1、 二项式 球面专项训练一选择题（共 28 小题）1 （2011天津）在 的二项展开式中，x 2 的系数为（ ）A B C D2 （2009重庆） （x+2） 6 的展开式中 x3 的系数是（ ）A20 B40 C80 D1603 （2005陕西）在（ x1） （x+1 ） 8 的展开式中 x5 的系数是（ ）A14 B14 C 28 D284 （2004浙江）若 的展开式中存在常数项，则 n 的值可以是（ ）A10 B11 C12 D145 （2011重庆） （1+3x） n（其中 nN 且 n6）的展开式中 x5 与 x6 的系数相等，则 n=（ ）A6 B7 C8 D96 （2008安徽）
2、设（ 1+x） 8=a0+a1x+a8x8，则 a0，a 1，a 8 中奇数的个数为（ ）A2 B3 C4 D57 （2006浙江）若多项式 x3+x10=a0+a1（x+1）+a 9（x+1） 9+a10（x+1） 10，则 a9=（ ）A9 B10 C 9 D108 （2005浙江）在（ 1x） 5+（1 x） 6+（1x） 7+（1x） 8 的展开式中，含 x3 的项的系数是（ ）A74 B121 C 74 D1219若二项式（x+2） n 的展开式的第四项是 ，而第三项的二项式系数是 15，则 x 的值为（ ）A B C D10 （2009陕西）若（ 12x） 2009=a0+a1x+
3、a2009x2009（xR ） ，则 的值为（ ）A2 B0 C 1 D211 （2009北京）若 （a，b 为理数） ，则 a+b=（ ）A33 B29 C23 D1912 （2008重庆）若（ x+ ） n 的展开式中前三项的系数成等差数，则展开式中 x4 项的系数为（ ）A6 B7 C8 D913 （2008四川） 的展开式中含 x2 的项的系数为（ ）A4 B6 C10 D1214 （2008浙江）在（ x1） （x2） （x3） （x 4） （x5）的展开式中，含 x4 的项的系数是（ ）A15 B85 C 120 D27415 （2008江西） 展开式中的常数项为（ ）A1 B （
4、C 101） 2 CC 201 DC 201016 （2007江西）设（ x2+1） （2x+1） 9=a0+a1（x+2）+a 2（x+2） 2+a11（x+2） 11，则 a0+a1+a2+a11 的值为（ ）A2 B 1 C1 D217 （2006辽宁） C61+C62+C63+C64+C65 的值为（ ）A61 B62 C63 D6418 （2006江苏） 的展开式中含 x 的正整数指数幂的项数是（ ）A0 B2 C4 D619 （2005浙江）在（ 1+x） 5（1+x） 4 的展开式中，含 x3 的项的系数是（ ）A5 B5 C6 D1020 （2007江西）四面体 ABCD 的外
5、接球球心在 CD 上，且 CD=2， ，在外接球面上两点 A，B 间的球面距离是（ ）A B C D21 （2007福建）顶点在同一球面上的正四棱柱 ABCDABCD中，AB=1，AA= ，则 A、C 两点间的球面距离为（ ）A B C D22 （2007安徽）把边长为 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折成直二面角，折成直二面角后，在 A，B，C，D四点所在的球面上，B 与 D 两点之间的球面距离为（ ）A B C D23 （2008四川）设 M 是球心 O 的半径 OP 的中点，分别过 M，O 作垂直于 OP 的平面，截球面得两个圆，则这两个圆的面积比值为：（ ）A B C D24 （2
6、006湖南）过半径为 2 的球 O 表面上一点 A 作球 O 的截面，若 OA 与该截面所成的角是 60则该截面的面积是（ ）A B2 C D325 （2005山东）设地球半径为 R，若甲地位于北纬 45东经 120，乙地位于南纬度 75东经 120，则甲、乙两地球面距离为（ ）A R B R C R D R26 （2008湖北）用与球心距离为 1 的平面去截球，所得的截面面积为 ，则球的体积为（ ）A B C D27 （2005江西）在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=3 ，沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角 BACD，则四面体ABCD 的外接球的体积为（ ）A B C D 28
7、 （2004辽宁）设 A、B 、C 、D 是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是（ ）A B C D答案与评分标准一选择题（共 28 小题）1 （2011天津）在 的二项展开式中，x 2 的系数为（ ）A B C D考点：二项式定理。专题：计算题。分析：利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令 x 的指数为 2，求出展开式中，x 2 的系数，即得答案解答：解：展开式的通项为 Tr+1=（1） r22r6C6rx3r令 3r=2 得 r=1所以项展开式中，x 2 的系数为故选 C点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二
8、项展开式的特定项问题2 （2009重庆） （x+2） 6 的展开式中 x3 的系数是（ ）A20 B40 C80 D160考点：二项式定理。专题：计算题。分析：利用二项展开式的通项公式求出通项，令 x 的指数为 3 求出展开式中 x3 的系数解答：解：设含 x3 的为第 r+1，则 Tr+1=C6rx6r2r，令 6r=3，得 r=3，故展开式中 x3 的系数为 C6323=160故选 D点评：本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具3 （2005陕西）在（ x1） （x+1 ） 8 的展开式中 x5 的系数是（ ）A14 B14 C 28 D28考点：二项式定理。专题：
9、计算题。分析：将问题转化为二项式（x+1） 8 的展开式的项的系数问题；利用二项展开式的通项公式求出（x+1） 8 展开式的 x4，x 5 的系数，求出展开式中 x5 的系数解答：解：（x 1） （x+1） 8=x（x+1） 8（x+1） 8（ x1） （x+1） 8 展开式中 x5 的系数等于（x+1） 8 展开式的 x4 的系数减去 x5 的系数，展开式中 x5 的系数是 C84C85=14，故选 B点评：本题考查等价转化的能力、利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题4 （2004浙江）若 的展开式中存在常数项，则 n 的值可以是（ ）A10 B11 C12 D14考点：二项式
10、定理。专题：计算题。分析：利用二项展开式的通项求出展开式的第 r+1 项，令 x 的指数为 0 得到存在常数项的条件，得到 n 与 r 的关系，得到 n 满足的条件解答：解： 展开式的通项公式为 =令 有解即 3n5r=0 有解即 3n=5r 有解故 n 是 5 的倍数故选项为 A点评：本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具5 （2011重庆） （1+3x） n（其中 nN 且 n6）的展开式中 x5 与 x6 的系数相等，则 n=（ ）A6 B7 C8 D9考点：二项式系数的性质。专题：计算题。分析：利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的通项，求出展开式中 x5 与
11、 x6 的系数，列出方程求出 n解答：解：二项式展开式的通项为 Tr+1=3rCnrxr展开式中 x5 与 x6 的系数分别是 35Cn5，3 6Cn635Cn5=36Cn6解得 n=7故选 B点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题6 （2008安徽）设（ 1+x） 8=a0+a1x+a8x8，则 a0，a 1，a 8 中奇数的个数为（ ）A2 B3 C4 D5考点：二项式系数的性质。分析：利用二项展开式的通项公式判断出展开式中项的系数即为二项式系数，求出所有的二项式系数值，求出项为奇数的个数解答：解：由（1+x） 8=a0+a1x+a2x2+a8x8 可知：a 0、
12、a 1、a 2、 、a 8 均为二项式系数，依次是 C80、C 81、C 82、 、C 88，C80=C88=1，C 81=C87=8，C 82=C86=28，C 83=C85=56，C84=70，a 0， a1， ，a 8 中奇数只有 a0 和 a8 两个故选 A点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题、利用组合数公式求二项式系数7 （2006浙江）若多项式 x3+x10=a0+a1（x+1）+a 9（x+1） 9+a10（x+1） 10，则 a9=（ ）A9 B10 C 9 D10考点：二项式系数的性质。专题：计算题。分析：先凑成二项式，再利用二项展开式的通项公式求
13、出（x+1） 9 的系数解答：解：x 3+x10=x3+（x+1） 110，题中 a9（x+1） 10 只是（x+1） 110 展开式中（x+1） 9 的系数故 a9=C101（1） 1=10点评：本题考查二项展开式系数的性质以及多项恒等式系数相等的性质8 （2005浙江）在（ 1x） 5+（1 x） 6+（1x） 7+（1x） 8 的展开式中，含 x3 的项的系数是（ ）A74 B121 C 74 D121考点：二项式系数的性质。专题：计算题。分析：利用等比数列的前 n 项公式化简代数式；利用二项展开式的通项公式求出含 x4 的项的系数，即是代数式的含 x3 的项的系数解答：解：（1x） 5
14、+（1x） 6+（1 x） 7+（1 x） 8= ，（1x） 5 中 x4 的系数为 C54=5，（1x） 9 中 x4 的系数为 C94=126，126+5=121故选 D点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决展开式的特定项问题、等比数列的 n 项和问题9若二项式（x+2） n 的展开式的第四项是 ，而第三项的二项式系数是 15，则 x 的值为（ ）A B C D考点：二项式系数的性质。专题：计算题。分析：利用二项展开式的通项公式求出展开式的第四项及第三项的二项式系数，列出方程组，求出 x 的值解答：解：二项式（x+2） n 的展开式的第四项为 23Cn3xn3，第三项的二项式系数是 C
15、n2解得 n=6，故选 B点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，注意二项式系数与项的系数的区别10 （2009陕西）若（ 12x） 2009=a0+a1x+a2009x2009（xR ） ，则 的值为（ ）A2 B0 C 1 D2考点：二项式定理的应用。专题：计算题。分析：通过给 x 赋值 ，0 得到两等式，两式相减即得解答：解：令 x= 得 0=令 x=0 得 1=a0两式相减得 =1故选项为 C点评：本题考查赋值法是求展开式的系数和问题的重要方法11 （2009北京）若 （a，b 为理数） ，则 a+b=（ ）A33 B29 C23 D19考点：二项式定理的应用
16、。专题：计算题。分析：利用二项式定理的展开式将二项式展开，利用组合数公式化简展开式，列出方程求出 a，b，求出 a+b解答：解：= ，由已知，得 ，a+b=17+12=29故选 B点评：本题考查二项式定理的展开式；要熟练掌握公式12 （2008重庆）若（ x+ ） n 的展开式中前三项的系数成等差数，则展开式中 x4 项的系数为（ ）A6 B7 C8 D9考点：二项式定理的应用。专题：计算题。分析：求出（x+ ） n 的展开式中前三项的系数 Cn0、 、 ，由等差数列知识求出 n，再利用通项公式求出x4 项的系数即可解答：解：因为 的展开式中前三项的系数 Cn0、 、 成等差数列，所以 ，即
17、n29n+8=0，解得：n=8 或 n=1（舍） 令 82r=4 可得， r=2，所以 x4 的系数为 ，故选 B点评：本小题主要考查二项式定理的基础知识：展开式的系数、展开式中的特定项的求解属基本题型的考查13 （2008四川） 的展开式中含 x2 的项的系数为（ ）A4 B6 C10 D12考点：二项式定理的应用。专题：计算题。分析：利用二项定理将（1+x） 4 展开，从而求出 的展开式中含 x2 的项的系数解答：解析：展开式中含 x2 项的系数为 C42+C43=10故选项为 C点评：本题考查二项式定理的展开式形式14 （2008浙江）在（ x1） （x2） （x3） （x 4） （x5
18、）的展开式中，含 x4 的项的系数是（ ）A15 B85 C 120 D274考点：二项式定理的应用。分析：本题主要考查二项式定理展开式具体项系数问题本题可通过选括号（即 5 个括号中 4 个提供 x，其余 1 个提供常数）的思路来完成解答：解：含 x4 的项是由（x1） （x 2） （x3） （x4） （x 5）的 5 个括号中 4 个括号出 x 仅 1 个括号出常数展开式中含 x4 的项的系数是（1）+（2）+（3）+（ 4）+（ 5）=15故选 A点评：本题考查利用分步计数原理和分类加法原理求出特定项的系数15 （2008江西） 展开式中的常数项为（ ）A1 B （C 101） 2 CC
19、 201 DC 2010考点：二项式定理的应用。专题：计算题。分析：将求 展开式中的常数项转化为（1+x） 20 展开式中含 x10 项的系数，利用二项展开式的通项公式求出解答：解：（ 1+x） 20 的展开式的通项为 Tr+1=C20rxr令 r=10 得（1+x） 20 展开式中含 x10 项的系数为 C2010 展开式中的常数项为 C2010故选项为 D点评：本题考查数学的等价转化能力；考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具16 （2007江西）设（ x2+1） （2x+1） 9=a0+a1（x+2）+a 2（x+2） 2+a11（x+2） 11，则 a0+a1+a2
20、+a11 的值为（ ）A2 B 1 C1 D2考点：二项式定理的应用。专题：计算题。分析：本题由于求的是展开式右边 a0+a1（x+2）+a 2（x+2） 2+a11（x+2） 11 中 a0+a1+a2+a11 的和，所以可以利用赋值的办法令 x+2=1，由此将 x=1 代入展开式即可求出结果为2解答：解：令 x+2=1，所以 x=1，将 x=1 代入（x 2+1） （2x+1） 9=a0+a1（x+2 ）+a 2（x+2） 2+a11（x+2） 11 得（ 1） 2+1（2+1） 9=a0+a1+a2+a11；a 0+a1+a2+a11=2（1）= 2所以选 A点评：本题主要考查二项式定理
21、的应用问题，属于基础题型，难度系数为 0.7，一般在求有关系数和等问题时，常常借助赋值的办法来加以解决17 （2006辽宁） C61+C62+C63+C64+C65 的值为（ ）A61 B62 C63 D64考点：二项式定理的应用。分析：凑出所有项的二项式系数和，利用二项式系数和为 2n 求出解答：解：原式 C60+C61+C62+C65+C662=262=62，故选项为 B点评：本题考查二项式系数的性质：二项式系数和为 2n18 （2006江苏） 的展开式中含 x 的正整数指数幂的项数是（ ）A0 B2 C4 D6考点：二项式定理的应用。专题：计算题。分析：利用二项展开式的通项公式求出第 r
22、+1 项，令 x 的指数为正整数求出 r 的值，得到展开式中含 x 的正整数指数幂的项数解答：解： 的展开式通项为，当 r=0，2 时， 为正整数因此含 x 的正整数次幂的项共有 2 项故选项为 B点评：本题考查利用二项展开式的通项解决二项展开式的特殊项问题，属于基础题19 （2005浙江）在（ 1+x） 5（1+x） 4 的展开式中，含 x3 的项的系数是（ ）A5 B5 C6 D10考点：二项式定理的应用。专题：计算题。分析：利用二项展开式的通项公式求出展开式的含 x3 的项的系数解答：解：（1+x） 5（1+x） 4 的展开式中，含 x3 的项的系数是（1+x） 5 展开式中含 x3 的
23、项的系数减去（1+x） 4 展开式中含 x3 的项的系数（ 1+x） 5 展开式中含 x3 的项的系数为 C53=10（1+x） 4 展开式中含 x3 的项的系数为 C43=4（ 1+x） 5（1+x） 4 的展开式中含 x3 的项的系数是 104=6故选项为 C点评：本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具20 （2007江西）四面体 ABCD 的外接球球心在 CD 上，且 CD=2， ，在外接球面上两点 A，B 间的球面距离是（ ）A B C D考点：球面距离及相关计算。专题：计算题。分析：先求出球的半径，然后求出AOB 的余弦值，求出角，再求其外接球面上两点 A，B
24、 间的球面距离解答：解：由球心在 CD 上，且 CD=2，得球的半径 R=1，OA=OB=1故选 C点评：本题考查球面距离的计算，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是基础题21 （2007福建）顶点在同一球面上的正四棱柱 ABCDABCD中，AB=1，AA= ，则 A、C 两点间的球面距离为（ ）A B C D考点：球面距离及相关计算。专题：计算题。分析：因为四棱柱的顶点在球面上，正四棱柱的对角线为球的直径，又因为角 AOC 为直角，就可以求出 AC 的距离解答：解：正四棱柱的对角线为球的直径，由 4R2=1+1+2=4 得 R=1，AC= ，所以AOC= （其中 O 为球心） A、C 两点间的
25、球面距离为 ，故选 B点评：本题考查学生的空间想象能力，以及学生对球的结构认识，是基础题22 （2007安徽）把边长为 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折成直二面角，折成直二面角后，在 A，B，C，D四点所在的球面上，B 与 D 两点之间的球面距离为（ ）A B C D考点：球面距离及相关计算。专题：计算题。分析：求解本题需要根据题意求解出题目中的角 AOC 的余弦，再代入求解，即可求出 MN 的两点距离解答：解：根据题意画出示意图，如图设 AC 的中点为 O，则 O 点到四个点 A，B ，C，D 的距离相等，O 是球的球心，半径 R=OA=1，且BOD= ，B 与 D 两点之间的球面距离
26、为：= 故选 C点评：本题考查学生的空间想象能力，以及学生对球面上的点的距离求解，是基础题23 （2008四川）设 M 是球心 O 的半径 OP 的中点，分别过 M，O 作垂直于 OP 的平面，截球面得两个圆，则这两个圆的面积比值为：（ ）A B C D考点：球面距离及相关计算。分析：可通过数形结合的方法，画出图形，再利用勾股定理进行求解解答：解：设分别过 M，O 作垂线于 OP 的面截球得三个圆的半径为 r1，r 2，球半径为 R，则：这两个圆的面积比值为：故选 D点评：此题重点考查球中截面圆半径，球半径之间的关系24 （2006湖南）过半径为 2 的球 O 表面上一点 A 作球 O 的截面
27、，若 OA 与该截面所成的角是 60则该截面的面积是（ ）A B2 C D3考点：球面距离及相关计算。专题：计算题。分析：先求截面圆的半径，然后求出截面面积即可解答：解：过半径为 2 的球 O 表面上一点 A 作球 O 的截面，若 OA 与该截面所成的角是 60，则截面圆的半径是 R=1，该截面的面积是 ，选 A点评：本题考查学生的空间想象能力，计算能力，是基础题25 （2005山东）设地球半径为 R，若甲地位于北纬 45东经 120，乙地位于南纬度 75东经 120，则甲、乙两地球面距离为（ ）A R B R C R D R考点：球面距离及相关计算。专题：计算题。分析：甲、乙两地都在东经 1
28、20，就是都在同一个大圆上，求出纬度差，即可求出球面距离解答：解：由于甲、乙两地都在东经 120，就是都在同一个大圆上，它们的纬度差是：120，就是大圆周的则甲、乙两地球面距离为：故选 D点评：本题考查球面距离，好在两点在同一个经度上，简化了计算，是基础题26 （2008湖北）用与球心距离为 1 的平面去截球，所得的截面面积为 ，则球的体积为（ ）A B C D考点：球的体积和表面积。专题：计算题。分析：做该题需要将球转换成圆，再利用圆的性质，获得球的半径，解出该题即可解答：解：截面面积为 截面圆半径为 1，又与球心距离为 1球的半径是 ，所以根据球的体积公式知 ，故选 B点评：本题考查学生的
29、空间想象能力，以及学生对圆的性质认识，进一步求解的能力，是基础题27 （2005江西）在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=3 ，沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角 BACD，则四面体ABCD 的外接球的体积为（ ）A B C D 考点：球的体积和表面积。专题：计算题。分析：球心到球面各点的距离相等，即可知道外接球的半径，就可以求出其体积了解答：解：由题意知，球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线 AC 上，且其半径为 AC 长度的一半，则 V 球 = （ ） 3= 故选 C点评：本题考查学生的思维意识，对球的结构和性质的运用，是基础题28 （2004辽宁）设 A、B 、C 、D 是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是（ ）A B C D考点：球的体积和表面积。专题：计算题；综合题。分析：设出球的半径，球心到该平面的距离是球半径的一半，结合 ABCD 的对角线的一般，满足勾股定理，求出R 即可求球的体积解答：解：设球的半径为 R，由题意可得R= 球的体积是： =故选 A点评：本题考查球的体积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题
