1、三角形五心定理目录三角形五心定理 一、三角形重心定理 二、三角形外心定理 三、三角形垂心定理 四、三角形内心定理 五、三角形旁心定理 有关三角形五心的诗歌 三 角 形 五 心 定 理三 角 形 的 重 心 ， 外 心 ， 垂 心 ， 内 心 和 旁 心 称 之 为 三 角 形 的 五 心 。 三 角 形 五 心 定 理 是指 三 角 形 重 心 定 理 ， 外 心 定 理 ， 垂 心 定 理 ， 内 心 定 理 ， 旁 心 定 理 的 总 称 。 一 、 三 角 形 重 心 定 理三 角 形 的 三 条 边 的 中 线 交 于 一 点 。 该 点 叫 做 三 角 形 的 重 心 。 三 中 线
2、 交 于 一 点 可 用 燕尾 定 理 证 明 ， 十 分 简 单 。 （ 重 心 原 是 一 个 物 理 概 念 ， 对 于 等 厚 度 的 质 量 均 匀 的 三 角 形薄 片 ， 其 重 心 恰 为 此 三 角 形 三 条 中 线 的 交 点 ， 重 心 因 而 得 名 ） 重 心 的 性 质 ： 1、 重 心 到 顶 点 的 距 离 与 重 心 到 对 边 中 点 的 距 离 之 比 为 2 1。 2、 重 心 和 三 角 形 3 个 顶 点 组 成 的 3 个 三 角 形 面 积 相 等 。 即 重 心 到 三 条 边 的 距 离与 三 条 边 的 长 成 反 比 。 3、 重 心
3、到 三 角 形 3 个 顶 点 距 离 的 平 方 和 最 小 。 4、 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 重 心 的 坐 标 是 顶 点 坐 标 的 算 术 平 均 ， 即 其 重 心 坐 标 为 （ (X1+X2+X3)/3， （ Y1+Y2+Y3)/3。 二 、 三 角 形 外 心 定 理 三 角 形 外 接 圆 的 圆 心 ， 叫 做 三 角 形 的 外 心 。外 心 的 性 质 ：1、 三 角 形 的 三 条 边 的 垂 直 平 分 线 交 于 一 点 ， 该 点 即 为 该 三 角 形 外 心 。2、 若 O 是 ABC 的 外 心 ， 则 BOC=2 A（ A 为 锐 角
4、或 直 角 ） 或 BOC=360-2 A（ A 为 钝 角 ） 。3、 当 三 角 形 为 锐 角 三 角 形 时 ， 外 心 在 三 角 形 内 部 ； 当 三 角 形 为 钝 角 三 角 形 时 ， 外心 在 三 角 形 外 部 ； 当 三 角 形 为 直 角 三 角 形 时 ， 外 心 在 斜 边 上 ， 与 斜 边 的 中 点 重 合 。4、 计 算 外 心 的 坐 标 应 先 计 算 下 列 临 时 变 量 ： d1， d2， d3 分 别 是 三 角 形 三 个 顶 点连 向 另 外 两 个 顶 点 向 量 的 点 乘 。 c1=d2d3， c2=d1d3， c3=d1d2； c
5、=c1+c2+c3。 重心 坐 标 ： ( (c2+c3)/2c， (c1+c3)/2c， (c1+c2)/2c )。 5、 外 心 到 三 顶 点 的 距 离 相 等 三 、 三 角 形 垂 心 定 理三 角 形 的 三 条 高 （ 所 在 直 线 ） 交 于 一 点 ， 该 点 叫 做 三 角 形 的 垂 心 。垂 心 的 性 质 ：1、 三 角 形 三 个 顶 点 ， 三 个 垂 足 ， 垂 心 这 7 个 点 可 以 得 到 6 个 四 点 圆 。2、 三 角 形 外 心 O、 重 心 G 和 垂 心 H 三 点 共 线 ， 且 OG GH=1 2。 （ 此 直 线 称为 三 角 形
6、的 欧 拉 线 （ Euler line） ）3、 垂 心 到 三 角 形 一 顶 点 距 离 为 此 三 角 形 外 心 到 此 顶 点 对 边 距 离 的 2 倍 。4、 垂 心 分 每 条 高 线 的 两 部 分 乘 积 相 等 。定 理 证 明已 知 ： ABC 中 ， AD、 BE 是 两 条 高 ， AD、 BE 交 于 点 O， 连 接 CO 并 延 长 交 AB 于 点 F ， 求 证 ： CF AB 证 明 ： 连 接 DE ADB= AEB=90 度 A、 B、 D、 E 四 点 共 圆 ADE= ABE EAO= DAC AEO= ADC AEO ADC AE/AO=AD
7、/AC EAD OAC ACF= ADE= ABE 又 ABE+ BAC=90 度 ACF+ BAC=90 度 CF AB 因 此 ， 垂 心 定 理 成 立 ！ 四 、 三 角 形 内 心 定 理三 角 形 内 切 圆 的 圆 心 ， 叫 做 三 角 形 的 内 心 。内 心 的 性 质 ：1、 三 角 形 的 三 条 内 角 平 分 线 交 于 一 点 。 该 点 即 为 三 角 形 的 内 心 。2、 直 角 三 角 形 的 内 心 到 边 的 距 离 等 于 两 直 角 边 的 和 减 去 斜 边 的 差 的 二 分 之 一 。3、 P 为 ABC 所 在 平 面 上 任 意 一 点
8、， 点 I 是 ABC 内 心 的 充 要 条 件 是 ： 向 量 PI=(a向 量 PA+b向 量 PB+c向 量 PC)/(a+b+c).4、 O 为 三 角 形 的 内 心 ， A、 B、 C 分 别 为 三 角 形 的 三 个 顶 点 ， 延 长 AO 交 BC 边于 N， 则 有 AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC 五 、 三 角 形 旁 心 定 理 三 角 形 的 旁 切 圆 （ 与 三 角 形 的 一 边 和 其 他 两 边 的 延 长 线 相 切 的 圆 ） 的 圆 心 ， 叫 做 三角 形 的 旁 心 。旁 心 的 性 质 ：1、 三 角 形 一 内 角
9、 平 分 线 和 另 外 两 顶 点 处 的 外 角 平 分 线 交 于 一 点 ， 该 点 即 为 三 角 形的 旁 心 。2、 每 个 三 角 形 都 有 三 个 旁 心 。 3、 旁 心 到 三 边 的 距 离 相 等 。如 图 ， 点 M 就 是 ABC 的 一 个 旁 心 。 三 角 形 任 意 两 角 的 外 角 平 分 线 和 第 三 个 角 的内 角 平 分 线 的 交 点 。 一 个 三 角 形 有 三 个 旁 心 ， 而 且 一 定 在 三 角 形 外 。 附 ： 三 角 形 的 中 心 ： 只 有 正 三 角 形 才 有 中 心 ， 这 时 重 心 ， 内 心 ， 外 心 ， 垂 心 ， 四 心合 一 。
