1、灰色系统理论的研究GM(1,1)预测与关联度的拓展摘 要：科学地 预测尚未发生的事物是预测的根本目的和任务。无论个体还是组织，在制定和规划面向未来的策略过程中， 预测都是必不可少的重要环节 ，它是科学决策的重要前提。在众多的预测方法中，灰色预测模型自开 创以来一直深受许多学者的重 视，它建模不需要太多的 样本，不要求样本有较好的分布规律，计算量少而且有 较强的适应性，灰色模型广泛运用于各种领域并取得了辉煌的成就。本文详细推导 GM（1,1）模型，另外 对灰关联度进 行了进一步的改进， 让改进的计算式具有唯一性和规范性 。通过给出的实例高校传染病发病率情况，建立了 GM(1,1)预测模型，并预测
2、了 19934年的传染病发病率。另外对传 染病发病率较高的痢疾、肝炎、疟疾三种疾病做了关联度分析，发现痢疾与整个传染病关系最密切，而肝炎、疟疾与整个传染病的密切程度依次差些。关键词：灰色预测模型；灰关联度；灰色系统理论The Research of Grey System TheoryGM（1,1) prediction and the expansion of correlationxueshenping Instructor: tangshaofangAbstract：Science has not yet occurred to predict the fundamental thing
3、 is to predict the purpose and mission. Whether individuals or organizations, in developing future-oriented strategy and planning process, the forecasts are essential and important aspect, which is an important prerequisite for scientific decision-making. Among the many prediction methods, the gray
4、prediction model has been well received since its inception attention of many scholars, it does not require much sample modeling, does not require a better distribution of the sample was calculated, and has strong adaptability less , gray model widely used in various fields and has made brilliant ac
5、hievements. This paper is derived GM (1,1) model, the other on the gray correlation was further improved, so that the improved formula is unique and normative. University by giving examples of the incidence of infectious diseases, establishing the GM (1,1) prediction model and predict the incidence
6、of infectious diseases in 1993. In addition to the high incidence of infectious diseases, dysentery, hepatitis, malaria, made the three diseases, correlation analysis, found that dysentery is most closely with the infectious disease, and hepatitis, malaria and infectious diseases, the closeness of t
7、he order of hearing. Key words：Grey prediction model ; Grey relational grade;Grey system theoryI目 录1、引言 .11.1、研究背景 .11.1.1、国内研究现状 11.1.2、国外研究现状 11.2、研究意义 .12、灰色系统及灰色预测的概念 .22.1、灰色系统理论发展概况 .22.1.1、灰色系统理论的提出 22.1.2、灰色系统理论的研究对象 22.1.3、灰色系统理论的应用范围 22.1.4、三种不确定性系统研究方法的比较分析 32.2、灰色系统的特点 .32.3、常见灰色系统模型 .42
8、.4、灰色预测 .42.5、基本概念 .42.5.1、灰数的概念 42.5.2、灰色生成数列 52.5.3、累加生成 52.5.4、累减生成 52.5.5、加权邻值生成 52.5.6、关联度 53、简单的灰色预测 GM(1,1)预测 63.1、GM(1,1)预测模型的基本原理 63.2、GM(1,1)模型检验 93.2.1、残差检验 93.2.2、关联度检验 93.2.3、后验差检验 9II3.3、GM(1,1)残差模型 .103.4、GM(1,N)模型 .113.5、灰色系统建模的基本思路 124、灰色关联度分析 124.1、灰色关联分析理论及方法 124.2、灰色关联技术的应用 134.3
9、、灰色关联度计算式及改进 135、传染病的问题 155.1、传染病发病率的的预测 155.2、三种传染病的关联分析 176、小 结 18参考文献： .19附 录 .201灰色系统理论的研究GM(1,1)预测与关联度的拓展1、引言模型按照对研究对象的了解程度可分为：黑箱模型、白箱模型、灰箱模型。黑箱模型：信息缺乏，暗，混沌。白箱模型：信息完全，明朗，纯净。灰箱模型：信息不完全，若明若暗，多种成分。1.1、研究背景1.1.1、国内研究现状 历史上，普遍认为信息不完全的系统是不可解的。1982 年，北荷兰出版社公司出版的Systems (2) 是科学方法论上的重大进展, 具有原创性的科学意义和深远的
10、学术影响 ，是对系统科学的新贡献。22、灰色系统及灰色预测的概念2.1、灰色系统理论发展概况2.1.1、灰色系统理论的提出 著名学者邓聚龙教授于 20 世纪 70 年代末、80 年代初提出；诞生标志：邓教授第一篇灰色系统论文 “ The Control Problems of Grey Systems”，发表于北荷兰出版公司期刊 System)0ab第 5 步 残差检验(1)根据预测公式，计算 ，得)(1kX 9,.10,85.97,2.4,5.6,94201.37,8.25,.,3.0)(1 kk(2)累减生成 序列,9.,.13,.,.,.,.,.1.)0(原始序列: 664,8kX(3)
11、计算绝对残差和相对残差序列绝对残差序列： 4.90,5.827,.6,7.180.3,57.)0( 相对残差序列： 51,7341032,第 6 步 进行关联度检验(1) 计算序列 与 的绝对残差序列)0(x)()(0k4.9,5.827,.6,7.18.34,57.6 .013min)(in0 k 8217.,.,.,.0.,.aa(2) 计算关联系数由于只有两个序列（即一个参考序列，一个被比较序列）故不再寻求第二级最小差和最大差。 )5.0,9.1()ax)(min)( kk求得 0376.,2.,0614.,058.,437.)(k(3) 计算关联度 .48)(1nkiiR不满足 时的检
12、验准则 的。148.0R5.06.0第 7 步 后验差检验(1) 计算： 05.16.593.147.365.89.13.8.642.3.9 x17(2) 计算 序列的均方差：)0(X02.791)(21)0(01 nxkS(3) 计算残差的均值： 78.)(9(4) 计算残差的均方差： 158.761)(22nkS(5) 计算 ：C0.96412(6) 计算小残差概率： 29.5371SS7.89,106.,.,7.,8.)(ke可得小残差概率为 ，故 见表 2（ 后验差检验判别参照表） ，因此0Pi 0P模型 勉强合格。6.23729.138)(654.0)1kkx第 8 步 预测： 13
13、.57)9(1()(,1)0 xx即 1993 年的传染病发病率预测值为 157.13。 （详见附件 matlab 程序 1、2、3）5.2、三种传染病的关联分析建模 步 1：数据处理56.,.82310)(0kx294,6.1.,720.,)(3kx步 2：计算关联度系数。经计算8.)(min0kxi35a.0)(18.)(0kxkii据前文分析，设分辨系数为 0.5。将相应的 与 的数值代入式 中，得)(0kxi maxin)(ki 1,8.07,9.840,.92,8.073163542.,.,.,7.,.18步 3：算出关联度 。由公式 分别计算出痢疾、肝炎、疟疾关于整个),(0ixR
14、nkiiR1)(传染病的关联度 ：321,91101 0.825 )(),(kx912202 .39)(),(kR913303 0.87 )(),(kx步 4：比较关联度大小给出结论。由 ，说明痢疾发病与整个传染病关系最密切，2R而肝炎、疟疾与整个传染病的密切程度依次差些。（见附件 4）所得到的结论是：通过高校传染病发病率情况，建立灰色预测模型，预测得到 1993 年的发病率为 157.13。另外利用灰色关联度分析了三大传染病在高校传染病中的相关关系，得到关联度大小比较 ，知道在大学生中防治传染病，首先要防治好痢疾。从医学角度看，虽然肝炎321R的影响不如痢疾，但肝炎病对人体的影响大，又不易治
15、愈，所以高校对肝炎的防治也不能放松。 6、小 结本文对灰色预测模型进行了推导研究，对 GM(1,1)模型进行了残差、关联度及后验差检验，并推广了 GM(1,1)模型到 GM(1,N)模型。另外对灰关联度技术进行了说明并进一步推导进行了改进。灰色模型是一个较新的研究方向，有许多问题需要进一步研究和探讨，由于时间有限，本文只是对灰色预测模型技术进行了一些初步的探讨，今后将在下述问题上进一步深入研究：1本文只是对背景值、数据序列函数变换和初始条件选择进行了研究，没有对影响灰色预测模型精度的其它因素进行研究，所以需要给出进一步优化灰色模型的方法。2灰色模型与其它模型的组合研究，比如与回归模型，马尔可夫
16、模型的组合研究。另外 matlab 语言具有良好的运行环境、强大的函数资源，其编程效率远远高于其他高级语言。多变量灰色预测模型广泛的应用于许多领域。但该模型参数估计以及预测都需要经过比较复杂的计算，本文灰色预测模型通过 matlab 程序能够方便的解决模型的计算问题。参考文献：1宋健.人口预测与人口控制M.北京:人民出版社,1980.2邓聚龙.灰色系统理论基教程M.武汉:华中科技大学出版社,1990.3骆平,王绍锦等.辽阳地区 1997-2005 年日最大负荷及供电负荷预测J.华北电力技术,191997,6:33-34.4陈华友，吴涛，许义生.灰关联空间与灰关联度计算的改进J.安徽大学学报（自
17、然科学版） ，1999,23（4）：1-4.5谭冠军.GM(1,1)模型的背景值构造方法和应用(1)J.系统工程理论与实践,2000,(4):98- 103.6王义闹,刘开第,李应川.优化灰导数白化值的 GM(1,1)建模法J.系统工程理论与实践,2001, 21(5):124-128.7吕林正,吴文江.灰色模型 GM(1,1)优化探讨J.系统工程理论与实践,2001,(8):92-96.8邓聚龙.灰色理论基础M.武汉:华中科技大学出版社,2002.9罗党,刘思锋,党耀国.灰色 GM(1,1)优化J.中国工程科学,2003,(8):50-53.10王钟羡 ,吴春笃.GM(1,1)改进模型及其应
18、用J.数学的实践与认识,2003,(9):20-24.11吴熳红,杨继旺.几种电力负荷预测方法及其比较J.广东电力,2004,(1):17-21.12王会青,王婷,谷志红.城市电力需求的灰色预测模型及修正研究J.电力系统及其自动化学报,2005.2:74-75.13廉巍巍,杜欣慧,武晓冬,宫改花.灰色等维递补预测模型在电力系统长期负荷预测中的应用J . 科技情报开发与经济,2006,11(5):167-168.14赵海青,等.维递补灰色校正模型的研究及应用J.运筹与管理,2007,16(1):97-99.附 录附件 1：GM 程序(matlab)clc;clear;%X=5698,5703,5
19、707,5719,5724;785,788,789,789,790;5767,5775,5790,5804,5811; %X=2.67,3.13,3.25,3.36,3.56,3.72;X=100.23,85.62,64.53,86.63,105.89,83.55,316.47,135.93,56.56;N=size(X);m1=N(1);m2=N(2);%m1和m2 分别表示X 的行数和列数 20k0=3;%预测的阶数-1 for i=1:m1 n=i x0=X(i,:) E=triu(ones(m2);x1=x0*E;%E表示元素为 1上三角阵 b1=x1b1(m1)=;b2=x1b2(m
20、2)=;b=-0.5*(b1+b2)B=b;ones(1,m2-1);B=BB*Binv(B*B)y0=x0;y0(1)=;y0=y0A=(inv(B*B)*B)*y0a=A(1),u=A(2),u_a=u/a k=0:m2+k0;x2=(x0(1)-u_a)*exp(-k*a)+u_a;x3=x2x3(m2+k0+1)=;x4=0 x3;x5=x2-x4 x6=x5(1:m2);Q=x0-x6r=Q./x0s1=std(x0)Qmean=mean(Q)s2=std(Q)C=s2/s1 D=abs(Q-Qmean)p0=0.6745*s1 21t=0; for j=1:m2 d=D(j); i
21、f(dp0) t=t+1; end end P=t/m2 end 附件 2：GM11fcn 程序function Xe=GM11fcn(solution,iter)% 包含了GM(1,1)预测中累 积量X1 的解析通式。输入解析式系数solution和% 欲 预测 的iter代数，输出从1到iter代的预测值k=1:iter;temp=solution(1,1).*exp(solution(1,2).*(k-1)+solution(1,3);Xe(1)=temp(1);for i=2:length(k)Xe(i)=temp(i)-temp(i-1);End附件 3：GM11 程序functio
22、n solution p C error=GM11(x0)% GM(1,1)预测。输入X0，输出累计量X1 的解析表达式的系数solution ，预测% 评 价指 标p 、 C，预测值与样本相对误差error%x0=2.67,3.13,3.25,3.36,3.56,3.72;%gm1(x); 测试数据 x0=100.23,85.62,64.53,86.63,105.89,83.55,316.47,135.93,56.56;leng=length(x0)for j=1:lengx1(j)=sum(x0(1,1:j);endz(1)=x1(1);for j=2:lengz(j)=0.5 0.5*x
23、1(j) x1(j-1);end22B=-z(1,2:leng) ones(leng-1,1)Y=x0(1,2:leng)A=inv(B*B)*B*Ya=A(1)b=A(2)solution=x0(1)-b/a -a b/a;solutionxEstimate=GM11fcn(solution,leng);xEstimatexAverage=mean(x0);xAverageepsino=x0-xEstimate;epsinoeAverage=mean(epsino);eAverageS1=var(x0)S2=(S1)(1/2)C=S2/S1p=0;for m=1:lengif abs(eps
24、ino(m)-mean(epsino)0.6745*S2p=p+1;endendS0=0.6745*S2;S0p=p/lengerror=100.*(x0-xEstimate)./x0附件 4：灰色关联度程序function f=grayrelated(X,Y)%这里X是标准化后的参考序列，Y是评价矩阵Y=19.46 44.19 30.98 45.86 55.47 60.34 271.9 94.93 38.289.37 8.29 25.81 38.22 25.21 18.57 33.43 36.68 14.1471.34 33.14 7.74 2.55 25.21 4.64 11.14 4.3
25、2 4.04;%输入评价矩阵YX=100.23 85.62 64.53 86.63 105.89 83.55 316.47 135.93 56.56;%X为参考序列，均为1，个数就是指 标个数，情形不同要修改个数23Len=size(Y,2);%取Y矩阵 的列数，也就是指标的个数Wen=size(Y,1);%取行数，就是目标个数%for i=1:Len%Y(:,i)=(Y(:,i)-mean(Y(:,i)/sqrt(var(Y(:,i); %将Y矩阵用统计方法标准化标准化，%endfor i=1:Len-1S(:,i)=(Y(:,i)-min(Y(:,i)./(max(Y(:,i)-min(Y
26、(:,i);%将Y矩阵标准化，适用于越大越好型，把该型指标放在一起，前n-1个，不同情形要修改D=(max(Y(:,5)-Y(:,5)./(max(Y(:,5)-min(Y(:,5); %将Y矩阵标准化，适用于越小越好型，把该型指标放在一起，第n个，不同情形要修改endSD=S,D;%把两种不同 类型的指 标组合在一起temp=SD;% 给temp变量分配空间，其实可以不分配，只是先分配编译的速度更快for i=1:Wentemp(i,:)=abs(SD(i,:)-X);%计算评价矩阵与参考序列的差的绝对值endp=0.5;%分辨系数related=Y;%给关联系数related变量分配空间Min=min(min(temp);Max=max(max(temp);for i=1:Wenrelated(i,:)=(Min+p*Max)./(temp(i,:)+p*Max);endf=size(1,Wen);%给关联度分配空间for i=1:Wenf(i)=mean(related(i,:);end%w=1/Len 1/Len 1/Len 1/Len 1/Len %若已知各指标权重，可在此修改%f=w*related
