1、用“比较法”证明不等式,2010年9月16日,工作单位：兴义市第九中学,主讲：严 松,答：用不等号将两个解析式连结起来所成的式子叫做不等式（在一个式子中的数的关系,不全是等号,含不等符号的式子，那它就是一个不等式）。例如2x2y2xy，sinx1，ex0 ，2x3，5x5等 。不等式分为严格不等式与非严格不等式。一般地，用纯粹的大于号、小于号“”“”连接的不等式称为严格不等式，用不小于号（大于或等于号）、不大于号（小于或等于号）”“”连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。,1、什么是不等式？,复习提问：,对称性传递性加法性质,2、不等式有哪些性质？,乘法性质乘方、开方性质,3、比较两数
2、大小的一般方法是：,作差变形判断（与0比较）；,作商变形判断（与1比较）。,分析：这道题含义是对任意实数x，这个不等式都 成立，那么如何证明这个不等式呢？（求差）,1、什么是不等式证明呢？（举例说明）,例1 求证：（2x+1）（3x-2）（5x9）（x-2）,注：这种证明的理论依据是a-b0 ab，由a-b0来推ab是证明不等式常用方种中的一种，叫比较法，这种比较法我们不妨称作求差比较法。,不等式证明的常用方法（1）“比较法” （求差比较法）,证明：由于（2x1）（3x-2）-（5x+9）（x-2） （6x2-x-2）-（5x2-x-18） x2+16160， 则（2x-1）（3x-2）（5x
3、+9）（x-2）。,在求差比较法中，要能对“差式”进行适当变形，并准确判断其符号,学生练习：、a2+3b22b(a+b) 、a2+b2+22a+2b,例2 求证：x233x,注：此题求差后，进行等价变形时利了用配方法，因为求差后，式子中-3x的符号不确定，所以不容易判断符号，配方后变形为一个完全平方式子与一个常数和的形式，这样差式的符号可以判断。,证明：a5b5-a3b2-a2b3=（a5-a3b2）-（ a2b3 - b5 ） =a3（a2-b2）-b3（a2-b2） =（a2-b2）（a3-b3） =（ab）（a-b）2（a2+ab+b2） 由于a，bR，则ab0 又a2abb20，（a-
4、b）20， 所以（ab）（a-b）2（a2abb2）0， 即（ a5b5 ）（a3b2a2b3）0 因此a5b5 a3b2a2b3,例3 已知：a，bR，求证：a5b5a3b2a2b3,分析：道题含义是对于a，b属于任意正实数，不等式都成立。 同学们考虑如何用比较法证明。,学生练习： 已知a、b是正数，且ab, 求证 ： a3+b3a2b+ab2,注：这道题是用差式进行因式分解。使之因式分解变形为几个因式积的形式，然后对每个因式进行分析，判断符号，从而使因式积的符号可以判断，差式符号即可判断。但在判断符号时要注意表述严谨、周密，正确判断a，bR+范围内每个因式符号。,分析：这道题含义是对任意实
5、数x，不等式都成立，但应该考虑左式分式有意义的条件，这道题忽视分式有意义的条件是不对的，只不过在这道题中条件就是xR，所以这道题的是对任意实数x，不等式都成立。,注：这道题求差后，先通分，然后将分子配方，最后判断符号。,用配方法、因式分解、通分。,归纳：用比较法证明不等式可以归纳为三步骤。,（1）求差；,（2）变形；,（3）判断符号,具体方法有：,分析：本题可利用求差比较法证明不等式的方法，先求差，再变形，转化为能与0比大小的式子，就可以判断这两个式子的大小关系。,由于a，b0，则ab0，a20，b20，ab0，进而2ab0，a2b20，则（a2b2）（ab）0,知识升华：举一反三,知识升华：
6、举一反三,注：这道题在判断符号时用分类讨论，分类讨论是重要的数学思想，要知道为什么分类？怎么分类？分类时要不重不漏。,知识升华：举一反三,小结在了解不等式证明的含义的基础上，今天主要学习了不等式证明常用方法之一，比较法（或称求差比较法）证明不等式，它是不等式证明中最基本、最重要的证明方法要明确求差比较法证明不等式的依据，理解转化，使问题简化是求差比较法证明不等式中所蕴含的重要数学思想，掌握求差后对差式变形以及判断符号是我们在今后学习中继续积累的重要方法。比较法证明不等式除了求差比较法，还有没有其他方式呢？请同学们课下思考研究 。,（左式-右式=（q1）（q-1）2（q21）（q2q1）,能力大拼比： 已知a，bR，求证：aabbabba（此题可用求商比较法证明）,课上练习，课下作业,（用比较法证明下列不等式）,2010年9月16日制,再见,
