知 ， ， 是线段 的中点，那么向量 的坐标是 （ (1,0)A(,4)BMABAMur）.(,2).(1,2).C(2,1).D(2,1)18. 在 中， ，则角 为 （ ）ABC2abcA.30.45.0.503 / 819. 如图,一个空间几何体的正视图(或称主视图)与侧视图（或称左视图）为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为 的圆，那么这个几何体的全面积为 ( )1.A.B3C2D20点 在直线
5、 上，则 的最小值是 （ ）(,)Pxy40xy2xy.C8.D1621. 如图，在 中， , , ,ABAB3urrAu则 ( )CDur.1.32022一天，某人要去公安局办理护照，已知公安局的工作时间为 9：00 至 17：00，设此人在当天 13：00 至 18：00 之间任何时间去公安局的可能性相同，那么此人去公安局恰好能办理护照的概率是 （ ）.A13.B34.C58.D4523. 已知函数 是定义在 上的增函数，当 时， 若()fx(0,)*nN*()fn，其中 ，则 （ ）fn*nN(1f.4.3.2.124. 某同学为研究函数 2()()fxx=+-（ ）的性质，构造了如图所
6、示的两个边长为 1 的01x正方形 和 ，点 是边 上的一个动点，ABCDEFPBC设 ，则 . 则参考上述信息，得Px=()fx+=到函数 的零点的个数是 （ ） ()4()9gf-.A0.B1.2.D325. 某航空公司经营 A、 B、 C、 D 这四个城市之间的客运业务. 它的部分机票价格如下：AB 为 元；AC 为 元；AD 为 元； BC 为 元；CD 为2605012090元. 若这家公司规定的机票价格与往返城市间的直线距离成正比，则 BD 的机票价格为 ( ) （注：计算时视 A、 B、 C、 D 四城市位于同一平面内） 元 元 元 元.10.120.140.150第二部分 解答
7、题 （共 25 分）26. （本小题满分 6 分）如图，在正四棱柱 中， 为底面 的对角线， 为 的中1ABCDACBED1FDCBAEPCBDA主主主主4 / 8点.（）求证： ；1DBAC（）求证： .E平 面27 （本小题满分 6 分）已知函数 ， ，点 是角 终边()sinfxxR(1,3)P上一点， 0,2（）求 的值；()f（）设 ，求 在 上的最大值和最小值.)(gxfx)(g,28. （本小题满分 6 分）已知点 及圆 ： .(2,0)PC2640y（）求圆心 的坐标及半径 的大小；r（）设过点 的直线 与圆 交于 两点，当 时，求以线段 为直径1lMN4MN的圆 的方程；Q（
8、）设直线 与圆 交于 ， 两点，是否存在实数 ，使得过点 的0axyCABa(2,0)P直线 垂直平分弦 ？若存在，求出实数 的值；若不存在，请说明理由2lABa29. （本小题满分 7 分）某地今年上半年空气污染较为严重，该地环保监测机构对近期每天的空气污染情况进行调查研究后发现，每一天中空气污染指数 与时刻 （时）的函数关系为：()fx， .25()log(1)21fxa0,24其中 为空气治理调节参数，且 .a()（）若 ，求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低；1（）规定每天中 的最大值作为当天的空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数()fx不超过 ，则调节参数 应控制在什么范围内？
9、3aEC1D1B1CABDA15 / 8数学试题答案26.证明：（）连接 交 于 ,BDACO在正四棱柱 中底面 是正方形.1BD所以 .AC又因为 为正四棱柱，1所以 底面 .1DB又 底面 ，所以 .1AC因为 ， ， 平面 ，1D1,B1BD所以 平面 .B又因为 平面 ，11所以 . 3 分AC（）因为底面 是正方形，所以 为 中点.DOBD又因为 为 中点，E1所以 为 的中位线.OB所以 .1又 平面 ， 平面 ，AC1DEAC题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 A B D C D B A C A C题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20答
10、案 D C D B C D A C B C题号 21 22 23 24 25答案 B D C C DOEC1D1B1CABDA16 / 8所以 平面 . 6 分1/DBAEC27. 解：（）因为点 是角 终边上一点，(1,3)P所以 ，22()r所以 ，所以 . 2 分3sinyr3()sin2f（）由（）知 , , . 所以 .si21cos0,23所以 ()(gxffx2in)sin3x13sincosi21icosin()3x因为 , 所以 .0x6x所以，当 ，即 时， 的最大值为 ；32()gx1当 ，即 时， 的最小值为 . 6 分6xx228.解：（）因为 ，240y所以 ，(3
11、)()9x所以圆 的圆心坐标为 ,半径为 . 2 分C(3)3（）设圆心 到直线 的距离为 .1ld由圆 圆心是 ，半径为 ，及垂径定理得 ，(,2)294d解得 .5d注意到圆心 到点 的距离为 ，所以 为 中点.(3,)(,0)P5PMN所以，以 为直径的圆 ，即为以 为圆心半径为 的圆.MNQ(2,0)2所以圆 的方程为 . 4 分Q2()4xy（）若过点 的直线 垂直平分弦 ，2,0)lAB则直线 必过圆心 ，l(3,)所以 ，2lk所以直线 的斜率为 ，所以 .10axy1212a7 / 8所以直线 方程为 ,即 .10axy102xy20xy计算圆心 到直线 的距离 ，(3,2)
12、1345d所以，不存在实数 使得过点 的直线 垂直平分弦 . 6 分a(2,0)P2lAB29.解：（）当 时，则 ，12251()log()fx当该地的空气污染指数最低时，即 时， .()f251log()0x所以 ，解得 .125x4x所以一天中， 点时该地区的空气污染指数最低. 2 分4（）设 , ， ，25log()t(21ta0,t则当 时， ，0x01即 3,()tat显然 在 上是减函数，在 上是增函数，()gt0,(,1a则 .max(),fg因为 ， ，(0)31g2a若 ，解得 ，21若 ，解得 .(1)0ga2a所以 max12,()3,fa又因为要使该地区每天的空气污染指数不超过 3，即 .()fx 当 时， ，符合要求；102a52a 当 时，由 ,得 ，故 .3 3123a综上所述，调节参数 应控制在 内. 7 分a(08 / 8
