1、数据结构与算法,9.2 动态查找表,什么是动态查找表？ 查找表中的数据随着查找的结果而发生改变。,查找,成功：删除该数据元素,失败：插入该数据元素,数据结构与算法,9.2.1 二叉排序树,定义二叉排序树（BST）：或者是一棵空的二叉树，或者是： 非空左子树上所有结点的值均小于根结点的值； 非空右子树上所有结点的值均大于根结点的值； 它的左右子树也都是二叉排序树。,数据结构与算法,性质 中序遍历是 有序序列 存储结构 采用二叉链表,9.2.1 二叉排序树,数据结构与算法,9.2.1 二叉排序树,查找算法 若二叉排序树为空，则查找不成功；否则 1）若给定值k等于根结点的关键字，则查找成功； 2）若
2、k小于根结点的关键字，则继续在左子树上查找； 3）若k大于根结点的关键字，则继续在右子树上查找。,查35,数据结构与算法,9.2.1 二叉排序树,int SearchBST ( T, k) / 在树T中查找关键字为k的元素if (T=Null) return False; / 查找不成功else if ( k =T-data.key) return Treu; / 查找成功else if ( kdata.key) / 在左子树中继续查找SearchBST (T-lchild, k ); else / 在右子树中继续查找SearchBST (T-rchild, k); ,改进：为方便插入与删除，
3、查找结束时记住k的双亲位置,数据结构与算法,9.2.1 二叉排序树,int SearchBST ( T, k , ,数据结构与算法,9.2.1 二叉排序树,插入算法在查找不成功的情况下，尚需插入关键字等于给定值k的元素： 算法：若二叉排序树为空树，则新插入的结点为根结点； 否则，新插入的结点必为一个新的叶子，其插入位置由查找过程中得到。,数据结构与算法,9.2.1 二叉排序树,插入算法 在BST中插入值为k的结点，步骤如下：, 若树为空，则生成值为k的根结点； 若k小于根，在根的左子树中插入； 若k大于根，在根的右子树中插入； 若k等于根结点的值，表明二叉排序树中已有此关键字，则无须插入。,数
4、据结构与算法,9.2.1 二叉排序树,int Insert-BST(T , k) /在T中插入值为k的结点if (T=NULL) T=(BiNode*)malloc(sizeof(BiNode); /插入为根T-key=k;T-lchild=T-rchild=NULL; return Ok;else if (kkey) /插入到左子树Insert-BST(T-lchild, k); else if (kT-key) /插入到右子树Insert-BST(T-rchild, k); else return False;,数据结构与算法,9.2.1 二叉排序树,int Insert-BST(BiTr
5、ee / 树中已有关键字相同的结点，不再插入 ,数据结构与算法,9.2.1 二叉排序树,建立二叉排序树 在一棵空树上不断地插入结点,Bitree Creat-BST(int a , int n) /将a中的n个数据插入BST Bitree root;root = NULL;for (i = 0; i n; i+)Insert-BST (root, ai); /调用插入函数return root ,数据结构与算法,9.2.1 二叉排序树,例：设有一个输入数据的序列是 46, 25, 78, 62, 12, 37, 70, 29 , 试画出二叉排序树。,数据结构与算法,9.2.1 二叉排序树,删除
6、算法在二叉排序树上删除某个结点之后，仍然保持二叉排序树的特性。 思想：分三种情况讨论 被删除的结点是叶子； 被删除的结点只有左子树或者只有右子树； 被删除的结点左右子树均非空。,叶子,只有左子树,左右子树非空,只有右子树,数据结构与算法,9.2.1 二叉排序树,删除算法 被删结点是叶子的情形：将双亲的相应孩子指针置“空”,数据结构与算法,9.2.1 二叉排序树,删除算法 删除单支结点的情形将双亲结点的相应指针指向被删除结点的子树。,数据结构与算法,9.2.1 二叉排序树,删除算法 删除双支结点的情形： 方法1：以其前驱（左子树中的最大值）替代之，然后再删除该前驱结点。,数据结构与算法,9.2.
7、1 二叉排序树,删除算法 删除双支结点的情形： 方法2：将其右子树作为左子树最右边的子树，然后将其左子树作为双亲的子树，。,数据结构与算法,9.2.1 二叉排序树,性能分析 对不同形态的二叉排序树，其平均查找长度差别较大。 例：输入相同的数据，输入顺序不同，得到不同形态的二叉排序树。,输入：3，12，5，4，91，11,输入：3，4，5，11，12，91,ASL=(1+2*2+3*3)/62.33,ASL=(1+2+3+4+5+6)/6=3.5,数据结构与算法,9.2.2 平衡二叉树,定义 具有下列性质的二叉排序树： 根结点的左子树和右子树的深度最多相差1; 子树也都是平衡二叉树（AVL)。,
8、数据结构与算法,9.2.2 平衡二叉树,平衡因子结点的左子树的深度与右子树的深度之差。 由平衡二叉树定义可知，平衡二叉树所有结点的平衡因子只能取1，0，1三个值之一。,数据结构与算法,9.2.2 平衡二叉树,平衡二叉树的建立每输入一个结点时，若发现不平衡，则在满足二叉排序树的前提下，旋转为平衡的。例：输入3，5，7，2，90 建立AVL,此时，失去平衡， 如何旋转？,数据结构与算法,9.2.2 平衡二叉树,（1）LL型的平衡旋转,数据结构与算法,9.2.2 平衡二叉树,（1）LR型的平衡旋转,数据结构与算法,9.2.2 平衡二叉树,（1）RL型的平衡旋转,数据结构与算法,9.2.2 平衡二叉树
9、,（1）RR型的平衡旋转,数据结构与算法,9.2.2 平衡二叉树,例：输入 4，5，7，2，1，3，6，建立平衡的二叉排序树（AVL）,RR型,数据结构与算法,9.2.2 平衡二叉树,LL型,数据结构与算法,9.2.2 平衡二叉树,LR型,数据结构与算法,9.2.2 平衡二叉树,RL型,数据结构与算法,9.2.3 B树与B+树,B树 B树是一种平衡的多路查找树，它在文件系统中很有用。,数据结构与算法,9.2.3 B树与B+树,B树 一棵m阶的B树，或者为空树，或为满足下列特性的m叉树： 每个结点至多有m棵子树。 若根结点不是叶子结点，则至少有2棵子树。 除根结点之外的所有非叶结点至少有m/2
10、棵子树。 非叶结点中的多个关键字均自小至大有序排列，即：K1 K2 Kn;且Ai-1所指子树上所有关键字均小于Ki;Ai所指子树上所有关键字均大于Ki;,数据结构与算法,9.2.3 B树与B+树,B树 B树主要用于外部查找（即，该查找表存储在外存） B树是一种动态查找树 B树的查找类似于二叉排序树 B树中插入一个元素时，为限制结点中关键字的个数，可能会“分裂”结点。 B树中删除一个元素时，可能会“合并”结点。,数据结构与算法,9.2.3 B树与B+树,B+树应文件系统所需而产生的一种B树的变形树。,数据结构与算法,9.3 hash表,引入前面讨论的查找方法，查找时需要进行一系列对关键字的“比较
11、” 。 将关键字与存储位置之间建立一种对应关系，理想的情况下，不需要比较即可进行查找。,数据结构与算法,9.3 hash表,什么是hash表？ 以数据元素的关键字K为自变量，通过一个确定的函数关系，计算出对应的函数值f(K)，把这个值作为其的存储位置。查找时，根据这个函数计算其存储位置。 Hash表便是存储数据元素的查找表,数据结构与算法,9.3 hash表,Hash表实例,数据结构与算法,9.3 hash表,若对于不相等的关键字计算出了相同的hash地址，则称该现象为hash冲突，发生冲突的两个关键字为该Hash函数的同义词。在实际应用中，不产生冲突的Hash函数极少存在。,【例】 假设一组
12、记录的关键字分别为17，27，1，20，22，6，10，13，41，15，25。选取关键字与记录位置间的函数为f(key)=key %11。,17， 6,数据结构与算法,9.3 hash表,两个主要问题 如何设计hash函数？ 冲突怎么解决？,数据结构与算法,9.3.2 Hash函数的构造方法,要点 如果hash表有m个地址，则hash函数值域必须为0-m; Hash函数计算出来的地址应能“均匀”的分布在整个地址空间； Hash函数应是简单的，能在短时间内计算出来。,数据结构与算法,9.3.2 Hash函数的构造方法,直接定址法此类函数取关键码的某个线性函数值作为散列地址：Hash( key
13、)a * key +b a, b为常数 这类散列函数是一对一的映射，一般不会产生冲突。但是，它要求散列地址空间的大小与关键码集合的大小相同。,数据结构与算法,9.3.2 Hash函数的构造方法,示例：有一组关键码如下： 942148, 941269, 940527, 941630, 941805, 941558, 942047, 940001 。散列函数为Hash (key) = key - 940000则有Hash (942148) = 2148 Hash (941269) = 1269Hash (940527) = 527 Hash (941630) = 1630Hash (941805)
14、 = 1805 Hash (941558) = 1558Hash (942047) = 2047 Hash (940001) = 1可以按计算出的地址存放记录。,数据结构与算法,9.3.2 Hash函数的构造方法,数字分析法设有 n 个 d 位数，每一位可能有 r 种不同的符号。这 r 种不同的符号在各位上出现的频率不一定相同，选取其中各种符号分布均匀的若干位作为散列地址。,9 4 2 1 4 8 9 4 1 2 6 9 9 4 0 5 2 7 9 4 1 6 3 0 9 4 1 8 0 5 9 4 1 5 5 8 9 4 2 0 4 7 9 4 0 0 0 1 ,选位,数据结构与算法,9.3
15、.2 Hash函数的构造方法,除留余数法,设hash表的长度 m，hash函数为： hash ( key ) = key % p p m其中, “%”是整数除法取余的运算，p为质数。 示例：有一个关键码 key = 962148，散列表大小 m = 25，取质数 p= 23。则hash地址为:,hash ( 962148 ) = 962148 % 23 = 12。,数据结构与算法,9.3.2 Hash函数的构造方法,平方取中法,此方法在词典处理中使用十分广泛。它先计算构成关键码的标识符的内码的平方，然后按照散列表的大小取中间的若干位作为散列地址。,标识符 内码 内码的平方 散列地址 A 01
16、01 001 A1 0134 20420 042 AMAX 01150130 135423617100 236,例,数据结构与算法,9.3.2 Hash函数的构造方法,折叠法,把关键码等分成几部分，把这些部分的数据叠加起来作为hash地址。,例 key = 23938587841 ，关键码可划分为 4段：239 385 878 41,数据结构与算法,9.3.3 处理冲突的方法,什么是冲突？对于不同的关键字可能得到同一哈希地址，即key1key2，但h(key1)=h(key2)，这种现象叫冲突。 具有相同函数值的两个关键字对该哈希函数来说称做“同义词”。 在一般情况下，冲突只能尽可能地少，而不
17、能完全避免,数据结构与算法,9.3.3 处理冲突的方法,开放定址法,当冲突发生时，形成一个探查序列；沿此序列逐个地址探查，直到找到一个空位置（开放的地址）。即 Hi=(H(key)+di) MOD m，i=1,2,k (km-1),其中：H(key)哈希函数，m哈希表表长，di增量序列,di有下列三种取法,线性探测再散列：di=1,2,3,m-1,二次探测再散列：di=1,-1,2,-2,k (km/2),伪随机探测再散列：di=伪随机数序列,数据结构与算法,9.3.3 处理冲突的方法,例： 有关键字序列为 36，7，40，11，16，81，22，8，14 ，Hash表表长m =11，用线性探
18、测法处理冲突，建立Hash表：H(key)=key % 7,冲突时：Hi=(H(key)+di) % m， di=1,2,3,m-1,冲突次数,0 0 2 0 2 6 8,数据结构与算法,9.3.3 处理冲突的方法,链地址法 将所有关键字为同义词的结点链接在同一个单链表中,Hash(key)=key % 11,数据结构与算法,9.3.4 hash表的查找及性能,Hash表的查找查找过程和造表过程一致。假设采用开放定址处理冲突，则查找过程为:,1. 对于给定值K, 计算哈希地址 i = H(K) 2. if (ri 为空) 查找失败；else if ( ri.key = K ) 查找成功;els
19、e 求下一地址i = Hi;3. 重复2.,数据结构与算法,9.3.4 hash表的查找及性能,typedef struct ElemType *elem; /hash表int count; /表中元素个数HashTable;,14,1,68,27,55,19,20,84,79,23,11,10,Hash表结构,数据结构与算法,9.3.4 hash表的查找及性能,查找（开放定址解决冲突）,SearchHash(HashTable H, k, int /失败 ,数据结构与算法,9.3.4 hash表的查找及性能,插入一个元素,InsertHash(HashTable /失败 ,数据结构与算法,例
20、 已知一组关键字(19,14,23,1,68,20,84,27,55,11,10,79)， 哈希函数为：H(key)=key MOD 13, 哈希表长为m=16，用线性探测再散列处理冲突,H(55)=3 冲突，H1=(3+1)MOD16=4冲突，H2=(3+2)MOD16=5,H(79)=1 冲突，H1=(1+1)MOD16=2冲突，H2=(1+2)MOD16=3冲突，H3=(1+3)MOD16=4冲突，H4=(1+4)MOD16=5冲突，H5=(1+5)MOD16=6冲突，H6=(1+6)MOD16=7冲突，H7=(1+7)MOD16=8冲突，H8=(1+8)MOD16=9,H(19)=6,
21、H(14)=1,H(23)=10,H(1)=1 冲突，H1=(1+1) MOD16=2,H(68)=3,H(20)=7,H(84)=6 冲突，H1=(6+1)MOD16=7冲突，H2=(6+2)MOD16=8,H(27)=1 冲突，H1=(1+1)MOD16=2冲突，H2=(1+2)MOD16=3冲突，H3=(1+3)MOD16=4,H(11)=11,H(10)=10 冲突，H1=(10+1)MOD16=11冲突，H2=(10+2)MOD16=12,ASL=(1*6+2+3*3+4+9)/12=2.5,数据结构与算法,9.3.4 hash表的查找及性能,删除一个元素,例 已知一组关键字(19,
22、14,23,1,68,20,84,27,55,11,10,79)， 哈希函数为：H(key)=key MOD 13, 哈希表长为m=16，用线性探测再散列处理冲突,删除14,要避免因删除发生“断裂”找不到同义词！,数据结构与算法,9.3.4 hash表的查找及性能,查找性能决定哈希表查找的ASL的因素： 选用的哈希函数; 选用的处理冲突的方法; 装载因子值的大小，反映哈希表饱和的程度。,数据结构与算法,9.3.4 hash表的查找及性能,查找性能 线性探测再散列链地址法伪随机探测再散列,关于的函数,数据结构与算法,9.3.4 hash表的查找及性能,说明 Hash表的平均查找长度是的函数，而不是n的函数。因此，不管n多大，总可以选择一个合适的，以便将平均查找长度限定在一个范围内。 对于预先知道且规模不大的关键字集，有时可以找到不发生冲突的hash函数。因此，对频繁查找的关键字集，还应尽力设计一个完美的hash函数。,数据结构与算法,谢谢！,
